知識(shí)點(diǎn)01 不等式的性質(zhì)
不等式的性質(zhì)1：
不等式兩邊同時(shí)加（或減） 同一個(gè) 數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向 不變 。
即若，則 。
不等式的性質(zhì)2：
不等式的兩邊同時(shí)乘上（或除以） 同一個(gè)正數(shù) ，不等號(hào)的方向 不變 。
若，則 。
不等式的性質(zhì)3：
不等式的兩邊同時(shí)乘上（或除以） 同一個(gè)負(fù)數(shù) ，不等號(hào)的方向 改變 。
若，則 。
【即學(xué)即練1】
1．已知a＜b，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．a(chǎn)+5＜b+5B．2a＞2bC．a(chǎn)3＞b3D．﹣2a＜﹣2b
【分析】（1）根據(jù)不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；（2根據(jù)不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）根據(jù)不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．直接利用不等式的性質(zhì)分別判斷得出即可．
【解答】解：∵a＜b，
∴a+5＜b+5，選項(xiàng)A符合題意；
2a＜2b，選項(xiàng)B不符合題意；
a3＜b3，選項(xiàng)C不符合題意；
﹣2a＞﹣2b，選項(xiàng)D不符合題意；
故選：A．
【即學(xué)即練2】
2．不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＜0B．a(chǎn)＜12C．a(chǎn)＜?12D．a(chǎn)＞?12
【分析】這是一個(gè)含有字母系數(shù)的不等式，仔細(xì)觀察，（2a﹣1）x＜2（2a﹣1），要想求得解集，需把（2a﹣1）這個(gè)整體看作x的系數(shù)，然后運(yùn)用不等式的性質(zhì)求出，給出的解集是x＞2，不等號(hào)的方向已改變，說(shuō)明運(yùn)用的是不等式的性質(zhì)3，運(yùn)用性質(zhì)3的前提是兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，從而求出a的范圍．
【解答】解：∵不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，
∴不等式變號(hào)，
∴2a﹣1＜0，
∴a＜12．
故選：B．
【即學(xué)即練3】
3．已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足：a+b＝2，且﹣1＜a﹣b＜1，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．12＜a＜32B．12＜b＜32
C．12＜2a?b＜32D．5＜4a+2b＜7
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可．
【解答】解：∵a+b＝2且﹣1＜a﹣b＜1，
∴a＝2﹣b，
∴﹣1＜2﹣b﹣b＜1，
∴12＜b＜32，故選項(xiàng)B正確；
∵a＝2﹣b，
∴12＜a＜32，故選項(xiàng)A正確；
∵2a﹣b＝2（2﹣b）﹣b＝4﹣3b，
∴?12＜2a?b＜52，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
∵4a+2b＝4（2﹣b）+2b＝8﹣2b，
∴5＜4a+2b＜7，故選項(xiàng)D正確．
故選：C．
知識(shí)點(diǎn)02 用不等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的不等式
用不等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的不等式：
利用不等式的性質(zhì)1、2、3對(duì)不等式兩邊進(jìn)行變形，使其逐步化為 的形式。其中為常數(shù)。然后由此在數(shù)軸上表示不等式的解集。
【即學(xué)即練1】
4．將下列不等式化為“x＞a”或“x＜a”的形式．
（1）?32x＞60；
（2）﹣2x+3＜3x+2．
【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得到不等式的解集；
（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得到不等式的解集．
【解答】解：（1）?32x＞60，
不等式兩邊同時(shí)乘?23，
解得：x＜﹣40；
（2）﹣2x+3＜3x+2，
不等式兩邊同時(shí)減3x，得﹣5x+3＜2，
不等式兩邊同時(shí)減3，得﹣5x＜﹣1，
不等式兩邊同時(shí)除以﹣5，得x＞15．
題型01 不等式的性質(zhì)
