2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：線周長(zhǎng)問(wèn)題（二次函數(shù)綜合）提分刷題練習(xí)題（含答案解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．如圖，A、B為一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為5．P為二次函數(shù)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且位于直線的下方．
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(3)過(guò)P作軸于點(diǎn)M，交直線于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)時(shí)，求m的值．
2．如圖，已知拋物線與x軸交于和兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．直線過(guò)拋物線的頂點(diǎn)P．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)若直線與拋物線交于點(diǎn)E，與直線BC交于點(diǎn)F．
①當(dāng)取得最大值時(shí)，求m的值和的最大值；
②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
3．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（是常數(shù)）交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
(1)求該拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖②，連接，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，求的值；
(3)若點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)，以點(diǎn)為對(duì)稱中心，構(gòu)造正方形，且在軸上（點(diǎn)在點(diǎn)的下方），直接寫(xiě)出拋物線與正方形的邊只有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的取值范圍．
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，，，點(diǎn)D是此拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接和，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，P為y軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為M，連接，，探究是否存在最小值，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
5．如圖1，拋物線與x軸于交，兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，連接，點(diǎn)D為上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E．

(1)求拋物線的解析式；
(2)求線段的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)如圖2，將拋物線沿y軸翻折得到拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為F，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)的直線（直線除外）與拋物線交于J，I兩點(diǎn)，直線分別交x軸于點(diǎn)M，N. 試探究是否為定值，若是，求出該定值：若不是，說(shuō)明理由．
6．已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
圖1 圖2
(1)直接寫(xiě)出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖1，點(diǎn)P為直線下方拋物線上一點(diǎn)，于點(diǎn)D，求的最大值；
(3)如圖2，M、N是拋物線上異于B、C的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線與直線的交點(diǎn)始終在直線上．求證：直線必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo)．
7．如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，是拋物線上的點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)P，使得的值最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)N在拋物線上，是否存在以A，B，M，N為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在求出的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
8．如圖，已知拋物線過(guò)點(diǎn)，且它的對(duì)稱軸為直線．

(1)求此拋物線的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第四象限, 當(dāng)?shù)拿娣e為10時(shí)．
①求的坐標(biāo)；
②點(diǎn)足拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求的坐標(biāo)以及的最大值．
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，．

(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)G為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作垂直于x軸交AC于點(diǎn)E，當(dāng)最大時(shí)，求G點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)在拋物線是否存在點(diǎn)P，使，若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
10．如圖，拋物線：與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若P是拋物線上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），假設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，拋物線上點(diǎn)C與點(diǎn)P之間的部分（包含端點(diǎn)）記為圖象G．當(dāng)時(shí)，圖象G的最大值與最小值的差為多少？
(3)將線段AB先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段MN，若拋物線：與線段MN只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出n的取值范圍．
11．已知拋物線與x軸交于A、B 兩點(diǎn)，點(diǎn)A 在點(diǎn)B 的左邊，與y 軸交于點(diǎn)，且．

(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)若拋物線上B、C 兩點(diǎn)之間有一點(diǎn)N，且的面積為4，求N點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)拋物線的對(duì)稱軸交x 軸于M，P 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，直線交拋物線于另一點(diǎn)Q，點(diǎn)P 關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交對(duì)稱軸于G 點(diǎn)，試探究：在P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生變化嗎？若不變，請(qǐng)求其長(zhǎng)度．
12．在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．

(1)求拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)記拋物線與軸的右交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，、兩質(zhì)點(diǎn)分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，質(zhì)點(diǎn)沿方向，行駛速度為個(gè)單位/秒、質(zhì)點(diǎn)沿方向，行駛速度為2個(gè)單位/秒．
①1秒后，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)．若要使與相似，質(zhì)點(diǎn)的行駛速度可以是多少？
②當(dāng)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩質(zhì)點(diǎn)停止行駛．若質(zhì)點(diǎn)的行駛速度與質(zhì)點(diǎn)的相同，記線段的平方為點(diǎn)、的超級(jí)距離、為行駛時(shí)間．當(dāng)?shù)扔诙嗌倜霑r(shí)，質(zhì)點(diǎn)、之間的超級(jí)距離最小．
13．如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，點(diǎn)M是線段上的點(diǎn)（不與A、C重合），過(guò)M作軸交拋物線于N，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用m的代數(shù)式表示的長(zhǎng)，并求出的最大值．
14．如圖，已知二次函數(shù)圖象與x軸交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)，連接．

