初中數(shù)學(xué)人教版（2024）七年級(jí)下冊(cè)（2024）三元一次方程組的解法精品當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識(shí)點(diǎn)01 三元一次方程（組）的定義
三元一次方程的定義：
含有 3 個(gè)未知數(shù)且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是 1 的整式方程叫做三元一次方程。
三元一次方程組的定義：
方程組中含有 3 個(gè)未知數(shù)，含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是 1 且一共有三個(gè)方程的方程組叫做三元一次方程組。
【即學(xué)即練1】
1．下列方程中，屬于三元一次方程的是（）
A．π+x+y＝6B．xy+y+z＝6
C．x+2y+3z＝9D．3x+2y﹣4z＝4x+2y﹣2z
【分析】含有3個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項(xiàng)的指數(shù)為1的整式方程，叫做三元一次方程，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A、只含有2個(gè)未知數(shù)，不是三元一次方程，不符合題意；
B、含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次冪為2次，不是三元一次方程，不符合題意；
C、是三元一次方程，符合題意；
D、方程化簡(jiǎn)為：﹣x﹣2z＝0，只含有2個(gè)未知數(shù)，不是三元一次方程，不符合題意．
故選：C．
【即學(xué)即練2】
2．下列是三元一次方程組的是（）
A．2x=5x2+y=7x+y+z=6 B．3x?y+z=?2x?2y+z=9y=?3
C．x+y?z=7xyz=1x?3y=4 D．x+y=2y+z=1x+z=9
【分析】如果方程組中含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一次，并且方程組中一共有兩個(gè)或兩個(gè)以上的方程，這樣的方程組叫做三元一次方程組；利用三元一次方程組的定義逐項(xiàng)判斷即可得到答案．
【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，第二個(gè)方程中未知數(shù)x的次數(shù)是2，
故A選項(xiàng)中方程組不是三元一次方程組；
對(duì)于B選項(xiàng)，第一個(gè)方程中分母含有未知數(shù)，
故B選項(xiàng)中方程組不是三元一次方程組；
對(duì)于C選項(xiàng)，第二個(gè)方程中每個(gè)未知數(shù)的次數(shù)都是1，但對(duì)于整個(gè)方程而言，次數(shù)是3，
故C選項(xiàng)中的方程組不是三元一次方程組；
對(duì)于D選項(xiàng)，方程組中含有三個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一次，
故D選項(xiàng)中的方程組是三元一次方程組．
故選D．
知識(shí)點(diǎn)02 解三元一次方程組
基本思想：
三元一次方程組消元轉(zhuǎn)化成二元一次方程組，再進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化成一元一次方程。
基本步驟：
變形：通過(guò)加減消元或帶入消元把三元一次方程組變?yōu)槎淮畏匠獭?br>求解：求解二元一次方程組。
回代：將求得的二元一次方程組的兩個(gè)解帶入原方程中任意一個(gè)方程，得到一個(gè)一元一次方程。
求解：解一元一次方程得到第三個(gè)未知數(shù)的值。
寫(xiě)解：用寫(xiě)出方程組的解。
【即學(xué)即練1】
3．三元一次方程組x+y=3y+z=5x+z=4的解為（）
A．x=1y=3z=2B．x=2y=1z=3
C．x=3y=2z=1D．x=1y=2z=3
【分析】①﹣②得x﹣z＝﹣2④，③+④得2x＝2，解得x＝1，將x＝1代入①③求出y＝2，z＝3．
【解答】解：x+y=3①y+z=5②x+z=4③，
①﹣②得x﹣z＝﹣2④，
③+④得2x＝2，
解得x＝1，
把x＝1代入①得，1+y＝3，
解得y＝2，
把x＝1③得，1+z＝4，
解得z＝3，
方程組的解為x=1y=2z=3．
故選：D．
【即學(xué)即練2】
4．解方程組：x?y+z=04x+2y+z=325x+5y+z=60．
【分析】用加減消元法解三元一次方程組．
【解答】解：x?y+z=0①4x+2y+z=3②25x+5y+z=60③，
由②﹣①，得：3x+3y＝3④，
由③﹣②，得：21x+3y＝57⑤，
由⑤﹣④，得：18x＝54，
解得：x＝3，
將x＝3代入④，得：9+3y＝3，
解得：y＝﹣2，
將x＝3，y＝﹣2代入①，得：3+2+z＝0，
解得：z＝﹣5，
∴方程組的解為：x=3y=?2z=?5．
【即學(xué)即練3】
5．已知方程組x+2y=k2x+3y=3k?1的解x和y的和等于6，k＝ 72 ．
【分析】先把x+y＝6代入所求方程組得到關(guān)于k、y的方程組，再由解二元一次方程的方法求出k的值即可．
【解答】解：將x+y＝6代入到方程組中，
原方程組可化為y=k?612+y=3k?1，即y?k=?6y?3k=?13，
解得k=72．
【即學(xué)即練4】
6．設(shè)x2=y3=z4，則x?2y+3zx+y+z的值為（）
A．27B．23C．89D．57
【分析】設(shè)已知等式等于k，表示出x，y，z，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．