【典例1】若m＞n，則下列不等式正確的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2B．m5＞n5C．6m＜6nD．﹣8m＞﹣8n
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)：（1）不等式兩邊同加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；（2）不等式兩邊同乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式兩邊同乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，即可一一判定．
【解答】解：∵m＞n，
∴m﹣2＞n﹣2，m5＞n5，6m＞6n，﹣8m＜﹣8n，
故A、C、D錯(cuò)誤，B正確．
故選：B．
【變式1】已知x＞y，則下列不等式不成立的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1B．﹣3x+1＜﹣3y+1
C．﹣2x＜﹣2yD．a(chǎn)x﹣1＞ay﹣1
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A．若x＞y，則x﹣1＞y﹣1，故選項(xiàng)A成立；
B．若x＞y，則﹣3x＜﹣3y，﹣3x+1＜﹣3y+1，故選項(xiàng)B成立；
C．若x＞y，則﹣2x＜﹣2y，故選項(xiàng)C成立；
D．若x＞y，當(dāng)a＞0時(shí)，ax＞ay，ax﹣1＞ay﹣1，故選項(xiàng)D不成立．
故選：D．
【變式2】若x＞y，且mx＜my，則m的值可能是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)即可判斷．
【解答】解：∵x＞y，且mx＜my，
∴m＜0，
故選：A．
【變式3】下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若a＞b，則a﹣2＜b﹣2B．若a＞b，則a2＞b2
C．若a＞b，則ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，則a＞b
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：A、若a＞b，則a﹣2＞b﹣2，計(jì)算不正確，不符合題意；
B、當(dāng)a＝﹣1，b＝﹣2時(shí)，a＞b，a2＜b2，計(jì)算不正確，不符合題意；
C、若a＞b，當(dāng)c≠0時(shí)，ac2＞bc2，計(jì)算不正確，不符合題意；
D．、若ac2＞bc2，則a＞b，計(jì)算正確，符合題意．
故選：D．
【變式4】下列說(shuō)法不一定成立的是（ ）
A．若a＞b，則a+c＞b+c
B．若a＞b，則ab＞1
C．若a＞b，則a（a﹣b）＞b（a﹣b）
D．若ac2＞bc2，則a＞b
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)1以及不等式的性質(zhì)2逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：根據(jù)不等式的性質(zhì)1以及不等式的性質(zhì)2逐項(xiàng)判斷如下：
A、a＞b，則a+c＞b+c，A說(shuō)法成立，不符合題意；
B、當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)a＞b，但ab＜0，ab＞1不成立，符合題意；
C、∵a＞b，∴a﹣b＞0，則a（a﹣b）＞b（a﹣b），C說(shuō)法成立，不符合題意；
D、若ac2＞bc2，則a＞b，D說(shuō)法成立，不符合題意．
故選：B．
題型02 根據(jù)不等式的變形求取值范圍
【典例1】若關(guān)于m的不等式（1﹣m）x＞2可化為x＜21?m，則m的取值范圍為 m＞1 ．
【分析】觀察已知條件中的不等式和其解集，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)列出關(guān)于m的不等式，解不等式求出m的取值范圍即可．
【解答】解：∵關(guān)于m的不等式（1﹣m）x＞2可化為x＜21?m，
∴1﹣m＜0，
﹣m＜﹣1，
m＞1，
故答案為：m＞1．
【變式1】若關(guān)于x的不等式（2﹣a）x＜3可化為x＞32?a，則a的取值范圍是 a＞2 ．
【分析】根據(jù)已知解集得到2﹣a為負(fù)數(shù)，即可確定出a的范圍．
【解答】解：∵不等式（2﹣a）x＜3可化為x＞32?a，
∴2﹣a＜0，
解得：a＞2，
故答案為：a＞2．
【變式2】如果不等式（a+1）x＞a+1的解集為x＜1，則a必須滿(mǎn)足（ ）
A．a(chǎn)＜0B．a(chǎn)≤1C．a(chǎn)＞﹣1D．a(chǎn)＜﹣1
【分析】根據(jù)不等式的解集，得到不等號(hào)方向改變，即a+1小于0，即可求出a的范圍．
