1.如圖,已知直線交軸于點,交軸于點,直線交軸于點,與直線相交于點.
(1)求的值與求直線的解析式;
(2)根據(jù)圖像,直接寫出關(guān)于的不等式的解集;
(3)求四邊形的面積.
2.如圖1,在Rt中,,,,點P以每秒1個單位的速度從點A出發(fā),沿運動到點C后停止.連接PC,設(shè)點P的運動時間為,的面積為y.

(1)直接寫出y關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并注明自變量的取值范圍;
(2)在圖2中畫出(1)中函數(shù)的圖象,并結(jié)合函數(shù)圖象,寫出該函數(shù)的一條性質(zhì);
(3)若直線與(2)中的函數(shù)圖象有兩個交點,直接寫出的取值范圍.
3.如圖,在平面直角坐標系中,直線,與x軸,y軸分別交于A,B兩點,若將直線向右平移長度個單位得到直線l,直線l與x軸交于點C,與y軸交于點D,連接.
(1)求直線l的解析式;
(2)若點P為直線l上一點,且射線、射線、射線中某一條射線是另外兩條射線所形成的角的角平分線時,求點P的坐標;
(3)己知直線,當(dāng)時,對x的每一個值都有,請直接寫出k的取值范圍.
4.已知,一次函數(shù)與x軸交點A,與y軸交于點B,點C與點A關(guān)于y軸對稱.
(1)求直線的函數(shù)解析式;
(2)設(shè)點M是x軸上一個動點,過點M作y軸的平行線,交直線于點P,交直線于點Q,當(dāng)?shù)拿娣e是時,求點M的坐標;
(3)已知是的角平分線,在線段上找一點F,使得,求點F的坐標.
5.如圖,在平面直角坐標系中,直線:與軸,軸分別交于點,點,與直線:交于點,直線交軸于點.
(1)求的值及直線的函數(shù)表達式;
(2)求四邊形的面積.
6.如圖,直線與直線相交于點,與x軸分別交于A,B兩點.
(1)求直線的表達式,并結(jié)合圖象直接寫出關(guān)于x,y的方程組的解;
(2)求的面積;
(3)若垂直于x軸的直線與直線,分別交于點C,D,線段的長為2,求a的值.
7.已知點,且.
(1)求直線的函數(shù)表達式;
(2)如圖,已知直線與直線相交于點C,點P為直線上一動點,若有,請求出點P的坐標;
(3)點T為平面內(nèi)一動點,連接,將線段繞點T旋轉(zhuǎn)得到線段.若點Q恰好落在直線上,且當(dāng)取到最小值時,請求出點T的坐標.
8.綜合與探究:如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(shù):的圖象分別交x軸、y軸于點A,B,點C在x軸上,平分.
(1)求A,B兩點的坐標;
(2)求線段的長;
(3)若點D是y軸上的一個動點,當(dāng)為等腰三角形時,直接寫出點D的坐標.
9.如圖,一次函數(shù)的圖象與,軸分別交于,兩點,點與點關(guān)于軸對稱.動點,分別在線段,上(點與點,不重合),且滿足.
(1)線段長為 ;
(2)當(dāng)為等腰三角形時,求點的坐標.
10.如圖,在平面直角坐標系中,直線的函數(shù)表達式為,與軸,軸分別交于點,點,直線的函數(shù)表達式為,與軸,軸分別交于點,點,直線與交于點,已知點的橫坐標為.
(1)求直線的函數(shù)表達式;
(2)若直線上存在點,使得,請求出點的坐標;
(3)已知是線段上的動點,過點作直線平行于軸,交直線于點,過點作軸的垂線,交軸于點,是否存在點,使的兩條直角邊之比為?若存在,請求出滿足條件的所有點的坐標;若不存在,請說明理由.