(1)求；
(2)如圖1，點(diǎn)P在直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)E，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，將拋物線沿著射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，點(diǎn)M在新拋物線對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，若以B、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并選擇其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出求解過(guò)程．
15．已知拋物線的頂點(diǎn)．

(1)該拋物線的解析式為_(kāi)_____；
(2)如圖1，直線交軸于，交拋物線于、，軸于軸于，試比較與的大小關(guān)系．
(3)如圖2，，，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，軸于，
①求證：；
②是否存在點(diǎn)，使得取得最小值，若存在，直接寫(xiě)出的坐標(biāo)和最小值，若不存在，說(shuō)明理由．
參考答案
1．(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）令求解即可；
（2）用待定系數(shù)法求解即可；
（3）設(shè)，，得出，證明是等腰直角三角形得，求出，然后根據(jù)列方程求解即可．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
（2）點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為5，且點(diǎn)B在x軸上，
把，兩點(diǎn)分別代入中，
得，
解得：
所求二次函數(shù)的表達(dá)式為．
（3）設(shè)，，
，，
，即是等腰直角三角形
軸，即是等腰直角三角形
，
．
，
，
解得，．（不符，舍去）
的值為2
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．
2．(1)
(2)①當(dāng)時(shí)，取最大值，②或或
【分析】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，等腰三角形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．
（1）由拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，得拋物線對(duì)稱軸為直線，即可得拋物線頂點(diǎn)為，設(shè)拋物線函數(shù)解析式為，將代入可得，故拋物線函數(shù)解析式為；
（2）①求出，得直線解析式為，故，，得；
②根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；
③由，，，得，，；分三種情況列方程可解得答案．
【詳解】（1）解：拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，
拋物線對(duì)稱軸為直線，
在中，令得，
拋物線頂點(diǎn)為，
設(shè)拋物線函數(shù)解析式為，
將代入得：
，
解得，
拋物線函數(shù)解析式為；
（2）解：①如圖：
在中，令得，
，
設(shè)直線解析式為，
將，代入得，
解得，
直線解析式為，
設(shè)，則，
，
當(dāng)時(shí)，取最大值，
②設(shè)，則，，
，，；
若，則，
解得（與重合，舍去）或，
；
若，則，
解得（舍去）或或（不符合題意，舍去），
，；
若，則，
解得（舍去）或或（不符合題意，舍去），
；
綜上所述，的坐標(biāo)為或或．
3．(1)，
(2)
(3)或．
【分析】（1）將點(diǎn)，代入拋物線的解析式用待定系數(shù)法即可求解；
（2）令，解之可得，進(jìn)而可求直線解析式為．由點(diǎn)E在拋物線上的點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)，，，求得，，根據(jù)題意建立方程求解即可；
（3）由題可得，，則，即，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形建立方程，根據(jù)題意寫(xiě)出取值范圍即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線交y軸于點(diǎn)，
將代入得：，
解得，
∴該拋物線的解析式是．
∵，
．
（2）解：令，解得，，
，
設(shè)直線的解析式為，將代入，
解得，
∴直線解析式為．
∵點(diǎn)E在拋物線上的點(diǎn)A，C之間，
∴．
由點(diǎn)，，，
，
∴．
∵，
∴，
解得，而，
∴
（3）解：由題可得，，則，即，
如圖所示：此時(shí)邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，正方形與拋物線有3個(gè)交點(diǎn)，，
解得，或，
，
，
正方形與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，正方形與拋物線有3個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：
此時(shí)，
解得，（舍去）或，
當(dāng)時(shí)正方形與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)，
綜上所述，正方形與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是：
或．
【點(diǎn)睛】本題主要是考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式，二次函數(shù) 與線段問(wèn)題，二次函數(shù)與特殊四邊形的問(wèn)題，點(diǎn)的坐標(biāo)求解，其中(3)要注意數(shù)形結(jié)合，分類討論，避免漏解．
4．(1)，
(2)當(dāng)時(shí)，有最大值
(3)當(dāng)時(shí)存在最小值
【分析】（1）求出，，再將這兩點(diǎn)代入，即可求函數(shù)解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，求出直線的解析式為，設(shè)，則，則，即可求解；
（3）過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，且，則四邊形是平行四邊形，可得，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，所以當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，分別求出，，，，，在求出直線的解析式為，直線與軸的交點(diǎn)為，則．
【詳解】（1），，
，，
將、兩點(diǎn)代入，
，
，
；
，
，
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，

