[來源:]





一.集合間的基本關系


集合間的基本運算的關鍵點


(1)?：空集是任何集合的子集，在涉及集合關系時必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解.


(2)端點值：已知兩集合間的關系求參數(shù)的取值范圍時，關鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的條件，常用數(shù)軸解決此類問題.


提醒：求其中參數(shù)的取值范圍時，要注意等號是否能取到.


[訓練1] 已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}則( )


A.A＝B B.A∩B＝?


C.AB D.BA


D [B中的元素都在A中，所以BA.]


[訓練2] 已知全集U＝R，A＝{x|3x－7≥8－2x}，B＝{x|x≥m－1}.


(1)求?UA；


(2)若A?B，求實數(shù)m的取值范圍.


解 (1)因為A＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，


又全集U＝R，所以?UA＝{x|x＜3}.


(2)因為B＝{x|x≥m－1}，且A?B，


所以m－1≤3，即m≤4，


所以實數(shù)m的取值范圍是{m|m≤4}.


二.集合的基本運算


集合基本運算的關注點


(1)看元素組成，集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的前提.


(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決.


(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標系和Venn圖.


[訓練3] 設全集U＝{x∈N*|x＜6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，則?U(A∪B)等于( )


A.{1,4} B.{1,5}


C.{2,5} D.{2,4}


D [U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，所以?U (A∪B)＝{2,4}.]


[訓練4] 設U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}，a為實數(shù).


(1)分別求A∩B，A∪(?UB)；


(2)若B∩C＝C，求a的取值范圍.


解 (1)因為A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，


所以?UB＝{x|x≤2，或x≥4}，所以A∩B＝{x|2＜x≤3}，


A∪(?UB)＝{x|x≤3，或x≥4}.


(2)因為B∩C＝C，所以C?B，


因為B＝{x|2＜x＜4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}，


若C＝?，則a＋1＜a，無解，所以C≠?，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＜a,a＋1＜4))，所以2＜a＜3.


三.集合新定義問題


解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點


(1)緊扣新定義，首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)搞清楚.


(2)尋找特殊元素，解題時要善于發(fā)現(xiàn)試題中可以使用集合性質(zhì)的特殊元素，用好集合的性質(zhì).


[訓練5] 若集合A具有以下性質(zhì)：


(1)0∈A,1∈A；


(2)若x∈A，y∈A，則x－y∈A，且x≠0時，eq \f(1,x)∈A.


則稱集合A是“好集”.下列命題正確的個數(shù)是( )


①集合B＝{－1,0,1}是“好集”；


②有理數(shù)集Q是“好集”；


③設集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，則x＋y∈A.


A.0 B.1


C.2 D.3


C [①集合B不是，因1－(－1)＝2不在集合B中.②③對.]


[訓練6] 定義集合運算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，設A＝{1,2}，B＝{0,2}，則集合A*B的所有元素的和為( )


A.0 B.2


C.3 D.6[來源:學?？?。網(wǎng)]


D [x的取值分別是1,2，y的取值分別是0,2，則z＝0,2,4，集合A*B 3個元素的和為6.]


四.全稱量詞與存在量詞


全稱量詞與存在量詞、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定


(1)全稱量詞命題強調(diào)任意性：全稱量詞命題“?x∈M, p(x)”強調(diào)集合M中任意元素x都具有性質(zhì)p(x).因此：


①要證明全稱量詞命題是真命題，需對集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立；


②要判斷全稱量詞命題是假命題，只要在集合M中找到一個元素x0，使p(x0)不成立即可.


(2)存在量詞命題強調(diào)存在性：存在量詞命題“?x0∈M，p(x0)”強調(diào)集合M中存在一個元素x0具有性質(zhì)p(x).因此：


①要判斷存在量詞命題是真命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使p(x0)成立即可；


②要證明它是假命題，需對集合M中的每一個元素x，證明p(x)不成立.


[訓練7] 若命題“?x0∈R，axeq \\al(2,0)＋x0－1>0(a≠0)”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是( )


A.a－eq \f(1,4)且a≠0


C.a≥－eq \f(1,4)且a≠0 D.a≤－eq \f(1,4)


D [由題意知“?x∈R，ax2＋x－1≤0”為真命題，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a0恒成立，所以?p為假命題.


②?p：所有的三角形的三條邊全不相等.


顯然?p為假命題，如等邊三角形.


③?p：有的菱形的對角線不垂直.


顯然?p為假命題.


④?p：?x∈N，x2－2x＋1>0.


顯然當x＝1時，x2－2x＋1>0不成立，故?p是假命題.


五.充分條件與必要條件的判定


條件的充要關系的常用判斷方法


(1)定義法：直接判斷若p則q，若q則p的真假.


(2)等價法：利用A?B與?B??A，B?A與?A??B，A?B與?B??A的等價關系，對于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運用等價法.


(3)利用集合間的包含關系判斷：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件.


[訓練9] 設x∈R，則“x2－3x>0”是“x>4”的( )


A.充分不必要條件 B.必要不充分條件


C.充要條件 D.既不充分也不必要條件[來源:Z|xx|k.Cm]


B [因為x2－3x>0x>4，x>4?x2－3x>0，


故“x2－3x>0”是“x>4”的必要不充分條件.]


[訓練10] 已知a，b是實數(shù)，則“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )


A.充分不必要條件 B.必要不充分條件


C.充要條件 D.既不充分也不必要條件


C [因為a>0且b>0?a＋b>0且ab>0，所以“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要條件.]