【解答】解：∵不等式（a+1）x＞（a+1）的解為x＜1，
∴a+1＜0，
解得：a＜﹣1．
故選：D．
【變式3】若（1﹣a）x≤a﹣1的解集為x≥﹣1，則a的取值范圍是 a＞1 ．
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)3，可得答案．
【解答】解：由（1﹣a）x≤a﹣1的解集為x≥﹣1，得
1﹣a＜0．
解得a＞1，
故答案為：a＞1．
【變式4】若x＞y，且（m﹣1）x＞（m﹣1）y，則m的取值范圍是 m＞1 ．
【分析】利用不等式性質(zhì)得到m﹣1＞0，即可得出答案．
【解答】解：∵x＞y，且（m﹣1）x＞（m﹣1）y，
∴m﹣1＞0，
∴m＞1．
故答案為：m＞1．
題型03 利用不等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的不等式
【典例1】將下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
（1）x﹣1＞3． （2）?x2＞1．
【分析】（1）兩邊都加1，即可作答．
（2）不等式兩邊同時(shí)乘上﹣2，即可作答．
【解答】解：1）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1，兩邊都加1，得x＞3+1，即x＞4．
（2）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3，兩邊都乘﹣2，得x＜﹣2．
【變式1】依據(jù)不等式的性質(zhì)，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：
（1）x+3＜5； （2）﹣2x＜5； （3）17x＜?3．
【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)兩邊都減去3即可求解；
（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)兩邊都除以﹣2即可求解；
（3）根據(jù)不等式的性質(zhì)兩邊都乘以7即可求解．
【解答】解：（1）∵x+3＜5，
∴x+3﹣3＜5﹣3，
∴x＜2；
（2）∵﹣2x＜5，
∴﹣2÷（﹣2）x＜5÷（﹣2），
∴x＞?52；
（3）∵17x＜?3，
∴17×7x＜?3×7，
∴x＜﹣21．
題型04 不等式性質(zhì)的其他應(yīng)用
【典例1】已知a＜b，則一定有6﹣4a□6﹣4b，“□”中應(yīng)填的符號(hào)是（ ）
A．＞B．＜C．≥D．＝
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，不等式兩邊都乘同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變即可求解．
【解答】解：∵a＜b，
∴﹣4a＞﹣4b，
∴6﹣4a＞6﹣4b，
故選：A．
【變式1】已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．a(chǎn)+b＞0B．2a+b＜0C．0＜a＜cD．?2＜ba＜?1
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)可得3a+2b+c＝（a+b+c）+2a+b＝2a+b＞0，由a+b+c＝0可得b＝﹣a﹣c，再代入2a+b＞0解答即可；由b＝﹣a﹣c，c＞0，由不等式的性質(zhì)可得b＜﹣a，再根據(jù)2a+b＞0可得﹣2a＜b，所以﹣2a＜b＜﹣a，再由a＞0，結(jié)合不等式的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵a+b+c＝0，3a+2b+c＞0，
∴3a+2b+c＝（a+b+c）+2a+b＝2a+b＞0，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
又∵b＝﹣a﹣c，
∴2a﹣a﹣c＞0，
即a﹣c＞0，
∴a＞c，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵b＝﹣a﹣c，c＞0，
∴b＜﹣a，即a+b＜0，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
又∵2a+b＞0，
∴﹣2a＜b，
∴﹣2a＜b＜﹣a，
又∵a＞c＞0，
∴﹣2＜ba＜?1，故D選項(xiàng)正確；
故選：D．
【變式2】已知a，b，c為非零實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足a+b+c＝0，2a+b+12c＜1，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．3a＜2B．2a﹣c＞2C．3a﹣b﹣3c＜4D．a(chǎn)+3b+4c＞0