【解答】解：設(shè)x2=y3=z4=k，得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，
則原式=2k?6k+12k2k+3k+4k=89．
故選：C．
【即學(xué)即練5】
7．一個(gè)三位數(shù)，如果把它的個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字交換位置，那么所得的新數(shù)比原數(shù)小99，且各位數(shù)字之和為14，十位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字之和．求這個(gè)三位數(shù)．
【分析】首先假設(shè)這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，個(gè)位數(shù)字為z．根據(jù)題目說(shuō)明，以及百位數(shù)是百位數(shù)字的100倍，十位數(shù)是十位數(shù)字的10倍，個(gè)位數(shù)就是個(gè)位數(shù)字列出方程組100x+10y+z?(100z+10y+x)=99x+y+z=14x+z=y
通過(guò)加減消元法、代入法求得x、y、z的值，那么這個(gè)三位數(shù)也就確定．
【解答】解：這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，個(gè)位數(shù)字為z．
由題意列方程組100x+10y+z?(100z+10y+x)=99①x+y+z=14②x+z=y③
②﹣③得 y＝14﹣y，即y＝7，
由①得x﹣z＝1⑤，
將y＝7代入③得 x+z＝7⑥，
⑤+⑥得2x＝8，
即x＝4，那么z＝3，
答：這個(gè)三位數(shù)是473．
題型01 解三元一次方程組
【典例1】解方程組：2x+y?z=?1x?y?z=0x?2y+z=5．
【分析】①﹣③×2，得5y﹣3z＝﹣11④，②﹣③，得y﹣2z＝﹣5⑤，④⑤聯(lián)立方程組求出y、z值，最后代入②求出x值即可．
【解答】解：2x+y?z=?1①x?y?z=0②x?2y+z=5③，
①﹣③×2，得5y﹣3z＝﹣11④
②﹣③，得y﹣2z＝﹣5⑤
④、⑤聯(lián)立方程組得5y?3z=?11y?2z=?5，
解得y=?1z=2，
把y=?1z=2代入②得：x+1﹣2＝0，解得x＝1．
故原方程組的解為x=1y=?1z=2．
【變式1】解方程組：x+3y+2z=32x?3y?z=?24x+3y?3z=?2．
【分析】先消去y，把三元一次方程組變成二元一次方程組，解二元一次方程組即可求解．
【解答】解：x+3y+2z=3①2x?3y?z=?2②4x+3y?3z=?2③，
①+②得3x+z＝1④，
（②+③）÷2得3x﹣2z＝﹣2⑤，
④與⑤組成方程組得3x+z=1④3x?2z=?2⑤，
解得x=0z=1，
把x=0z=1代入①得，0+3y+2＝3，
∴y=13，
∴方程組的解為x=0y=13z=1．
【變式2】解方程組：3x+y?4z=135x?y+3z=5x+y?2z=3．
【分析】①+②得出8x﹣z＝18④，②+③得出6x+z＝8⑤，由④和⑤組成方程組，求出方程組的解，把x=137，z=?227代入③求出y即可．
【解答】解：3x+y?4z=13①5x?y+3z=5②x+y?2z=3③，
①+②得：8x﹣z＝18④，
②+③得：6x+z＝8⑤，
由④和⑤組成方程組：8x?z=186x+z=8，
解得x=137z=?227，
把x=137，z=?227代入③得：137+y﹣2×（?227）＝3，
解得：y=?367，
即方程組的解是x=137y=?367z=?227．
【變式3】解方程組：2x+3y?z=112x+y?5z=8?2x+7y+z=19．
【分析】利用加減消元法求解即可．
【解答】解：2x+3y?z=11①2x+y?5z=8②?2x+7y+z=19③，
①+③，得：10y＝30，
解得y＝3，
②+③，得：8y﹣4z＝27④，
將y＝3代入④，得：z=?34，
將z=?34，y＝3代入②，得：x=58，
∴原方程組的解為x=58y=3z=?34．
題型02 構(gòu)造三元一次方程組求值
【典例1】若x，y，z同時(shí)滿(mǎn)足：x+y＝13，y+z＝12，x+z＝5，則4x+4y+3z＝ 58 ．
【分析】先由①+②+③得，2x+2y+2z＝30④，再根據(jù)⑤﹣①得，z＝2進(jìn)而即可解答．
【解答】解：x+y=13①y+z=12②x+z=5③，
①+②+③得，2x+2y+2z＝30④，
x+y+z＝15⑤，
⑤﹣①得，z＝2，
∵x+y＝13，
∴4x+4y＝4（x+y）＝4×13＝52，
∴4x+4y+3z＝52+3×2＝58，
故答案為：58．
【變式1】在等式y(tǒng)＝ax2+bx+c中，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣2；當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝20；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝5，那么a＝ 6 ，b＝ ﹣11 ，c＝ 3 ．
【分析】根據(jù)題意可得：a+b+c=?2①a?b+c=20②4a+2b+c=5③，然后利用加減消元法進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：由題意得：a+b+c=?2①a?b+c=20②4a+2b+c=5③，
①﹣②得：2b＝﹣22，
解得：b＝﹣11，
③﹣②得：3a+3b＝﹣15，
即a+b＝﹣5，
a﹣11＝﹣5，