設(shè)直線的解析式為，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)；
（3），
，
令，則，
，
，
故答案為：；
（3）①②存在最小值，理由如下：
當(dāng)時(shí)，，，
，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
垂直對(duì)稱軸，
∴軸，，
如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，且，
四邊形是平行四邊形，
，
作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，
，
，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，
，，，
，，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
，
，
，
當(dāng)時(shí)存在最小值．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，通過(guò)構(gòu)造平行四邊形，利用兩點(diǎn)間線段最短求線段和的最短距離是解題的關(guān)鍵．
5．(1)
(2)線段的最大值，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為
(3)8
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，則軸，得為等腰直角三角形，求出直線解析式為，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為，列得，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，，線段的最大值；
（3）由翻折得拋物線的解析式為，可設(shè)直線JI的解析式為，直線FJ的解析式為，當(dāng)時(shí)，，得，，同理可求：，故的定值為8
【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
拋物線的解析式為
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，則軸，

圖1拋物線解析式為
∵軸
為等腰直角三角形
，
設(shè)直線解析式為
解得，，，
直線解析式為
設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為
點(diǎn)G坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，
線段的最大值，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為；
（3）是定值，理由如下：
將拋物線沿y軸翻折得到拋物線
的解析式為
直線JI經(jīng)過(guò)，
可設(shè)直線JI的解析式為
、I在拋物線上，
可設(shè)，，
，
整理得：，
，，
，

設(shè)直線FJ的解析式為，則有
解得，
直線FJ的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
，
，
同理可求：，
；
故的定值為8
【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)綜合知識(shí)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，線段最值，二次函數(shù)與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵
6．(1)，點(diǎn)，點(diǎn)；
(2)的最大值為；
(3)直線恒過(guò)定點(diǎn)．
【分析】（1）令和，解方程可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)P作軸于E，交于點(diǎn)F，利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，設(shè)，則，則，再證得，可得，得出，再運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；
（3）設(shè)點(diǎn)，直線，直線，直線，將點(diǎn)C、B的坐標(biāo)代入可得：，聯(lián)立直線與拋物線的解析式可得出，，同理：，，進(jìn)而可得：，，根據(jù)直線與直線的交點(diǎn)始終在直線上，可得，，即直線，故直線恒過(guò)定點(diǎn)．
【詳解】（1）對(duì)于，令，則，
∴，
∴點(diǎn)，點(diǎn)，
令，則，
∴點(diǎn)；
（2）過(guò)點(diǎn)P作軸于E，交于點(diǎn)F，如圖1：
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，
解得：，
∴直線的解析式為，
設(shè)，則，
∴，
∵軸，
∴軸，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，最大為；
（3）證明：如圖2，設(shè)點(diǎn)，
直線，直線，直線，
整理得：，
則，，
同理：，，
∵，
∴，
∴，
，
聯(lián)立直線與直線的解析式得：，
解得：，
∵直線與直線的交點(diǎn)始終在直線上，
∴，
化簡(jiǎn)得：，
∴，
∴直線，
∴不論為何值，均有時(shí)，，
即：直線恒過(guò)定點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，函數(shù)的最值，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．
7．(1)
(2)
(3)存在，或，或，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的平行四邊形
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）如圖所示，連接，根據(jù)對(duì)稱性得到，則當(dāng)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線解析式為，在中，當(dāng)時(shí)，，由此即可得到答案；
（3）分當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則由平四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同，建立方程求解即可．
【詳解】（1）解：把，，代入中得，
∴，
∴拋物線解析式為；
（2）解：如圖所示，連接，
∵點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，
∴，
∴，
∴當(dāng)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線，
∴
設(shè)直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線解析式為，
在中，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴存在，使得的值最?。?br>
（3）解：設(shè)，
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則由平四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得：，
∴，
在中，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，；
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則由平四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得：，
∴，
在中，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，；
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則由平四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得：，
∴，
在中，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，；
綜上所述，存在，或，或，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
8．(1)拋物線的表達(dá)式為
(2)①點(diǎn)的坐標(biāo)為；②，
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）①設(shè)，運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，設(shè)直線與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)H，則，，利用三角形面積公式建立方程求解即可得出答案；
②運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，A、B、P在同一條直線上，聯(lián)立方程組求解即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式可求得，即的最大值．
【詳解】（1）拋物線過(guò)點(diǎn)且它的對(duì)稱軸為直線，
拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為．
設(shè)拋物線的表達(dá)式為，
把代入，得，解得，
則．
故此拋物線的表達(dá)式為．
（2）①點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第四象限，
設(shè)．
設(shè)直線得解析式為，則，
解得，
直線的解析式為，

