知識點01 一元一次不等式
一元一次不等式的定義：
只含有 個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是 的整式不等式，叫做一元一次不等式。整個不等式中分母不含有 。
【即學即練1】
1．有下列不等式：①x≥0；②x+3≤1；③?12x＜1；④3x+y＞5；⑤x2＞1；⑥1+x3＞5?12(x?2)．其中一元一次不等式有（ ）
A．3個B．4個C．5個D．6個
【即學即練2】
2．若（m+1）x|m|﹣5＞0是關于x的一元一次不等式，則m的值為 ．
知識點02 一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解法：
具體步驟：
①去分母：在不等式兩邊同時乘上分母的 。（根據(jù)等式的性質(zhì) ）
②去括號：利用去括號的法則去括號。
③移項：把含有未知數(shù)的移到等號的 ，常數(shù)移到等號的 。（根據(jù)等式的性質(zhì) ）
④合并：利用合并同類項法則進行合并。
⑤系數(shù)化為1：不等式兩邊除以 或乘上 。當系數(shù)為負數(shù)時，不等號方向一定要 。（根據(jù)不等式的性質(zhì) ）
【即學即練1】
3．下面是小星同學解不等式1?x3?3x?26＜1的過程，請認真閱讀并完成相應任務：
（1）上述求解過程中，第三步變形的依據(jù)是 ；
（2）上述求解過程中的第 步發(fā)生錯誤，具體錯誤為 ；
（3）求該不等式的解集應為．
【即學即練2】
4．解下列一元一次不等式．
（1）3（x+2）﹣1＜8﹣2（x﹣1）； （2）2x?13?5x+12≥1．
【即學即練3】
5．不等式2x﹣3≤4x+5的負整數(shù)解個數(shù)為（ ）
A．0個B．4個C．5個D．無數(shù)個
【即學即練3】
6．已知關于x，y的方程組2x+y=2k?1x+2y=?4的解滿足x+y＞1，則k的取值范圍是 ．
知識點03 一元一次不等式的應用
一元一次不等式的應用：
列不等式解決實際問題的具體步驟：
①審題：認真審題，分清已知量、未知量之間的關系，要抓住題設的關鍵字，如大于、小于、不大于、不小于等，并要準確理解他們的含義。
②設：設出適當?shù)奈粗獢?shù)。
③列：根據(jù)題目中的不等量關系，列出不等式。
④解：解出所列的不等式的解集。
⑤答：檢驗結果是否符合題意，并寫出答案。
【即學即練1】
7．某品牌電腦的成本價為2400元，售價為2800元，該商店準備舉行打折促銷活動，要求利潤率不低于5%，如果將這種品牌的電腦打x折銷售，則下列不等式中能正確表示該商店的促銷方式的是（ ）
A．2 800x≥2400×5%
B．2800x﹣2400≥2400×5%
C．2 800×x10≥2400×5%
D．2 800×x10?2400≥2400×5%
【即學即練2】
8．第9屆哈爾濱亞冬會于2025年2月8日﹣2月14日舉行．亞冬會期間其吉祥物“濱濱和妮妮”系列產(chǎn)品熱賣．某商店計劃購進A、B兩款型號的吉祥物．已知購買A型號吉祥物10套、B型號吉祥物4套共需1000元，且B型號吉祥物每套價格是A型號吉祥物每套價格的53倍．
（1）分別求A、B型號吉祥物每套的價格；
（2）經(jīng)市場調(diào)研，A型號吉祥物每套零售價為80元，B型號吉祥物每套零售價為150元．該商家決定購進A、B兩種型號吉祥物共200套，若要使這批吉祥物按零售價全部售完后的利潤不低于8500元，求A型號吉祥物最多購進多少套．
題型01 判斷一元一次不等式
【典例1】下列關系式中，哪些是一元一次不等式．（ ）
①x＞0，②2x＜﹣2+x，③x﹣y＞﹣3，④4x＝﹣1，⑤a+1≥0，⑥x2＞2．
A．①②③B．①②C．②④⑤D．①②⑥
【變式1】下列各式：①1﹣x≥5；②x﹣3y＞1；③4x+3；④x2+x≠3；中是一元一次不等式的有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．1個
【變式2】下列不等式中，一元一次不等式有（ ）
①x2+4＞2x；②1x?1＞0；③2x﹣3＞5y；④x+1π≥5π；⑤4y＞﹣1
A．1個B．2個C．3個D．4個
題型02 根據(jù)一元一次不等式的定義求值
【典例1】已知5x2m+3+12＞1是關于x的一元一次不等式，則m的值為（ ）
A．32B．?32C．1D．﹣1