解得：a＝6，
把a(bǔ)＝6，b＝﹣11代入①得：6﹣11+c＝﹣2，
解得：c＝3，
∴原方程組的解為：a=6b=?11c=3，
故答案為：6；﹣11；3．
【變式2】對(duì)于實(shí)數(shù)x，y定義新運(yùn)算：x?y＝ax+by+c，其中a，b，c均為常數(shù)，且已知3?5＝15，4?7＝28，則2?3的值為（）
A．2B．4C．6D．8
【分析】根據(jù)所給的條件，可得到3a+5b+c＝15，4a+7b+c＝28，從而可求得a+2b＝13，7a+12b+2c＝43，整理可求得b﹣c＝24，從而可求解．
【解答】解：∵3?5＝15，4?7＝28，
∴3a+5b+c＝15①，4a+7b+c＝28②，
②﹣①得：a+2b＝13，
①+②得：7a+12b+2c＝43，
則7（a+2b）﹣2（b﹣c）＝43，
整理得：b﹣c＝24，
∴2?3
＝2a+3b+c
＝2（a+2b）﹣（b﹣c）
＝2×13﹣24
＝26﹣24
＝2．
故選：A．
【變式3】已知y＝ax2+bx+c，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝0，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣4；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝3．
（1）求a、b、c的值；
（2）求當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y的值．
【分析】（1）把x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值分別代入y＝ax2+bx+c，列出方程組，再求解；
（2）把x＝﹣3代入y＝3x2﹣2x﹣5，求解．
【解答】解：（1）由題意得：a?b+c=0a+b+c=?44a+2b+c=3，
解得：a=3b=?2c=?5，
∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5；
（2）當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝9×3+3×2﹣5＝28．
題型03 求代數(shù)式的值
【典例1】已知x=1y=2z=3是方程組ax+by=2by+cz=3cx+az=7的解，則a+b+c的值是（）
A．3B．2C．1D．無(wú)法確定
【分析】由題意，可將x，y及z的值代入方程組得到關(guān)于a，b，c的方程組，將方程組中三個(gè)方程左右兩邊相加，變形后即可求出a+b+c的值．
【解答】解：由題意將x=1y=2z=3代入方程組得：
a+2b=2①2b+3c=3②c+3a=7③，
①+②+③得：a+2b+2b+3c+c+3a＝2+3+7，
即4a+4b+4c＝4（a+b+c）＝12，
則a+b+c＝3．
故選：A．
【變式1】已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），則2x+y+z2x?y+z= ﹣4 ．
【分析】在x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0中，未知數(shù) 系數(shù)相同，xy的系數(shù)互為相反數(shù)，通過(guò)兩個(gè)式子相減或相加，即可用z的代數(shù)式表示出x、y，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：x+y+7z＝0①，
x﹣y﹣3z＝0②，
①﹣②，得2y+10z＝0，即y＝﹣5z，
①+②，得2x+4z＝0，即x＝﹣2z，
∴2x+y+z2x?y+z=?4z?5z+z?4z+5z+z=?8z2z=?4．
故答案為：﹣4．
【變式2】實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足3x+7y+z＝1，4x+10y+z＝2005．求x+3y2004x+2004y+2004z= ?14007 ．
【分析】由題得3x+7y+z＝1①，4x+10y+z＝2005②，②﹣①得x+3y＝2004，根據(jù)等式的性質(zhì)可得3x+9y＝6012③，②﹣③得x+y+z＝﹣4007，再代入所求所占計(jì)算即可．
【解答】解：由題得3x+7y+z＝1①，
4x+10y+z＝2005②，
②﹣①得x+3y＝2004，
∴3x+9y＝6012③，
②﹣③得x+y+z＝﹣4007，
∴x+3y2004x+2004y+2004z=20042004(x+y+z)=1x+y+z，
∴x+3y2004x+2004y+2004z=?14007．
故答案為：?14007．
【變式3】已知：a3=b5=c7，且3a+2b﹣4c＝9，則a+b+c的值等于 ﹣15 ．
【分析】先設(shè)比例系數(shù)為k，代入3a+2b﹣4c＝9，轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的一元一次方程解答．
【解答】解：設(shè)a3=b5=c7=k，
則a＝3k，b＝5k，c＝7k，
代入3a+2b﹣4c＝9，
得9k+10k﹣28k＝9，
解得：k＝﹣1，
∴a＝﹣3，b＝﹣5，c＝﹣7，
于是a+b+c＝﹣3﹣5﹣7＝﹣15．
故本題答案為：﹣15．
題型04 三元一次方程組的簡(jiǎn)單應(yīng)用
【典例1】某校七年級(jí)有3個(gè)班，已知一班、二班的平均人數(shù)與三班人數(shù)之和為45，二班、三班的平均人數(shù)與一班人數(shù)之和為48，一班、三班的平均人數(shù)與二班人數(shù)之和為47，則三個(gè)班的總?cè)藬?shù)為（）
