新教材人教B版步步高學(xué)習(xí)筆記【同步學(xué)案】第一章 章末復(fù)習(xí)課

這是一份新教材人教B版步步高學(xué)習(xí)筆記【同步學(xué)案】第一章 章末復(fù)習(xí)課，共6頁。
一、集合的概念及其基本關(guān)系1．處理集合間的關(guān)系時(shí)需要注意：(1)涉及某些數(shù)集是不等式的解集時(shí)，利用數(shù)軸可較好地處理一些實(shí)數(shù)集之間的關(guān)系；(2)注意應(yīng)用B?A的條件時(shí)，一定要考慮B＝?和B≠?兩種情況．2．以形助數(shù)，直觀形象，充分利用數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)注意轉(zhuǎn)化思想、等價(jià)變形思想的靈活運(yùn)用，提升邏輯推理素養(yǎng)．例1　(1)(多選)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，則實(shí)數(shù)m不可能為(　　)A．0  B．2  C．3  D．1答案　ABD解析　由2∈A可知，若m＝2，則m2－3m＋2＝0，這與m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，則m＝0或m＝3，當(dāng)m＝0時(shí)，與m≠0相矛盾，當(dāng)m＝3時(shí)，此時(shí)集合A＝{0,3,2}，符合題意．當(dāng)m＝1時(shí)，不滿足2∈A，且與m2－3m＋2≠0相矛盾．(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a<x≤a＋1，a<1}，B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．答案　(－∞，－2)∪解析　因?yàn)?/span>a<1，所以2a<a＋1，所以B≠?.畫數(shù)軸如圖所示，由B?A知，a＋1<－1或2a≥1，即a<－2或a≥.由已知a<1，所以a<－2或≤a<1，即所求a的取值范圍是a<－2或≤a<1.反思感悟　(1)因?yàn)榧显氐幕ギ愋?，求出字母的值之后一定要回代檢驗(yàn)是否滿足互異性．(2)處理集合間關(guān)系問題的關(guān)鍵點(diǎn)已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系．合理利用數(shù)軸、維恩圖幫助分析．同時(shí)還要注意“空集”這一“陷阱”．跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，則m的值為________．答案　3或1解析　當(dāng)m＋2＝5時(shí)，m＝3，M＝{1,5,13}，符合題意；當(dāng)m2＋4＝5時(shí)，m＝1或m＝－1.若m＝1，則M＝{1,3,5}，符合題意；若m＝－1，則m＋2＝1，不滿足元素的互異性，故m＝3或1.(2)若集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|ax－2＝0，a∈Z}，且B?A，則實(shí)數(shù)a＝________.答案　0或1解析　當(dāng)B＝?時(shí)，a＝0，滿足B?A；當(dāng)B≠?時(shí)，a≠0，B＝，又B?A，∴2≤≤3，即≤a≤1，又a∈Z，∴a＝1.綜上知a的值為0或1.二、集合的綜合運(yùn)算1．集合的運(yùn)算有交、并、補(bǔ)三種，它是集合中的核心內(nèi)容．在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)，往往由于運(yùn)算能力差或考慮不全面而出錯(cuò)，此時(shí)，數(shù)軸分析(或維恩圖)是個(gè)好幫手，能將復(fù)雜問題直觀化．在具體應(yīng)用時(shí)要注意檢驗(yàn)端點(diǎn)值是否符合題意，以免增解或漏解．2．掌握集合的基本關(guān)系與基本運(yùn)算，重點(diǎn)提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例2　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．(1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范圍；(2)是否存在a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？解　(1)∵A＝{x|0≤x≤2}，∴?RA＝{x|x<0或x>2}．∵(?RA)∪B＝R，畫數(shù)軸如圖所示，∴即－1≤a≤0.∴a的取值范圍為{a|－1≤a≤0}．(2)由(1)知(?RA)∪B＝R時(shí)，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3，∴A?B，這與A∩B＝?矛盾．即這樣的a不存在．反思感悟　借助數(shù)軸表示集合間的關(guān)系可以更直觀，但操作時(shí)要規(guī)范，如區(qū)間端點(diǎn)的順序、虛實(shí)不能標(biāo)反．跟蹤訓(xùn)練2　已知集合A＝{x|－3<x≤6}，B＝{x|b－3<x<b＋7}，M＝{x|－4≤x<5}，全集U＝R.(1)求A∩M；(2)若B∪(?UM)＝R，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．解　(1)因?yàn)?/span>A＝{x|－3<x≤6}，M＝{x|－4≤x<5}，所以A∩M＝{x|－3<x<5}．(2)因?yàn)?/span>M＝{x|－4≤x<5}，所以?UM＝{x|x<－4或x≥5}，又B＝{x|b－3<x<b＋7}，B∪(?UM)＝R，所以解得－2≤b<－1.所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是[－2，－1)．三、全稱量詞命題與存在量詞命題的應(yīng)用1．已知含量詞的命題真假求參數(shù)的取值范圍，解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)含量詞命題的真假轉(zhuǎn)化為相關(guān)數(shù)學(xué)知識，利用函數(shù)、方程、不等式等知識求解參數(shù)的取值范圍，解題過程中要注意變量取值范圍的限制．2．通過掌握全稱量詞命題與存在量詞命題的應(yīng)用，著重提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例3　已知命題p：?x∈{x|－2<x<4}，恒有1－a<x<3a＋1成立，若p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解　設(shè)集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|1－a<x<3a＋1}，由題意知，A?B，則有解得a≥3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≥3}．反思感悟　牽涉到參數(shù)的全稱量詞命題一般是恒成立問題，必須對限定集合中每一個(gè)元素x驗(yàn)證成立，解題過程中可以借助于集合、數(shù)軸進(jìn)行解決．牽涉到參數(shù)的存在量詞命題一般是存在性問題，只要在限定集合中，能找到一個(gè)元素x0，使p(x0)成立即可．跟蹤訓(xùn)練3　已知命題q：?x∈R，使x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0成立，若q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解　q為真命題，即關(guān)于x的一元二次方程x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.四、充分條件、必要條件的判定及應(yīng)用1．充要條件是數(shù)學(xué)的重要概念之一，在數(shù)學(xué)中有著非常廣泛的應(yīng)用，在高考中有著較高的考查頻率，其特點(diǎn)是以高中數(shù)學(xué)的其他知識為載體考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷．2．解決此類問題要注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，往往是先把條件化繁為簡，要注意推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例4　設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足a<x<3a，其中a>0，q：實(shí)數(shù)x滿足2<x≤3.若綈p是綈q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解　綈p是綈q的充分不必要條件，即綈p?綈q且綈q?綈p，設(shè)A＝{x|x≤a或x≥3a，a>0}，B＝{x|x≤2或x>3}，則AB.所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|1<a≤2}．反思感悟　主要是根據(jù)充分條件和必要條件的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式或不等式組求解．跟蹤訓(xùn)練4　(1)已知p：m－1<x<m＋1，q：2<x<6，且q是p的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(　　)A．3<m<5   B．3≤m≤5C．m<3或m>5   D．m≤3或m≥5答案　B解析　∵q是p的必要不充分條件，∴p?q且q?p.∴且等號不能同時(shí)取得，∴3≤m≤5.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是3≤m≤5.(2)若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的值為________．答案　－或解析　p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.q：ax＋1＝0，當(dāng)a＝0時(shí)，方程無解；由題意知p?q，q?p，故a＝0舍去；當(dāng)a≠0時(shí)，x＝－.應(yīng)有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝.綜上可知，a＝－或a＝.