11.如圖,直角坐標系中,一次函數(shù)的圖象分別與x,y軸交于A,B兩點,正比例函數(shù)的圖象與交于點.
(1)求的值及的解析式;
(2)求的值;
(3)一次函數(shù)的圖象為,且不能圍成三角形,直接寫出的值.
12.在平面直角坐標系中,已知直線分別交x軸,y軸于點點C在x軸的負半軸上,且.
(1)求直線的表達式;
(2)若點M是直線上的一點,連接,使得,求出此時點M的坐標;
(3)若點,在軸上是否存在點Q,使,若存在請直接寫出點Q的坐標,若不存在請說明理由.
13.如圖,直線分別與x軸,y軸交于A、B兩點,與直線交于點.
(1)點坐標為(________,________).
(2)在直線上有一點E,過點E作y軸的平行線交直線于點F,設(shè)點E的橫坐標為m,當(dāng)m為何值時,以、、、為頂點四邊形是平行四邊形;
(3)若點P為直線上一點,則在平面直角坐標系中是否存在一點Q,使得、、、四個點能構(gòu)成一個矩形.若存在,直接寫出所有符合條件的點坐標;若不存在,請說明理由.
14.如圖,在平面直角坐標系中,直線與軸、軸分別交于點的長為10,點在軸的負半軸上,以為對稱軸作的軸對稱圖形,點的對稱點為點.
(1)求直線的解析式;
(2)若點恰好落在軸正半軸上,求點的坐標以及直線的解析式;
(3)當(dāng)時,直接寫出點的坐標.
15.如圖,在平面直角坐標系中,直線分別交軸、軸于點、,直線交直線于點,交軸于點.
(1)求點的坐標;
(2)若點在第二象限,的面積是5.
①求點的坐標;
②將沿軸平移,點的對應(yīng)點分別為,,,設(shè)點的橫坐標為.直接寫出平移過程中只有兩個頂點在外部時,的取值范圍.
參考答案
1.(1),
(2)
(3)
【分析】()把點坐標代入中求得的坐標,然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線的解析式;
()根據(jù)函數(shù)圖象找到當(dāng)一次函數(shù)圖象在直線圖象上方時,自變量的取值范圍即可得到答案;
()得出點的坐標,進而根據(jù)四邊形的面積解答即可;
本題考查了求一次函數(shù)解析式,一次函數(shù)與幾何綜合,一次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系,利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.
【詳解】(1)解:∵直線與直線相交于點,
∴,
解得
∴,
把點,代入得,
,
解得,
∴直線的解析式為:;
(2)解:由圖象可知,當(dāng)一次函數(shù)圖象在直線圖象上方時,自變量的取值范圍為,
∴不等式的解集是;
(3)解:把代入得,,
∴,
把代入得,,
解得,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴四邊形的面積.
2.(1)
(2)當(dāng)時,隨著x的增大而增大,當(dāng)時,隨著x的增大而減小
(3)
【分析】此題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì),一次函數(shù)與坐標軸的交點問題等知識.
(1)分兩段分別寫出函數(shù)關(guān)系式及其自變量取值范圍即可;
(2)用兩點法畫出函數(shù)圖象,寫出性質(zhì)即可;
(3)根據(jù)圖象進行解答即可.
【詳解】(1)解:當(dāng)時,,
當(dāng)時,,