A．68B．70C．72D．74
【分析】根據(jù)“一班、二班的平均人數(shù)與三班人數(shù)之和為45，二班、三班的平均人數(shù)與一班人數(shù)之和為48，一班、三班的平均人數(shù)與二班人數(shù)之和為47”列出三元一次方程組，再根據(jù)整體思想求解．
【解答】解：設(shè)一班為x人，二班有y人，三班由z人，
則：12(x+y)+z=4512(y+z)+x=4812(x+z)+y=47，
方程組可化為：
x+y+2z=90①2x+y+z=96②x+2y+z=94③，
①+②+③得：4（x+y+z）＝280，
∴x+y+z＝70，
故選：B．
【變式1】某校開(kāi)學(xué)典禮需要購(gòu)買(mǎi)一、二、三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品若干，若購(gòu)買(mǎi)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品1件，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品4件，三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品4件，共需250元；若購(gòu)買(mǎi)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品2件，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品2件，三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品8件，共需320元．則購(gòu)買(mǎi)一件二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品需要的錢(qián)數(shù)是（）
A．20元B．30元C．40元D．50元
【分析】設(shè)三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)是x元，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)是y元，一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)是z元，根據(jù)“若購(gòu)買(mǎi)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品1件，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品4件，三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品4件，共需250元；若購(gòu)買(mǎi)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品2件，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品2件，三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品8件，共需320元．”可得出關(guān)于x，y，z的三元一次方程組，①×2﹣②得，6y＝180，即可求出購(gòu)買(mǎi)一件二等獎(jiǎng)所需的費(fèi)用．
【解答】解：設(shè)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)是x元，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)是y元，三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)是z元，根據(jù)題意得，
x+4y+4z=250①2x+2y+8z=320②，
①×2﹣②得，6y＝180，
解得：y＝30，
故選：B．
【變式2】【閱讀理解】
在求代數(shù)式的值時(shí)，有些題目可以用整體求值的方法，化難為易．
例：已知3x+2y+z=4①7x+4y+3z=10②，求2x+y+z的值．
解：②﹣①得：4x+2y+2z＝6③
③×12得：2x+y+z＝3，
所以2x+y+z的值為3．
【類(lèi)比遷移】
（1）已知x+2y+3z=105x+6y+7z=26，求3x+4y+5z的值；
【實(shí)際應(yīng)用】
（2）某班級(jí)班委準(zhǔn)備把本學(xué)期賣(mài)廢品的錢(qián)給同學(xué)們買(mǎi)期中獎(jiǎng)品，根據(jù)商店的價(jià)格，若購(gòu)買(mǎi)3本筆記本、2支簽字筆、1支記號(hào)筆需要28元；若購(gòu)買(mǎi)7本筆記本、5支簽字筆、3支記號(hào)筆需要66元；本班共45位同學(xué)，則購(gòu)買(mǎi)45本筆記本、45支簽字筆、45支記號(hào)筆需要多少錢(qián)？
【分析】（1）由整體思想求值即可；
（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)1本筆記本需要a元，1支簽字筆需要b元，1支記號(hào)筆需要c元，根據(jù)若購(gòu)買(mǎi)3本筆記本、2支簽字筆、1支記號(hào)筆需要28元；若購(gòu)買(mǎi)7本筆記本、5支簽字筆、3支記號(hào)筆需要66元；列出三元一次方程組，由整體思想求出a+b+c＝10，即可解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）x+2y+3z=10①5x+6y+7z=26②，