【分析】利用舉反例的方法，說(shuō)明符合條件a+b+c＝0，2a+b+12c＜1的一組數(shù)a＝1，b＝﹣1.1，c＝0.1，判斷ABD三選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，即可得到結(jié)果．
【解答】解：A．當(dāng)a＝1，b＝﹣1.1，c＝0.1時(shí)，a+b+c＝0，2a+b+12c＝0.95＜1，顯然3a＝3，3a＞2，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B．當(dāng)a＝1，b＝﹣1.1，c＝0.1時(shí)，2a﹣c＝2﹣0.2＝1.8＜2，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C．∵a+b+c＝0，
∴c＝﹣a﹣b，
代入不等式2a+b+12c＜1，得2a+b+12（﹣a﹣b）＜1，
∴3a+b＜2，
∴當(dāng)c＝﹣a﹣b時(shí)，3a﹣b﹣3c＝3a﹣b﹣3（﹣a﹣b）＝6a+2b＝2（3a+b）＜4，
即3a﹣b﹣3c＜4，
故該選項(xiàng)正確，符合題意；
D．當(dāng)a＝1，b＝﹣1.1，c＝0.1時(shí)，a+3b+4c＝﹣1.9＜0，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：C．
【變式3】若2a﹣b+1＝0，0＜a+b+2＜3，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）
A．﹣1＜a＜0B．﹣1＜b＜1C．﹣3＜2a+b＜1D．0＜a﹣b＜1
【分析】先求得b＝2a+1，得到0＜3a+3＜3，解得﹣1＜a＜0，再分別求得b、2a+b和a﹣b的取值范圍即可得解．
【解答】解：由條件可知b＝2a+1，
∵0＜a+b+2＜3，
∴0＜3a+3＜3，解得﹣1＜a＜0；
∴﹣2＜2a＜0，則﹣1＜2a+1＜1，
即﹣1＜b＜1；
∵2a+b＝4a+1，﹣1＜a＜0，
∴﹣4＜4a＜0，
∴﹣3＜2a+b＜1；
∵a﹣b＝﹣a﹣1，﹣1＜a＜0，
∴0＜﹣a＜1，
∴﹣1＜﹣a﹣1＜0，即﹣1＜a﹣b＜0，
觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)D符合題意，
故選：D．
1．若m＞n，則下列不等式中錯(cuò)誤的是（ ）
A．m+2＞n+2B．m﹣2＞n﹣2C．3m﹣3n＞0D．﹣2m＞﹣2n
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A．若m＞n，則m+2＞n+2，故選項(xiàng)A正確；
B．若m＞n，則m﹣2＞n﹣2，故選項(xiàng)B正確；
C．若m＞n，則3m＞3n，即3m﹣3n＞0，故選項(xiàng)C正確；
D．若m＞n，則﹣2m＜﹣2n，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：D．
2．將不等式2＜3兩邊都乘以同一個(gè)數(shù)x，若不改變不等號(hào)的方向，則x的取值范圍是（ ）
A．x＞1B．x＞0C．x＜0D．x＜1
【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵不等式2＜3兩邊都乘以同一個(gè)數(shù)x，不改變不等號(hào)的方向，
∴x＞0．
故選：B．
3．若a＜b，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．a(chǎn)+2＜b+2B．3﹣a＜3﹣b
C．4a＜4bD．a(chǎn)k2+1＜bk2+1
【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：A、若a＜b，則a+2＜b+2，故A不符合題意；
B、若a＜b，則3﹣a＞3﹣b，故B符合題意；
C、若a＜b，則4a＜4b，故C不符合題意；
D、若a＜b，則ak2+1＜bk2+1，故D不符合題意．
故選：B．
4．設(shè)A，B，C表示三種不同的物體，先后用天平稱(chēng)了兩次，情況如圖所示，則這三個(gè)物體按質(zhì)量從大到小應(yīng)為（ ）
A．A＞B＞CB．C＞B＞AC．B＞A＞CD．A＞C＞B
【分析】根據(jù)題意可得：A＞B，3C＝B+C，從而可得2C＝B，進(jìn)而可得B＞C，即可解答．
【解答】解：由題意得：A＞B，3C＝B+C，
∴2C＝B，
∴B＞C，
∴A＞B＞C，
故選：A．
5．下列不等式變形正確的是（ ）
A．若a＜b，則1+a＜1+bB．若a＜b，則ax2＜bx2
C．若ac＞bc，則a＞bD．若m＞n，則m﹣1＜n﹣1
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A．若a＜b，則1+a＜1+b，故選項(xiàng)A正確；
B．若a＜b，當(dāng)x＝0時(shí)，ax2＝bx2，故選項(xiàng)B不正確；
C．若ac＞bc，當(dāng)a＞b，c＜0時(shí)，ac＜bc，故選項(xiàng)C不正確；
D．若m＞n，則m﹣1＞n﹣1，故選項(xiàng)D不正確．