【變式1】若（m+1）x|m|﹣5＞0是關于x的一元一次不等式，則m的值為（ ）
A．0B．±1C．﹣1D．1
【變式2】已知（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是關于x的一元一次不等式，則k的值是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．無法確定
【變式3】若（m+1）x|m+2|+4＜0是關于x的一元一次不等式，則m的值為（ ）
A．﹣1B．﹣3C．﹣2D．﹣3或﹣1
題型03 解一元一次不等式
【典例1】解下列一元一次不等式．
（1）3x﹣1≥2（x+1）； （2）x?25?x+12＞1．
【變式1】解不等式：
（1）4x﹣2＞5（x+1）； （2）5x+13?3x?12≥1．
【變式2】解下列不等式，并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來：
（1）2(4x?1)≥5(x?115)； （2）x+13?1≤2?x2．
【變式3】當x滿足什么條件時，2?2x+12的值不大于2x?16的值？
題型04 一元一次不等式的特殊解
【典例1】不等式x?52+1＞x?3的正整數(shù)解的個數(shù)（ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式1】不等式1+x?72＜3x+22的負整數(shù)解有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式2】若關于x的不等式5x+m≥7x的正整數(shù)解是1、2、3、4．則m的取值范圍為（ ）
A．m＜10B．m≥8C．8≤m≤10D．8≤m＜10
【變式3】如果關于x的不等式2x＞m﹣3只有3個負整數(shù)解，那么（ ）
A．﹣5＜m＜﹣3B．﹣5＜m≤﹣3C．﹣5≤m＜﹣3D．﹣5≤m≤﹣3
【變式4】若2（x+4）﹣5＜3（x+1）+4的最小整數(shù)解是方程13x?mx=5的解，則m的值為（ ）
A．2B．1C．﹣2D．﹣1
題型05 二元一次方程與一元一次不等式
【典例1】若關于x，y的方程組2x+5y=3kx+3y=6k?9的解滿足不等式x+2y＞0，則k的取值范圍是 ．
【變式1】關于x、y的方程組2x?y=2k?3x?2y=k的解中x與y的和不小于﹣5，則k的取值范圍為 ．
【變式2】若關于x、y的二元一次方程組x?y=2m+1x+3y=3的解滿足x+y＞1，則m的取值范圍是 ．
【變式3】對于有理數(shù)x，y，定義新運算：x*y＝ax+by，x?y＝ax﹣by，其中a，b是常數(shù)．已知：3*2＝﹣1，2?1＝4．
（1）求a，b的值；
（2）若關于x，y的方程組x?y=8+mx?y=5m的解也滿足方程x﹣y＞6，求m的取值范圍．
題型06 一元一次不等式的實際應用
【典例1】小明同學早上7：40前要到達班級，出家門時是7：20，已知他家離學校距離為1600m，他跑步的速度為130m/min，走路的速度為60m/min，小明同學至少跑步多長時間才能保證不遲到，設小明同學跑步時間為x min，根據(jù)題意可列不等式正確的為（ ）
A．130x+60（20﹣x）＜1600B．130x+60（x﹣20）＞1600
C．1600?60x130+x＜20D．1600?130x60+x＜20
【變式1】推進中國式現(xiàn)代化需夯實農(nóng)業(yè)基礎，振興鄉(xiāng)村．某合作社發(fā)展鄉(xiāng)村水果網(wǎng)絡銷售，購進臍橙1000kg，收購單價為10元/kg．已知運輸和倉儲中臍橙質(zhì)量損失4%，為保證至少獲得20%的利潤，設銷售單價為x元/kg，則可列不等式為（ ）
A．1000×(1?4%)(x?10)1000×10≥20%
B．1000×(1?4%)x?10×100010×1000≥20%
C．1000×(1?4%)(x?10)1000×10＞20%
D．1000×(1?4%)x?10×100010×1000＞20%
【變式2】班級計劃購買甲，乙兩種筆記本獎勵校運動會上表現(xiàn)積極的同學，經(jīng)了解，甲筆記本銷售單價是乙筆記本銷售單價的1.5倍，購買4本甲筆記本和6本乙筆記本共需120元．
（1）求甲，乙兩種筆記本的銷售單價各是多少元；