①+②得：6x+8y+10z＝36③，
③×12得：3x+4y+5z＝18，
∴3x+4y+5z的值為18；
（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)1本筆記本需要a元，1支簽字筆需要b元，1支記號(hào)筆需要c元，
由題意得：3a+2b+c=28①7a+5b+3c=66②，
②﹣①×2得：a+b+c＝10③，
③×45得：45a+45b+45c＝450，
答：購(gòu)買(mǎi)45本筆記本、45支簽字筆、45支記號(hào)筆需要450元錢(qián)．
【變式3】閱讀理解：已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題可以通過(guò)適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．這樣的解題思想就是通常所說(shuō)的“整體思想”．利用“整體思想”，解決下列問(wèn)題：
（1）已知二元一次方程組2x+y=7x+2y=8，則x﹣y＝ ﹣1 ，x+y＝ 5 ；
（2）買(mǎi)20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買(mǎi)39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，求購(gòu)買(mǎi)5支鉛筆、5塊橡皮5本日記本共需多少元？
（3）對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，定義新運(yùn)算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常數(shù)，等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值．
【分析】（1）由方程組的兩式相減與相加即可得出結(jié)果；
（2）設(shè)鉛筆單價(jià)為m元，橡皮的單價(jià)為n元，日記本的單價(jià)為p元，由題意列出方程組，即可得出結(jié)果；
（3）由定義新運(yùn)算列出方程組，求出a+b+c＝﹣11，即可得出結(jié)果．
【解答】解：（1）2x+y=7①x+2y=8②，
由①﹣②得：x﹣y＝﹣1，
①+②得：3x+3y＝15，
∴x+y＝5，
故答案為：﹣1，5；
（2）設(shè)鉛筆單價(jià)為m元，橡皮的單價(jià)為n元，日記本的單價(jià)為p元，
由題意得：20m+3n+2p=32①39m+5n+3p=58②，
由①×2﹣②得：m+n+p＝6，
∴5m+5n+5p＝5×6＝30，
答：購(gòu)買(mǎi)5支鉛筆、5塊橡皮5本日記本共需30元；
（3）由題意得：3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②，
由①×3﹣②×2可得：a+b+c＝﹣11，
∴1*1＝a+b+c＝﹣11．
1．下列四組數(shù)值中，（）是方程組a+b+c=02a?b+c=?53a?b?c=?4的解．
A．a(chǎn)=0b=1c=?1B．a(chǎn)=?1b=2c=?1
C．a(chǎn)=?1b=1c=?2D．a(chǎn)=1b=?2c=3
【分析】①+③得出4a＝﹣4，求出a的值，②+③得出5a﹣2b＝﹣9，代入后求出b，即可求出答案．
【解答】解：a+b+c=0①2a?b+c=?5②3a?b?c=?4③
①+③得：4a＝﹣4，
解得：a＝﹣1，
②+③得：5a﹣2b＝﹣9④，
把a(bǔ)＝﹣1代入④得：﹣5﹣2b＝﹣9，
解得：b＝2，
把a(bǔ)＝﹣1，b＝2代入①得：﹣1+2+c＝0，
解得：c＝﹣1，
故原方程組的解為a=?1b=2c=?1，
故選：B．
2．三元一次方程組2a+b?3c=194a+2b+c=3a?b+c=0消去未知數(shù)c后，所得二元一次方程組是（）
A．5a?2b=19a+b=1B．2a+b=43a+b=3
C．a(chǎn)+b=13a?2b=19D．3a+b=35a?2b=19
【分析】先消去未知數(shù)c可得5a?2b=19a+b=1，從而可得答案．
【解答】解：2a+b?3c=19①4a+2b+c②a?b+c=0③，
②﹣③得：3a+3b＝3即a+b＝1，
③×3+①得：5a﹣2b＝19，
∴5a?2b=19a+b=1，
故選：A．
3．已知方程組x+y=3y+z=?6z+x=9，則x+y+z的值是（）
A．3B．4C．5D．6
【分析】把三個(gè)方程相加，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：x+y=3①y+z=?6②z+x=9③，
①+②+③得：
2x+2y+2z＝3+（﹣6）+9，
∴x+y+z＝3，
故選：A．
4．若x、y滿(mǎn)足x+y+m＝3，x﹣y﹣3m＝1，則代數(shù)式xy有可能值為（）
A．6B．5C．4D．3
【分析】結(jié)合已知條件進(jìn)行代數(shù)式求值，然后代入xy中確定其取值即可．
【解答】解：由題意可得x+y+m=3x?y?3m=1，
解得x=2+my=1?2m，
則xy＝（2+m）（1﹣2m）
＝2﹣4m+m﹣2m2
＝﹣2m2﹣3m+2
＝﹣2（m+34）2+258≤258，
∵6＞5＞4＞258＞3，
∴代數(shù)式xy有可能值為3，
故選：D．
5．方程組x+y=8y+z=?2z+x=4的解使代數(shù)式kx+2y﹣z的值為﹣5，則k的值為（）
A．0B．57C．?107D．75
【分析】用加減消元法求解該三元一次方程組，再將方程組的解代入kx+2y﹣z＝﹣5即可求出k．
【解答】解：x+y=8①y+z=?2②z+x=4③，
①﹣②得：x﹣z＝10④，
③+④得：2x＝14，