故選：A．
6．不等關(guān)系在生活中廣泛存在．如圖，a、b分別表示兩位同學(xué)的身高，c表示臺(tái)階的高度．圖中兩人的對(duì)話(huà)體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是（ ）
A．若a＞b，則a+c＞b+cB．若a＞b，b＞c，則a＞c
C．若a＞b，c＞0，則ac＞bcD．若a＞b，c＞0，則ac＞bc
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：由題意得，a＞b，
∴a+c＞b+c，
∴圖中兩人的對(duì)話(huà)體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是若a＞b，則a+c＞b+c．
故選：A．
7．若m＜1，則（m﹣1）x＞1﹣m的解集為（ ）
A．x＞1B．x＜1C．x＜﹣1D．x＞﹣1
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)3，不等式的兩邊都除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，可得答案．
【解答】解：m＜1，則（m﹣1）x＞1﹣m，得
x＜﹣1，
故選：C．
8．若a＜0，a+b＞0，則三個(gè)數(shù)a，b，a+b中最大的數(shù)是（ ）
A．a(chǎn)B．bC．a(chǎn)+bD．無(wú)法確定
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)1，由a＜0得到a+b＜b，然后利用a+b＞0可判斷三個(gè)數(shù)a，b，a+b中最大的數(shù)．
【解答】解：∵a＜0，
∴a+b＜b，
∵a+b＞0，
∴a＜a+b＜b，
即三個(gè)數(shù)a，b，a+b中最大的數(shù)是b．
故選：B．
9．如果關(guān)于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集為x＜1，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＜0B．a(chǎn)＜﹣1C．a(chǎn)＞1D．a(chǎn)＞﹣1
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得答案．
【解答】解：由題意，得
a+1＜0，
解得a＜﹣1，
故選：B．
10．若非零實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足x+y+z＝0，2x+y+z＜1，則下列判斷正確的是（ ）
A．x＞1B．y+z＜1
C．4x+3y+3z＜1D．3x+4y+4z＜﹣1
【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，對(duì)所給選項(xiàng)依次進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：由題知，
因?yàn)閤+y+z＝0，2x+y+z＜1，
則x+y+z+x＜1，
即x＜1．
故A選項(xiàng)不符合題意．
因?yàn)閥+z＝﹣x，且﹣x是非零實(shí)數(shù)，
所以y+z的大小無(wú)法確定．
故B選項(xiàng)不符合題意．
因?yàn)?x+3y+3z＝x+3（x+y+z）＝x＜1，
所以4x+3y+3z＜1．
故C選項(xiàng)符合題意．
因?yàn)?x+4y+4z＝3（x+y+z）+y+z＝y(tǒng)+z＝﹣x，且﹣x是非零實(shí)數(shù)，
所以3x+4y+4z的大小無(wú)法確定．
故D選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
11．由x＜y得到ax＞ay，a應(yīng)滿(mǎn)足的條件是 a＜0 ．
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)3，不等式的兩邊都乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，即可求解．
【解答】解：∵x＜y，
當(dāng)a＜0時(shí)，根據(jù)不等式的性質(zhì)3，不等式的兩邊都乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，
∴ax＞ay，
∴a應(yīng)滿(mǎn)足的條件是a＜0，
故答案為：a＜0．
12．比較大小，用“＞”或“＜”填空：若x＜y，且（a﹣b）x＞（a﹣b）y，則a ＜ b．
【分析】利用不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變可得a﹣b＜0，繼而求得答案．
【解答】解：若x＜y，且（a﹣b）x＞（a﹣b）y，
則a﹣b＜0，
那么a＜b，
故答案為：＜．