1.命題p：“有些三角形是等腰三角形”，則?p是( )


A.有些三角形不是等腰三角形


B.所有三角形是等邊三角形


C.所有三角形不是等腰三角形


D.所有三角形是等腰三角形


C [?p是“所有三角形不是等腰三角形”.]


2.若集合A＝{x|x2－7x＜0，x∈N*}，則B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(6,y)∈N*，y∈A))))中元素的個數(shù)為( )


A.3個 B.4個


C.1個 D.2個


B [A＝{x|0＜x＜7，x∈N*}＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{1,2,3,6}，所以B中共有4個元素.]


3.設a，b是實數(shù)，則“a＞b”是“a2＞b2”的( )


A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件


C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件


D [“a＞b”推不出“a2＞b2”，例如，2＞－3，但4＜9；“a2＞b2”也推不出“a＞b”，例如，9＞4，但－3＜2.]


4.下列說法中，正確的個數(shù)是( )


①存在一個實數(shù)x，使－2x2＋x－4＝0；


②所有的素數(shù)都是奇數(shù)；


③至少存在一個正整數(shù)，能被5和7整除.


A.1 B.2


C.3 D.4


A [①方程－2x2＋x－4＝0無實根；②2是素數(shù)，但不是奇數(shù)；③正確.]


5.已知p：0＜x＜1，那么命題p的一個充分條件是( )


A.1＜x＜3 B.－1＜x＜1


C.eq \f(1,3)＜x＜eq \f(3,4) D.eq \f(1,2)＜x＜5


C [運用集合的知識，易知只有C中由eq \f(1,3)＜x＜eq \f(3,4)可以推出0＜x＜1，其余均不可.]


6.已知集合A＝{(x，y)|x＋2y－4＝0}，集合B＝{(x，y)|x＝0}，則A∩B＝( )


A.{0,2} B.{(0,2)}


C.(0,2) D.?


B [集合A表示的是直線x＋2y－4＝0上的所有點的集合，集合B表示直線x＝0上所有點的集合，所以A∩B表示兩條直線的交點構成的集合，而直線x＋2y－4＝0與直線x＝0的交點為(0,2)，所以A∩B＝{(0,2)}.]


7.設全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k∈R}，且B∩eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(?UA))≠?，則( )


A.k＜0或k＞3 B.2＜k＜3


C.0＜k＜3 D.－1＜k＜3


C [由題意得?UA＝{x|1＜x＜3}，借助于數(shù)軸可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＋1＞1，,k＜3))所以0＜k＜3.]


8.(多空題)已知方程ax2＋x＋b＝0，若方程的解集為{1}，則實數(shù)a，b的值分別為________、________.


－eq \f(1,2) －eq \f(1,2) [方程的解為1，代入得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋1＝0，,Δ＝1－4ab＝0，))所以a＝b＝－eq \f(1,2).]


9.命題“?x∈{x|x＞0}，使eq \r(x)＜x”的否定為________命題.(填“真”或“假”)


假 [“?x∈{x|x＞0}，使eq \r(x)＜x”為真命題，則其否定為假命題.]


10.已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(?UA)∩B＝{2}，(?UB)∩A＝{4}，則A∪B＝________.


{2,3,4} [由(?UA)∩B＝{2}，得2∈B且2?A，由(?UB)∩A＝{4}，得4∈A且4?B，分別代入得42＋4p＋12＝0,22－5×2＋q＝0，所以p＝－7，q＝6，所以A＝{3,4}，B＝{2,3}，所以A∪B＝{2,3,4}.]


11.已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝R.


(1)求A∪B，(?UA)∩B；


(2)若A∩C≠?，求a的取值范圍.


解 (1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1＜x＜6}＝{x|1＜x≤8}.


因為?UA＝{x|x＜2，或x＞8}，


所以(?UA)∩B＝{x|1＜x＜2}.


(2)因為A∩C≠?，作圖可知a在8左邊即可.


所以a＜8.





12.寫出下列命題的否定與否命題，并判斷其真假性.


(1)末位數(shù)是0的整數(shù)，可以被5整除；


(2)負數(shù)的平方是正數(shù)；


(3)梯形的對角線相等.


解 (1)命題的否定：有些末位數(shù)是0的整數(shù)，不可以被5整除；假命題.


否命題：末位數(shù)不是0的整數(shù)，不可以被5整除；假命題.


(2)命題的否定：有些負數(shù)的平方不是正數(shù)；假命題.


否命題：非負數(shù)的平方不是正數(shù)；假命題.


(3)命題的否定：有些梯形的對角線不相等；真命題.


否命題：如果一個四邊形不是梯形，則它的對角線不相等；假命題.


13.設集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求實數(shù)a，m的取值范圍.


解 A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}.


因為A∪B＝A，所以B?A，


所以B可能為?，{1}，{2}，{1,2}，


因為Δ＝(－a)2－4(a－1)＝(a－2)2≥0，所以B≠?，


又因為x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，


所以B中一定有1，


所以a－1＝1或a－1＝2，即a＝2或a＝3.


經(jīng)驗證a＝2，a＝3均滿足題意，


又因為A∩C＝C，所以C?A.


所以C可能為?，{1}，{2}，{1,2}.


當C＝?時，方程x2－mx＋2＝0無解，


所以Δ＝m2－8＜0，所以－2eq \r(2)＜m＜2eq \r(2).


當C＝{1}時，m無解；當C＝{2}時，m也無解；當C＝{1,2}時，m＝3.


綜上所述，a＝2或a＝3，－2eq \r(2)＜m＜2eq \r(2)或m＝3.





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