解得：x＝7，
把x＝7代入①得：7+y＝8，
解得：y＝1，
把x＝7代入③得：z+7＝4，
解得：z＝﹣3，
∴原方程組的解為x=7y=1z=?3，
把x=7y=1z=?3代入kx+2y﹣z＝﹣5得：7k+2×1﹣（﹣3）＝﹣5，
解得：k=?107．
故選：C．
6．小夢(mèng)在某購(gòu)物平臺(tái)上購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙三種商品，當(dāng)購(gòu)物車(chē)內(nèi)選擇3件甲，2件乙，1件丙時(shí)顯示的價(jià)格為420元；當(dāng)購(gòu)物車(chē)內(nèi)選擇2件甲，3件乙，4件丙時(shí)顯示的價(jià)格為580元，那么購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙各兩件應(yīng)該付款（）
A．200元B．400元C．500元D．600元
【分析】設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙三種商品需付款x元，y元，z元，根據(jù)題意列出方程組，計(jì)算即可求出x，y，z的值，即可得到結(jié)果．
【解答】解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙三種商品需付款x元，y元，z元，
根據(jù)題意得：3x+2y+z=420①2x+3y+4z=580②，
①+②得：5x+5y+5z＝1000，即x+y+z＝200，
∴2x+2y+2z＝400，
則購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙各兩件應(yīng)該付款400元．
故選：B．
7．用現(xiàn)代高等代數(shù)的符號(hào)可以將方程組x+y=52x?y=4的系數(shù)排成一個(gè)表1152?14，這種由數(shù)列排成的表叫做矩陣．矩陣11t32?1m2表示x，y，z三元一次方程組，若4x+y﹣z為定值，則t與m關(guān)系（）
A．m﹣2t＝﹣1B．m+2t＝1C．2m﹣t＝1D．2t+m＝﹣1
【分析】根據(jù)矩陣定義列方程組可解答．
【解答】解：由題意得：x+y+tz=3①2x?y+mz=2②，
①×2+②得：4x+y+2tz+mz＝8，
∵4x+y﹣z為定值，
∴2t+m＝﹣1．
故選：D．
8．對(duì)于有理數(shù)x、y定義一種運(yùn)算“□”：x□y＝ax+by+c，其中a、b、c為常數(shù)，等式右邊是通常的加法與乘法運(yùn)算，已知3□5＝15，4□7＝28，則1□1的值為（）
A．﹣1B．﹣11C．1D．11
【分析】先由運(yùn)算的定義，寫(xiě)出3□5＝15，4□7＝28，得到關(guān)于a、b、c的方程組，用含c的代數(shù)式表示出a、b．代入2□2求出值．
【解答】解：∵3□5＝3a+5b+c＝15，4□7＝4a+7b+c＝28，
∴3a+5b+c=154a+7b+c=28，
解這個(gè)方程組，得
a=13?2bc=b?24，
所以1□1＝a+b+c＝13﹣2b+b+b﹣24＝﹣11．
故選：B．
9．小華到學(xué)校超市買(mǎi)鉛筆11支，作業(yè)本5個(gè)，筆芯2支，共花12.5元；小剛在這家超市買(mǎi)同樣的鉛筆10支，同樣的作業(yè)本4個(gè)，同樣的筆芯1支，共花10元錢(qián)．若買(mǎi)這樣的鉛筆1支、作業(yè)本1個(gè)，筆芯1支共需（）元．
A．3B．2.5C．2D．無(wú)法求出
【分析】等量關(guān)系為：11×鉛筆的單價(jià)+5×作業(yè)本的單價(jià)+2×筆芯的單價(jià)＝12.5；10×鉛筆的單價(jià)+4×作業(yè)本的單價(jià)+1×筆芯的單價(jià)＝10，把兩個(gè)方程相減后即可得到的方程可得購(gòu)買(mǎi)這樣的鉛筆1支、作業(yè)本1個(gè)，筆芯1支共需的錢(qián)數(shù)．
【解答】解：設(shè)購(gòu)一支鉛筆，一個(gè)作業(yè)本，一支筆芯分別需要x，y，z元，
根據(jù)題意得11x+5y+2z=12.5①10x+4y+z=10②，
①﹣②得x+y+z＝12.5﹣10＝2.5．
故買(mǎi)這樣的鉛筆1支、作業(yè)本1個(gè)，筆芯1支共需2.5元．
故選：B．
10．幻方是古老的數(shù)字問(wèn)題，我國(guó)古代的《洛書(shū)》中記載了最早的幻方—九宮格．將9個(gè)數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條斜對(duì)角線(xiàn)上的3個(gè)數(shù)之和相等．如圖為一個(gè)三階幻方的一部分，則圖中右上角空格中c的值為（）
A．﹣2B．0C．2D．4
【分析】根據(jù)每一橫行、每一豎列以及兩條斜對(duì)角線(xiàn)上的3個(gè)數(shù)之和相等列出方程組即可解得答案．
【解答】解：根據(jù)題意得：e+10=b+cc+e=b?2，
∴（e+10）﹣（c+e）＝（b+c）﹣（b﹣2），
∴c＝4；
故選：D．
11．若x+2y+3z＝5，4x+3y+2z＝10，則x+y+z的值為 3 ．
【分析】此題可運(yùn)用“整體思想”求解，讓已知的兩式相加，然后將系數(shù)化為1，即可求得x+y+z的值．
【解答】解：將兩個(gè)方程左右兩邊分別相加，得5x+5y+5z＝15，
兩邊同時(shí)除以5，得x+y+z＝3．
故答案為：3．
12．如果方程組x=4ax+by=5的解與方程組y=3bx+ay=2的解相同，則a+b＝ 1 ．