（2）該班級需購買甲，乙兩種筆記本共30本，且購買金額不超過340元，那么最多可以購買甲種筆記本多少本？
【變式3】為了籌備2025年新年晚會，學校決定給甲、乙兩個班級購買演出服，已知甲班需購買的A種演出服每套100元，乙班需購買的B種演出服每套120元，兩班共需要演出服100套．
（1）若為甲、乙兩班購買兩種演出服的總價為11200元，則需為甲、乙兩班購買演出服各多少套？
（2）若學校打算為文藝表演小組購進A、B兩種演出服共180套，其中B種演出服的購買數(shù)量不超過A種演出服購買數(shù)量的2倍，則至少需要購買A種演出服多少套？
【變式4】【熱點素材】從2025年起山西中考體育總分值為60分，新增球類項目（足球、籃球、排球三選一），為適應中考改革，某校開學前用10500元從體育用品專賣店一次性購買三類球共160個，已知每個籃球120元，每個足球55元，每個排球40元，購買足球和排球的數(shù)量相同．
（1）求購買三類球各多少個．
（2）學校計劃再次從該體育用品專賣店購買籃球和排球共40個，費用不超過3000元，求該校最多可以購買多少個籃球．
1．下列式子：①x+2＝2，②x＞1，③x+3，④y3?1＜2，一元一次不等式的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
2．下列說法中，正確的是（ ）
A．x＝1是不等式x＜2的一個解
B．x＝2是不等式3x＞5的解集
C．不等式3x＞9的解集是x＝4
D．x＜5是不等式x﹣5＞0的解集
3．已知（m﹣4）x|m﹣3|+2＞6是關于x的一元一次不等式，則m的值為（ ）
A．4B．2C．4或2D．不確定
4．如果（m+1）x＞m+1的解集為x＜1，那么m的取值范圍是（ ）
A．m＜0B．m＜﹣1
C．m＞﹣1D．為一切實數(shù)
5．不等式7x﹣12＞4x﹣5的最小整數(shù)解為（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．近日，教育部正式印發(fā)《義務教育課程方案》，將勞動從原來的綜合實踐活動課程中完全獨立出來，并在今年9月份開學開始正式施行．某學校組織八年級同學到勞動教育基地參加實踐活動，某小組的任務是平整土地300m2．開始的半小時，由于操作不熟練，只平整完30m2，學校要求完成全部任務的時間不超過3小時，若他們在剩余時間內(nèi)每小時平整土地x m2，則x滿足的不等關系為（ ）
A．30+（3﹣0.5）x≤300B．300﹣30x﹣0.5≤3
C．30+（3﹣0.5）x≥300D．0.5+300﹣30x≥3
7．定義一種新運算：當a＞b時，a*b＝ab+b；當a＜b時，a*b＝ab﹣b．若3*（x+2）＞0，則x的取值范圍是（ ）
A．﹣1＜x＜1或x＜﹣2B．x＜﹣2或1＜x＜2
C．﹣2＜x＜1或x＞1D．x＜﹣2或x＞2
8．關于x的不等式2x+23＞x+m只有4個正整數(shù)解，則m的取值范圍是（ ）
A．﹣3≤m＜﹣2B．﹣3＜m≤﹣2C．?1＜m≤?23D．?1≤m＜?23
9．某品牌臺燈的生產(chǎn)成本為220元，春節(jié)期間，商店為了讓利給顧客，要求原價滿300元的產(chǎn)品，需在原價的基礎上減去50元出售，該品牌臺燈為了保證利潤率不低于30%，以下定價不能達到品牌要求的是（ ）
A．290元B．330元C．340元D．350元
10．電影《劉三姐》中有這樣一個對歌的場景．
該歌詞表達的是一道數(shù)學題，其大意是：把300條狗分成4群，每個群里，狗的數(shù)量都是奇數(shù)，其中一個群，狗的數(shù)量少；另外三個群，狗的數(shù)量多且數(shù)量相同．問：應該如何分？設狗數(shù)量多的三個群均為x條，則正確的是（ ）
A．依題意狗數(shù)量少的群是（300﹣x）條
B．依題意300﹣3x≤x
C．x有最小值，但無最大值
D．x＝99是正確解，但不是唯一解
11．用不等式表示：x的3倍與4的差是非負數(shù) ．
12．已知關于x的一元一次不等式（m+2）x＞4的解集是x＜4m+2，如圖，數(shù)軸上的A，B，C，D四個點中，實數(shù)m對應的點可能是 ．
13．已知關于x的方程2x﹣（ax﹣1）＝5有負整數(shù)解，且關于y的不等式y(tǒng)﹣a≤﹣3有正整數(shù)解，則整數(shù)a的所有可能的取值之積為 ．