(2)如圖即為為所求,

當(dāng)時,隨著x的增大而增大,當(dāng)時,隨著x的增大而減小,
(3)如圖,當(dāng),直線與(2)中的函數(shù)圖象有兩個交點
3.(1)
(2)或
(3)
【分析】(1)先求出點,,求出,再根據(jù)一次函數(shù)的平移規(guī)律即可求解.
(2)分為當(dāng)射線是射線、射線所形成的角的角平分線時,當(dāng)射線是射線、射線所形成的角的角平分線時,當(dāng)射線是射線、射線所形成的角的角平分線時,分別求解即可.
(3)求出恒過點,在中,令,則,求出當(dāng)直線經(jīng)過時,的值,再結(jié)合圖象即可求解.
【詳解】(1)解:中,令,解得:,則,
令,,則,
則,
若將直線向右平移長度個單位得到直線.
(2)解:如圖,當(dāng)射線是射線、射線所形成的角的角平分線時,
則,
根據(jù)(1)可得,
∴,
∴,
∴,
故點P的縱坐標點B的縱坐標,
將代入可得,即;
當(dāng)射線是射線、射線所形成的角的角平分線時,
則,
根據(jù)題意可得,
∴,
∴,
∴,
在中,令,解得:,則,
設(shè),
則,
解得:或(不符合題意,舍去),
即可得:;
當(dāng)射線是射線、射線所形成的角的角平分線時,點P不可能在直線l上,不符合題意;
綜上,或.
(3)解:在中,令,則,故恒過點,
在中,令,則,
當(dāng)直線經(jīng)過時,,解得:,
即,
結(jié)合圖象可得當(dāng)時,若對x的每一個值都有,
則k的取值范圍為.
【點睛】該題考查了一次函數(shù)的綜合,一次函數(shù)的圖象和性質(zhì),一次函數(shù)平移,解一元二次方程,勾股定理,也考查了平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定,解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合.
4.(1)直線的函數(shù)解析式為;
(2)點M的坐標為或;
(3)點F的坐標為.
【分析】(1)先求出的坐標,對稱性求出點坐標,待定系數(shù)法求出的函數(shù)解析式即可;
(2)設(shè),則、,過點B作于點D,利用,進行求解即可;
(3)作于點,利用等積法求得,再證明,利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.
【詳解】(1)解:對于,
由得:,
∴,
由得:,解得,
∴,
∵點C與點A關(guān)于y軸對稱,
∴,
設(shè)直線的函數(shù)解析式為,則,
解得.
∴直線的函數(shù)解析式為;
(2)解:設(shè),
則、,
如圖,過點B作于點D,
∴,,
∴,
解得,
∴點M的坐標為或;
(3)解:∵,,
∴,,
∴,
作于點,
∵是的角平分線,
∴,
∵,
即,
解得,
∵是的角平分線,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,即,
∴,
∴點F的坐標為.
【點睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用,相似三角形的判定和性質(zhì),角平分線的性質(zhì),勾股定理.正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵.
5.(1),直線的解析式為
(2)四邊形的面積為13
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,一次函數(shù)圖象上點的坐標特征.
(1)將代入可得,從而得出點C的坐標,再根據(jù)待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式;
(2)過點作軸于點,根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出的值,令,即可求出點D的坐標,即可得出,再將四邊形分成一個三角形和一個梯形,分別求面積即可得出答案.
【詳解】(1)解:∵直線:過點,

解得,,
,
把點,代入直線:中,
,
解得,
直線的解析式為:;
(2)如圖1所示,過點作軸于點,
,,
,,,則,
直線:交軸于點,
令,則,
,則,
,
四邊形的面積為13.
6.(1),
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì),兩條直線相交或平行問題以及三角形面積,熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
(1)將點代入,求出點的坐標,再將點代入直線,求出的值,即可得到答案;
(2)根據(jù)解析式求出的坐標,然后根據(jù)三角形面積公式即可求出答案;
(3)根據(jù)題意求出的坐標,結(jié)合的長為2,得到關(guān)于的一元一次方程,解方程即可.
【詳解】(1)解:把點代入,得,
∴.
把點P坐標代入,得,
∴,
∴直線的表達式為,
則方程組的解為;
(2)解:∵:,:,
當(dāng),,
解得:,,
∴,,
∴,
∴;
(3)解:直線與直線的交點C為,
與直線的交點D為.
∵,
∴,
∴,
∴.
7.(1)
(2)P的坐標為或
(3)或
【分析】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用,正確的求出函數(shù)解析式,利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解,是解題的關(guān)鍵:
(1)非負性求出的值,待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可;
(2)求出點坐標,進而求出,分點在下方和上方,兩種情況進行求解即可;
(3)分T在O上方和T在O下方,兩種情況,進行討論求解即可.
【詳解】(1)解:∵,
∴,
∴,
∴,
∴設(shè)直線的解析式為:,把,代入,得:,
∴,
∴;
(2)聯(lián)立,解得:,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴;
當(dāng)點在直線下方時:,
∴,
當(dāng)時,,
∴;
當(dāng)點在直線上方時:,
∴,
當(dāng)時,,
∴;
綜上:或.
(3)當(dāng)T在O上方時,過T作軸于M,過Q作于N,如圖:
∵將線段繞點T旋轉(zhuǎn)得到線段,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴當(dāng)最小時,最小,
此時,
∵,
∴,
∵,
∵,
∴,
∴,
過點作,則:,
∴,
∴,