【分析】?jī)蓚€(gè)方程組的解相同，意思是這兩個(gè)方程組中的x都等于4，y都等于3，即x=4y=3是方程組ax+by=5bx+ay=2的解，根據(jù)方程組的解的定義，即可求出a+b的值．
【解答】解：依題意，知x=4y=3是方程組ax+by=5bx+ay=2的解，
∴4a+3b=5①3a+4b=2②
①+②，得7a+7b＝7，
方程兩邊都除以7，得a+b＝1．
13．若方程組a+b=3b+c=2c+a=1的解滿(mǎn)足k＝a+b+c，則點(diǎn)P（k+2，1﹣2k）在第四象限．
【分析】將方程組中的三個(gè)方程相加后求得k的值，再將其代入k+2，1﹣2k中計(jì)算，最后根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求得答案．
【解答】解：∵若方程組a+b=3b+c=2c+a=1的解滿(mǎn)足k＝a+b+c，
∴將方程組中的三個(gè)方程相加可得2a+2b+2c＝6，
∴k＝a+b+c＝3，
∴k+2＝5，1﹣2k＝﹣5，
則P（5，﹣5）在第四象限，
故答案為：四．
14．信息安全保障越來(lái)越受到人們重視，很多信息需要加密處理，有一種加密、解密的工作原理為：發(fā)送方由明文通過(guò)加密規(guī)則加密成密文，接收方由密文通過(guò)解密成明文．已知某加密規(guī)則為：明文x，y互為相反數(shù)，其對(duì)應(yīng)密文為x+2y﹣k，2x+y﹣k．若接收方收到密文為2和﹣1，則k的值為 ?12 ．
【分析】根據(jù)題意列出方程，求解即可．
【解答】解：由題意得：x+2y?k=22x+y?k=?1x+y=0，
∴x=?32y=32k=?12，
故答案為：?12．
15．已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且a，b，c滿(mǎn)足a+43=b+32=c+84，a+b+c＝12，則△ABC的形狀為直角三角形．
【分析】設(shè)a+43=b+32=c+84=k，表示a、b、c的長(zhǎng)，代入a+b+c＝12中，計(jì)算k的值，可得三邊的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理可得結(jié)論．
【解答】解：△ABC是直角三角形，理由是：
設(shè)a+43=b+32=c+84=k，
則a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，
∵a+b+c＝12，
∴3k﹣4+2k﹣3+4k﹣8＝12，
k＝3，
∴a＝5，b＝3，c＝4，
∴c2+b2＝42+32＝25＝a2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案為：直角三角形
16．解下列方程（組）
（1）x+23?x?12=1 （2）x+13=y+24x?34?y?33=112 （3）x+2y+z=02x?y?z=13x?y?z=2．
【分析】（1）利用解一元一次方程的方法進(jìn)行求解即可；
（2）利用加減消元法進(jìn)行求解即可；
（3）利用加減消元法進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）x+23?x?12=1，
2（x+2）﹣3（x﹣1）＝6，
2x+4﹣3x+3＝6，
﹣x＝﹣1，
x＝1；
（2）x+13=y+24x?34?y?33=112，
整理得：4x?3y=2①3x?4y=?2②，
①×3得：12x﹣9y＝6③，
②×4得：12x﹣16y＝﹣8④，
③﹣④得：7y＝14，
解得：y＝2，
把y＝2代入①得：4x﹣6＝2，
解得：x＝2，
故原方程組的解是：x=2y=2；
（3）x+2y+z=0①2x?y?z=1②3x?y?z=2③，
①+②得：3x+y＝1④，
①+③得：4x+y＝2⑤，
⑤﹣④得：x＝1，
把x＝1代入④得：3+y＝1，
解得：y＝﹣2，
把x＝1，y＝﹣2代入①得：1﹣4+z＝0，
解得：z＝3，
故原方程組的解是：x=1y=?2z=3．
17．已知三角形的周長(zhǎng)為30，三邊長(zhǎng)分別是a、b、c，且a+2b﹣c＝13，2a＝c+3，求三角形的三邊長(zhǎng)．
【分析】根據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，c的方程組，然后利用加減和代入消元法解方程組即可．
【解答】解：∵三角形的周長(zhǎng)為30，三邊長(zhǎng)分別是a、b、c，
∴a+b+c＝30，
∴a+b+c=30①a+2b?c=13②2a=c+3③，
①+②得：2a+3b＝43④，
把③代入④得：c+3b＝40⑤，
①﹣②得：﹣b+2c＝17⑥，
⑥×3得：﹣3b+6c＝51⑦，
⑤+⑦得：c＝13，
把c＝13代入③得：a＝8，
把a(bǔ)＝8，c＝13代入①得：b＝9，
∴方程組的解為：a=8b=9c=13，
∴三角形的三邊長(zhǎng)分別為8，9，13．
18．已知等式y(tǒng)＝ax2+bx+c，且當(dāng)x＝1時(shí)y＝0；，當(dāng)x＝2時(shí)y＝3；當(dāng)x＝﹣3時(shí)y＝28；
（1）求a、b、c的值；
（2）當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y的值又是多少？
【分析】（1）②﹣①，得3a+b＝3④，③﹣②，得a﹣b＝5⑤，然后求出a、b的值，再代入①即可求出c的值；
（2）把a(bǔ)、b、c的值代入等式y(tǒng)＝ax2+bx+c，得到y(tǒng)＝2x2﹣3x+1，再將x的值代入計(jì)算即可．
【解答】解：（1）由題意得，
a+b+c=0①4a+2b+c=3②9a?3b+c=28③，
②﹣①，得3a+b＝3④，
③﹣②，得5a﹣5b＝25，即a﹣b＝5⑤，