14．隨著幾代航天人的努力，我國在載人航天領域取得了非凡的成就．某校航空興趣小組利用課后服務時間開展了航空航天知識競賽，共有20道題目，答對一題得5分，答錯一題扣3分，小穎的得分在76分以上，則她至少答對了 道題．
15．關于x、y的二元一次方程組3x+y=3m+1x+2y=3的解滿足不等式2x﹣y＜1，則m的取值范圍是 ．
16．解下列不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來．
（1）2（x﹣1）＜﹣1； （2）x?23?2x+15＞?1．
17．閱讀下列材料：
問題：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值范圍．
解決此問題的過程如下：
解：∵x﹣y＝2，x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1，
又y＜0，
∴﹣1＜y＜0，①
同理得：1＜x＜2，②
由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2，
∴0＜x+y＜2．
請按照上述方法，解答下列問題：
（1）若a﹣b＝4，且a＞1，b＜2，求a+b的取值范圍（寫出求解過程）；
（2）若a﹣b＝10，且a＞1，b≤1，請直接寫出2a+3b的取值范圍及其最大值．
18．（1）觀察發(fā)現(xiàn)：
材料：解方程組x+y=4①3(x+y)+y=14②
將①整體代入②，得3×4+y＝14，
解得y＝2，
把y＝2代入①，得x＝2，
所以x=2y=2
這種解法稱為“整體代入法”，你若留心觀察，有很多方程組可采用此方法解答，
請直接寫出方程組x?y?1=0，①4(x?y)?y=5，②的解為
（2）實踐運用：請用“整體代入法”解方程組
2x?3y?2=0，①2x?3y+57+2y=9，②
（3）拓展運用：若關于x，y的二元一次方程組2x+y=?3m+2x+2y=4的解滿足x+y＞?23，請直接寫出滿足條件的m的所有正整數(shù)值 ．
19．我們把關于x的一個一元一次方程和一個一元一次不等式組合成一種特殊組合，且當一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解時，我們把這種組合叫做“夢想解”；當一元一次方程的解不是一元一次不等式的解時，我們把這種組合叫做“無緣解”．
（1）組合2x?4=05x?2＜3是 ；（填夢想解或無緣解）
（2）若關于x的組合3x?6=0x?a2＞a是“夢想解”，求a的取值范圍；
（3）若關于x的2?x=x?2mx?m3+1＜x+m是“無緣解”，求m的取值范圍為．
20．新學年，學校計劃購買30副羽毛球拍和若干盒羽毛球，已知體育用品商店的標價及活動如下：
羽毛球拍100元/副，羽毛球30元/盒，現(xiàn)在正值活動期間，有以下兩種優(yōu)惠方案：
方案一：整體打九折；
方案二：原價購買兩副羽毛球拍贈送一盒羽毛球．
（1）學校計劃購買30副羽毛球拍和100盒羽毛球，若選擇方案二共需花費 元．
（2）學校計劃購買30副羽毛球拍和a盒羽毛球（a＞15）．
若選擇方案一購買，需要花費 元（用含a的代數(shù)式表示）；
若選擇方案二購買，需要花費 元（用含a的代數(shù)式表示）．
（3）學校想購買30副羽毛球拍和a盒羽毛球，應該如何選擇購買方案能更省錢？
課程標準
學習目標
①一元一次不等式
②一元一次不等式的解法
③一元一次不等式的應用
掌握一元一次不等式的定義并能夠熟練判斷一元一次不等式以及根據(jù)定義求值。
掌握解一元一次不等式的解法并能夠熟練解一元一次不等式。
掌握一元一次不等式解應用題的基本步驟并能熟練利用一元一次不等式解決實際應用題。
解：去分母，得2（1﹣x）﹣（3x﹣2）＜6…第一步
去括號，得2﹣2x﹣3x+2＜6…第二步
移項，得﹣2x﹣3x＜6﹣2﹣2…第三步
合并同類項，得﹣5x＜2…第四步
兩邊都除以﹣5，得x＜?25?第五步
羅秀才：三百條狗交給你，一少三多四下分，不要雙數(shù)要單數(shù)，看你怎樣分得勻？
劉三姐的姐妹們：九十九條打獵去，九十九條看羊來，九十九條守門口，剩下三條給財主．

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11.2 一元一次不等式

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