∵將線段繞點T旋轉(zhuǎn)得到線段,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
設(shè),則,
解得,
∴T;
當(dāng)T在O下方時,同理可得T,
∴T的坐標為或.
8.(1),
(2)
(3)點坐標為或或或
【分析】(1)求出當(dāng)時,,當(dāng)時,即可得到答案;
(2)如圖所示,過點作于,由角平分線的性質(zhì)得到,根據(jù)(1)所求得到,,則,再由,求出;
(3)△為等腰三角形,分,,三種情況討論即可.
【詳解】(1)在中,當(dāng)時,,當(dāng)時,,
∴,;
(2)解:如圖所示,過點作于,
平分,,,
,
,,
,,

,

,
;
(3)解:當(dāng)時,
,
,
點,
當(dāng)時,
點或,
當(dāng)時,如圖,
,
,
,
點,
綜上所述:點坐標為或或或.
【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題,考查了待定系數(shù)法求解析式,坐標與圖形性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵.
9.(1)
(2)當(dāng)為等腰三角形時,點的坐標是或
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵是運用分類討論的思想,分情況求解.
首先根據(jù)一次函數(shù)的解析式可以求出點的坐標是,點的坐標是,根據(jù)點與點關(guān)于軸對稱,可以求出點的坐標是,利用勾股定理求出的長度即可;
當(dāng)為等腰三角形時,共有三種情況:當(dāng)時;當(dāng)時;當(dāng)時.分情況討論求出點的坐標即可.
【詳解】(1)解:當(dāng)時,
可得:,
點的坐標是,
當(dāng)時,
可得:,
解得:,
點的坐標是,
點與點關(guān)于軸對稱,
點的坐標是,
,
故答案為:;
(2)解:當(dāng)為等腰三角形時,分為三種情況,
當(dāng)時,如下圖所示,
在中,,,
,
由可知和關(guān)于軸對稱,