④與⑤組成方程組得3a+b=3a?b=5，
解得a=2b=?3，
把a(bǔ)=2b=?3代入①，得c＝1，
∴a、b、c的值分別是2，﹣3，1；
（2）由（1）知a、b、c的值分別是2，﹣3，1，
∴y＝2x2﹣3x+1，
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝2×（﹣2）2﹣3×（﹣2）+1＝2×4+6+1＝15．
19．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)：探究不定方程
小張，小王兩位同學(xué)在學(xué)習(xí)方程過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)三元一次方程組3x+2y+z=9①2x+3y+4z=11②，雖然解不出x，y，z的具體數(shù)值，但可以解出x+y+z的值．請(qǐng)?jiān)谝韵聶M線(xiàn)處補(bǔ)全兩人的解法．
小張的方法：
②×3﹣①×2，整理可得：y＝ 3﹣2z ；
①×3﹣②×2，整理可得：x＝ z+1 ，
∴x+y+z＝4
小王的方法：①+②： 5x+5y+5z＝20 ③；
∴ ③÷5 得：x+y+z＝4．
請(qǐng)利用解不定方程的思路解決以下問(wèn)題：已知買(mǎi)4本英語(yǔ)簿，5本數(shù)學(xué)簿，2本作文本需要6元；買(mǎi)4本英語(yǔ)簿，8本數(shù)學(xué)簿，2本作文本需要7，2元，求買(mǎi)2本英語(yǔ)簿，3本數(shù)學(xué)簿，1本作文本需要多少錢(qián)？
【分析】（1）分別根據(jù)題干提示的思路求解x+y+z即可；
（2）由題意，設(shè)1本英語(yǔ)簿x元，1本數(shù)學(xué)簿y元，1本作文本z元，再建立方程組4x+5y+2z①4x+8y+2z=7.2②，先求解y，再求解2x+z，從而可得答案．
【解答】解：3x+2y+z①2x+3y+4z=11②，
由題意，小張的方法：②×3﹣①×2，
整理可得：y＝3﹣2z；
①×3﹣②×2，整理可得：x＝z+1，
∴x+y+z＝4，
小王的方法：①+②：5x+5y+5z＝20③；
∴③÷5得：x+y+z＝4．
故答案為：3﹣2z；z+1；5x+5y+5z＝20；③÷5．
由題意，設(shè)1本英語(yǔ)簿x元，1本數(shù)學(xué)簿y元，1本作文本z元，
可得方程組4x+5y+2z①4x+8y+2z=7.2②
∴②﹣①得，3y＝1.2，
∴y＝0.4．
又①×8﹣②×5，整理得，2x+z＝2．
∴2x+3y+z＝3.2．
20．在解決“已知有理數(shù)x、y、z滿(mǎn)足方程組2x+3y?z=5①x?2y+3z=1②，求4x+13y﹣9z的值”時(shí)，小華是這樣分析與解答的．
解：由①×a得：2ax+3ay﹣az＝5a③，由②×b得：bx﹣2by+3bz＝b④．
③+④得：（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝5a+b⑤．
當(dāng)（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝4x+13y﹣9z時(shí)，
即2a+b=43a?2b=13?a+3b=?9，解得a=3b=?2．
∴①×3+②×（﹣2），得4x+13y﹣9z＝5×3+1×（﹣2）＝13．
請(qǐng)你根據(jù)小華的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：
（1）若有理數(shù)a、b滿(mǎn)足（3x+4y+2z）×a+（x+6y+5z）×b＝12x+2y﹣5z，求a、b的值；
（2）母親節(jié)將至，小新準(zhǔn)備給媽媽購(gòu)買(mǎi)一束組合鮮花，若購(gòu)買(mǎi)2枝紅花、3枝黃花、1枝粉花共需18元；購(gòu)買(mǎi)3枝紅花、5枝黃花、2枝粉花共需28元．則購(gòu)買(mǎi)1枝紅花、3枝黃花、2枝粉花共需多少元？
【分析】（1）把左邊去括號(hào)，合并關(guān)于x、y、z的同類(lèi)項(xiàng)，得出a和b的方程組求解；
（2）設(shè)一枝紅花、黃花、粉花的單價(jià)分別是x、y、z元，然后按照小華的解法解答即可．
【解答】解：（1）∵（3x+4y+2z）×a+（x+6y+5z）×b＝12x+2y﹣5z，
∴3ax+4ay+2az+bx+6by+5bz＝12x+2y﹣5z，
∴（3a+b）x+（4a+6b）y+（2a+5b）z＝12x+2y﹣5z，
∴3a+b=124a+6b=2，解得a=5b=?3；
（2）設(shè)一枝紅花、黃花、粉花的單價(jià)分別是x、y、z元，
由題意得2x+3y+z=18①3x+5y+2z=28②，求x+3y+2z的值．
設(shè)①×a得：2ax+3ay+az＝18a③，
②×b得：3bx+5by+2bz＝28b④，
③+④得：（2a+3b）x+（3a+5b）y+（a+2b）z＝18a+28b⑤，
當(dāng)（2a+3b）x+（3a+5b）y+（a+2b）z＝x+3y+2z時(shí)，
即2a+3b=13a+5b=3a+2b=2，
解得a=?4b=3，
∴x+3y+2z＝18a+28b＝12，
答：購(gòu)買(mǎi)1枝紅花、3枝黃花、2枝粉花共需12元．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①三元一次方程（組）
②三元一次的解法
掌握三元一次方程（組）的概念并能夠準(zhǔn)確的進(jìn)行判斷。
掌握三元一次方程組的解法并能夠熟練的解三元一次方程組。

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