13．若x＜1，則x+1 ＜ 2（填“＞”“＜”或“＝”）；若x＜1是關(guān)于x的不等式（2024﹣m）x＞2024﹣m的解集，則m的取值范圍是 m＞2024 ．
【分析】（1）根據(jù)不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等式仍然成立即可得出答案；
（2）根據(jù)不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等式的方向要發(fā)生改變，即可得出2024﹣m＜0，求解即可得出答案．
【解答】解：∵x＜1，
∴x+1＜1+1，
即x+1＜2，
∵x＜1是關(guān)于x的不等式（2024﹣m）x＞2024﹣m的解集，
∴2024﹣m＜0，
∴m＞2024，
故答案為：＜，m＞2024．
14．若x+y＝3，x≥0，y≥0，則2x+3y的最小值是 6 ．
【分析】把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2x+3y＝6﹣2y+3y＝6+y，利用不等式的性質(zhì)解決最值問(wèn)題．
【解答】解：∵x+y＝3，
∴x＝3﹣y，
∴2x+3y＝2（3﹣y）+3y＝6+y，
∵x≥0，y≥0，
∴3﹣y≥0，即y≤3，
∴0≤y≤3，
∴6≤y+6≤9，
即6≤2x+3y≤9，
∴y＝0時(shí)，最小值為6．
故答案為：6．
15．已知a，b，c為三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足a+b+c=302a+3b+4c=100，若W＝3a+2b+5c，則W的最大值為 130 ．
【分析】將方程組兩個(gè)方程相加，得到3a+5c＝130﹣4b，整體替換可得W＝130﹣2b，再由b的取值范圍即可求解．
【解答】解：a+b+c=30①2a+3b+4c=100②，
①+②，得3a+4b+5c＝130，
可得出a＝10?b2，c＝20?b2，
∵a，b，c為三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，
∴a＝10?b2≥0，c＝20?b2≥0，
∴0≤b≤20，
∴W＝3a+2b+5c＝2b+130﹣4b＝130﹣2b，
∴當(dāng)b＝0時(shí)，W＝130﹣2b的最大值為130，
故答案為：130．
16．根據(jù)不等式的性質(zhì)，將下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
（1）?23x＜?2；
（2）10x＞7x+1．
【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)，將?23x＜?2的兩邊同時(shí)除以?23即可；
（2）首先根據(jù)不等式的性質(zhì)，將10x＞7x+1的兩邊同時(shí)減去7x，然后兩邊再同時(shí)除以3即可．
【解答】解：（1）∵?23x＜?2，
∴?23x÷（?23）＞﹣2÷（?23），
∴x＞3．
（2）∵10x＞7x+1，
∴10x﹣7x＞7x﹣7x+1，
∴3x＞1，
∴3x÷3＞1÷3，
即x＞13．
17．已知：x＜y，試比較6+27x和6+27y的大小，并說(shuō)明理由．
將下面的解題過(guò)程補(bǔ)充完整．
解：6+27x ＜ 6+27y，
理由如下：∵x＜y，
∴ 27x＜27y （不等式的基本性質(zhì)2），
∴ 6+27x＜6+27y （不等式的基本性質(zhì)1）．
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：6+27x＜6+27y．理由如下：
∵x＜y，
∴27x＜27y，
∴6+27x＜6+27y．
故答案為：＜．
18．有一個(gè)數(shù)學(xué)游戲，如圖10，一個(gè)實(shí)數(shù)從A，B，C三個(gè)位置中任選一個(gè)位置出發(fā)，按照通道內(nèi)標(biāo)注的要求進(jìn)行運(yùn)算后到下一個(gè)位置．例如：將3按照B→C（或C→B）的順序進(jìn)行運(yùn)算，是將數(shù)據(jù)3經(jīng)過(guò)“乘以﹣2”的運(yùn)算得出結(jié)果﹣6．
（1）將﹣2按照A→B→C→A的順序進(jìn)行運(yùn)算，列出算式并求出運(yùn)算結(jié)果；
（2）將一個(gè)大于3的數(shù)按照A→C→B→A的順序進(jìn)行運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)果總小于1．請(qǐng)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論．
【分析】（1）根據(jù)A→B→C→A列出算式，再根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)A→C→B→A的運(yùn)算順序列出代數(shù)式，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意列式為：（﹣2+1）×（﹣2）﹣3