在和中,

,

點的坐標為;
當(dāng)時,
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得:,
此種情況不存在;
當(dāng)時,如下圖所示,
則,即,
設(shè),則,
在中,
由勾股定理得:,
,
解得:,
點的坐標是.
綜上,當(dāng)為等腰三角形時,點的坐標是或.
10.(1);
(2)或;
(3)存在,滿足條件的所有點M的坐標為或.
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與三角形綜合,解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)性質(zhì),運用分類討論思想解答;
(1)將點的橫坐標,代入求得點E的坐標為,再利用待定系數(shù)法求得直線的函數(shù)表達式;
(2)根據(jù),解出或,將其代入即可解答;
(3)設(shè)點,則,,表示出,,分兩種情況:①當(dāng)時,②當(dāng)時,分別進行計算即可解答;
【詳解】(1)解:對于,當(dāng)時,.
所以點E的坐標為.
將,代入,
得,
解得.
∴直線的函數(shù)表達式為;
(2)解:∵,
∴,
解得或.
當(dāng)時,,
解得;
當(dāng)時,,
解得.
∴點P的坐標為或;
(3)解:存在.
設(shè)點,則,.
所以,.
分兩種情況:
①當(dāng)時,,
解得或(舍去).
所以點M的坐標為;
②當(dāng)時,,
解得或(舍去).
所以點M的坐標為.
綜上,滿足條件的所有點M的坐標為或.
11.(1),直線的解析式為
(2)7
(3)或或
【分析】本題考查了一次函數(shù)與幾何綜合、正比例函數(shù),熟練掌握一次函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
(1)將代入直線的解析式即可得的值;再利用待定系數(shù)法即可得直線的解析式;
(2)先求出點的坐標,從而可得的長,再利用三角形的面積公式求解即可得;
(3)分三種情況:①當(dāng)經(jīng)過點時,②當(dāng)時,③當(dāng)時,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得.
【詳解】(1)解:將點代入一次函數(shù)得:,
解得;
∴,
設(shè)直線的解析式為,
將點代入得:,解得,
則直線的解析式為.
(2)解:對于一次函數(shù),
當(dāng)時,,解得,即,
當(dāng)時,,即,
由(1)已得:,
∴的邊上的高為4,的邊上的高為6,
∴.
(3)解:∵一次函數(shù)的圖象為,且不能圍成三角形,
∴①當(dāng)經(jīng)過點時,則,解得;
②當(dāng)時,則;
③當(dāng)時,則;
綜上,的值為或或.
12.(1)
(2)或
(3)或
【分析】本題為一次函數(shù)綜合題,涉及到三角形全等和相似等,分類求解和正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
(1)由待定系數(shù)法即可求解;
(2)過點C作直線交y軸于點,取,過點L作直線交直線于點,則點,取,過點作直線交于點M,則此時,點為所求點,即可求解;
(3)分兩種情況分別是點Q在B點的左邊和右邊進行討論,在右邊時由于內(nèi)錯角相等,兩直線平行,故只要作直線平行于即可得到點Q坐標;在左邊的情況是,則再求出點Q坐標即可.
【詳解】(1)解:直線分別交x軸,y軸于點,
則點的坐標分別為:,
,則,
則點,
設(shè)直線的表達式為,
將點C的坐標代入上式得:,則,
則直線的表達式為:;
(2)解:設(shè)M坐標為,
可看成為底,高為C到距離的三角形,
過點C作直線交y軸于點,則解析式為,
代入得,解得,
故解析式為,
∴點,
取,則點,
過點L作直線交直線于點,
則,
故此時到距離為點C到距離2倍, 則此時,
取,
過點作直線交于點M,
同理則此時,
點為所求點,
∵直線且點,
則直線l的表達式為:,
同理可得:直線k的表達式為:,
分別聯(lián)立和直線的表達式得:或,
解得:或,
即點M的坐標為:或;
(3)解:存在;
情況一:作,
,,
,
,
所以點Q坐標為:.
情況二:取,
則,,
在和中,
,
,
此時坐標為:.
綜上所述:點坐標為:或.
13.(1)
(2)或
(3)存在,點坐標為或
【分析】(1)先根據(jù)點求出直線的解析式,再求出時,的值,由此即可得;
(2)先根據(jù)直線的解析式求出,再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式,從而可得點的坐標,則可得的長,然后根據(jù)平行四邊形的判定可得,據(jù)此建立方程,解方程即可得;
(3)分兩種情況:①以、、、四個點構(gòu)成的是矩形,先利用三角形的面積公式和勾股定理可得的長,從而可得點的坐標,再根據(jù)矩形的對角線互相平分、點坐標的中點公式即可得;②以、、、四個點構(gòu)成的是矩形,此時點與點重合,則,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得,,由此即可得.
【詳解】(1)解:將點代入直線得:,
解得,
∴直線的解析式為,
將代入一次函數(shù)得:,解得,
∴點坐標為;
故答案為:.
(2)解:將代入直線得:,即,
將點代入直線得:,解得,
∴直線的解析式為,
由題意得:點的坐標為,點的坐標為,
∴,
∵,
∴要使以、、、為頂點四邊形是平行四邊形,則,
∴,
解得或,
所以當(dāng)為或時,以、、、為頂點四邊形是平行四邊形.
(3)解:由上已得:,,
∴,
∴,
∵點為直線上一點,且在中,,
∴分以下兩種情況:
①如圖,以、、、四個點構(gòu)成的是矩形,
過點作軸于點,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
設(shè)點的坐標為,
∵矩形的對角線互相平分,,
∴,解得,
∴此時點的坐標為;
②如圖,以、、、四個點構(gòu)成的是矩形,此時點與點重合,則,
∴,
∴此時點的坐標為;
綜上,存在一點,使得、、、四個點能構(gòu)成一個矩形,此時點的坐標為或.
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、平行四邊形的判定、矩形的性質(zhì)、勾股定理、點坐標的中點公式等知識,熟練掌握一次函數(shù)的幾何應(yīng)用是解題關(guān)鍵.
14.(1)直線的解析式為;
(2)點的坐標為,直線的解析式為
(3)點坐標為
【分析】本題主要考查一次函數(shù)的圖像和性質(zhì),勾股定理以及全等三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
(1)根據(jù)題意求出,即點坐標為,將兩點坐標分別帶入,即可得到答案;
(2)以為對稱軸作的軸對稱圖形為,設(shè)點的坐標為,求出點的坐標為.設(shè)直線的解析式為,即可得到答案.
(3)當(dāng)時,由題意得點在第一象限,過作軸于點,證明,則可求得點D的坐標;設(shè)直線與交點為,點為中點,可得點E的坐標,求出直線的解析式為,即可得到答案.
【詳解】(1)解:為直角三角形,,
,即,
解得,
即點坐標為,
將兩點坐標分別帶入,
得,
解得,
故直線的解析式為.
(2)解:以為對稱軸作的軸對稱圖形為,
,