＝﹣1×（﹣2）﹣3
＝﹣1．
（2）設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則（x﹣3）×（﹣2）+1＝﹣2x+7．
∵x＞3，
∴﹣2x+7＜1．
19．（1）根據(jù)等式和不等式的性質(zhì)，我們可以得到比較兩數(shù)大小的方法：
①如果a﹣b＜0，那么a ＜ b；
②如果a﹣b＝0，那么a ＝ b；
③如果a﹣b＞0，那么a ＞ b．
這種比較大小的方法稱(chēng)為“求差法比較大小”；
（2）請(qǐng)運(yùn)用上述這種方法嘗試解決下面的問(wèn)題：
①比較4+3a2﹣2b+b2與3a2﹣2b+1的大??；
②若 2a+2b﹣1＞3a+b，比較a，b的大?。?br>【分析】（1）①根據(jù)不等式性質(zhì)即可解答；根據(jù)等式的性質(zhì)即可解答；③根據(jù)不等式性質(zhì)即可解答；
（2）①直接運(yùn)用作差法進(jìn)行比較即可；②先根據(jù)作差法列出不等式，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)確定a、b的大小即可．
【解答】解：（1）①如果a﹣b＜0，a﹣b+b＜0+b，那么a＜b；
故答案為：＜；
②如果a﹣b＝0，a﹣b+b＝0+b，那么a＝b；
故答案為：＝；
③如果a﹣b＞0，a﹣b+b＞0+b，那么a＞b；
故答案為：＞；
（2）①∵4+3a2﹣2b+b2﹣（3a2﹣2b+1）＝b2+3＞0，
∴4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1；
②∵2a+2b﹣1＞3a+b
∴2a+2b﹣1﹣3a﹣b＞0，即﹣a+b﹣1＞0
∴b﹣a＞1＞0
∴a＜b．
20．【生活觀察】數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)．在生活中，我們常用鹽的質(zhì)量與鹽水的質(zhì)量的比表示鹽水的濃度．
（1）現(xiàn)有m克鹽水中含n克鹽（m＞n＞0），則鹽水的濃度為nm．加入a克（a＞0）水，則鹽水濃度為nm+a．生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，鹽水加水后會(huì)變淡，由此得到不等式：nm+a ＜ nm（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【數(shù)學(xué)思考】
（2）將（1）中的“加入a克（a＞0）水”改為“加入a克（a＞0）鹽”，充分?jǐn)嚢韬笕咳芙?，感覺(jué)鹽水變得更咸了，此時(shí)鹽水濃度為 n+am+a ，由此得到新的不等式 n+am+a＞nm （用含a、m、n的式子表示），試證明你發(fā)現(xiàn)的新的不等式．
【結(jié)論運(yùn)用】
（3）在△ABC中，三條邊的長(zhǎng)度分別為x、y、z，試運(yùn)用（1）、（2）中的不等式，證明：1＜xy+z+yx+z+zx+y＜2．
【分析】（1）根據(jù)鹽水加水后會(huì)變淡可知加水后的鹽水濃度小于未加水時(shí)鹽水的濃度，據(jù)此可得答案；
（2）根據(jù)鹽水濃度等于鹽的質(zhì)量除以鹽水的質(zhì)量可得第一空答案，根據(jù)加鹽后會(huì)變咸可知加鹽后的鹽水濃度大于未加鹽時(shí)鹽水的濃度，據(jù)此可得答案；
（3）根據(jù)（1）（2）可得x+xx+y+z＞xy+z，y+yx+y+z＞yx+z，z+zx+y+z＞zx+y，xy+z＞xx+y+z，yx+z＞yx+y+z，zx+y＞zx+y+z，再由不等式的性質(zhì)證明即可．
【解答】解：（1）由題意得，nm+a＜nm，
故答案為：＜；
（2）由題意得，此時(shí)鹽水濃度為n+am+a，
∵鹽水變得更咸了，
∴n+am+a＞nm，
故答案為：n+am+a；n+am+a＞nm；
（3）∵在△ABC中，三條邊的長(zhǎng)度分別為x、y、z，
∴x＞0，y＞0，z＞0，
∴x+xx+y+z＞xy+z，y+yx+y+z＞yx+z，z+zx+y+z＞zx+y，
∴xy+z+yx+z+zx+y＜2xx+y+z+2yx+y+z+2zx+y+z=2(x+y+z)x+y+z=2；
∴xy+z+yx+z+zx+y＞xx+y+z+yx+y+z+zx+y+z=x+y+zx+y+z=1，
∴1＜xy+z+yx+z+zx+y＜2．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①不等式的性質(zhì)
②用不等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的不等式
掌握不等式的性質(zhì)，能夠熟練應(yīng)用不等式的性質(zhì)解決相關(guān)題目。
能夠利用不等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的不等式。

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