點在軸的正半軸上,
點的坐標為.
設(shè)點的坐標為,由題意可知.
在中,由勾股定理,得,解得.
點的坐標為.
設(shè)直線的解析式為.
點在直線上,
,解得.
直線的解析式為.
(3)解:當(dāng)時,由題意得點在第一象限,如圖,
過作軸于點,
,
,,

以為對稱軸作的軸對稱圖形為,

在和中,

,

,

設(shè)直線與交點為,點為中點,
則點坐標為.
設(shè)直線的解析式為,
將點,分別代入直線方程,
得,
解得,
故直線的解析式為,
上式中,令,則,
則點坐標為.
15.(1)
(2)①;②或
【分析】本題考查了一次函數(shù)與幾何綜合,一次函數(shù)圖象與性質(zhì),平移的性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.
(1)把代入求得對應(yīng)的自變量x的值即可求得;
(2)①利用三角形面積公式求得C的縱坐標,代入即可求得C的坐標;
②分兩種情況:當(dāng)沿x軸向右平移時和當(dāng)沿x軸向左平移時討論求解即可.
【詳解】(1)解:把代入,得,
解得,
∴;
(2)解:①∵點,
∴,
∵,
∴,即,
∴,
把代入,得,
解得,
∴;
②連接,
把代入得:,
∴點B的坐標為,
設(shè)直線的解析式為,
把,代入得,
解得,
∴直線的解析式為,
把代得:,解得:,.
當(dāng)點在直線上時,點的橫坐標為:,
當(dāng)點在點D上時,點的橫坐標為:,
當(dāng)沿x軸向右平移時,只有兩個頂點在外部時,;
當(dāng)沿x軸向左平移,只有兩個頂點在外部時;
綜上可知,只有兩個頂點在外部時,m的取值范圍為或.

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