設(shè)直線與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)，則，
．
，
，
（正值已舍）．
即點(diǎn)的坐標(biāo)為．
②由可知，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，取最大值，最大值為的長(zhǎng)．

設(shè)直線的解析式為．
把分別代入，得
解得
直線的解析式為．
令，解得（舍去）．
對(duì)于，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，利用三角形三邊關(guān)系定理求線段差的最大值，利用線段和差求最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
9．(1)
(2)
(3)存在，、、、
【分析】（1）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)出交點(diǎn)式，待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）先求出直線的解析式，將的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，計(jì)算即可；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求出的長(zhǎng)度，根據(jù)求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即可解答．
【詳解】（1）解：∵，當(dāng)，，
∴，
∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，，
∴設(shè)解析式為，把，代入得：，
∴，
∴；
（2）設(shè)直線的解析式為，
則：，解得：，
∴，
設(shè)，則：，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)
∴；
（3）存在，
∵，，
∴，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
∵，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為2，
即或
解得：，，，
綜上：、、或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解．屬于常見(jiàn)的壓軸題．
10．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)C的位置，結(jié)合圖象分類討論即可；
（3）根據(jù)平移求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線恰好經(jīng)過(guò)其中一個(gè)點(diǎn)的臨界狀態(tài)即可求解．
【詳解】（1）
解:將，代入得：
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為拋物線的解析式為；
（2）
解：在中，令，
則，
∴，
在中，令，
則，
∴，
∵，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
又∵，拋物線開(kāi)口向下，
∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，圖象G取得最小值，最小值為；
當(dāng)時(shí)，圖象G取得最大值，最大值為5；
∴圖象G的最大值與最小值的差為．
（3）
解：由平移方式可知：
若拋物線：恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)
即：
解得：
若拋物線：恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)
即：
解得：
故：若拋物線：與線段只有一個(gè)交點(diǎn)
則：或
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，待定系數(shù)法求解析式，線段問(wèn)題，點(diǎn)的平移，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．(1)
(2)
(3)線段的長(zhǎng)度不變，
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得的值，根據(jù)對(duì)稱軸公式可得對(duì)稱軸是：，根據(jù)和拋物線的對(duì)稱性可得與的坐標(biāo)，代入一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可得拋物線的解析式；
（2）先求直線的解析式，設(shè)，則，表示的長(zhǎng)，利用三角形面積公式列式可得結(jié)論；
（3）如圖2，先求，設(shè)，則，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，先表示的解析式：，且，因?yàn)榕c拋物線的交點(diǎn)為、，列方程組為，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，則，得，證明，列比例式可得的方程，化簡(jiǎn)可得．
【詳解】（1）把代入拋物線中得：，
拋物線，
對(duì)稱軸是：，
，
，，
把代入得：，
解得，
二次函數(shù)的解析式為：；
（2）如圖1，過(guò)作軸，交于，

，，
設(shè)直線的解析式為：，
則，解得：，
直線的解析式為：，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，
；
（3），
，
設(shè)，則，
如圖2，連接，交于，過(guò)作于，則，

設(shè)的解析式為：，
把代入得：，，
，
，
設(shè)，
由，
則，
，
、是直線與拋物線的交點(diǎn)，
，
，
，
，
設(shè)，
，
，
，
，
將代入中得：，
，
，
，
，
，
；
在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度不變，且．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定、直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題、三角形面積及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，第三問(wèn)有難度，利用參數(shù)表示直線的解析式，并利用比例式列等式可解決問(wèn)題．
12．(1)，；
(2)①，②當(dāng)秒時(shí)，質(zhì)點(diǎn)、之間的超級(jí)距離最小，最小值為．
【分析】（1），當(dāng)時(shí)，解得，即可得到拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①若要使與相似，即時(shí)，利用線段的比例關(guān)系算出，即可得到答案；
②當(dāng)時(shí)，P在上，當(dāng)時(shí)，P在上，分兩個(gè)時(shí)間段表示出，分別根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值，取兩個(gè)最小值中較小的一個(gè)即可．
【詳解】（1）解：∵
，
當(dāng)，
解得，
∴拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，；
（2）①，
若要使與相似，只有一種可能，就是，此時(shí)
，
∴，
∴；
②由（1）知,
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)的解析式，
∴，
∴，
∴的解析式，
聯(lián)立得到，
解得或，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，P在上，如圖1，

作于點(diǎn)H，則，，，,，
，，
∴，
當(dāng)時(shí)，的最小值為，
當(dāng)時(shí)，P在上，如圖2，

作軸于點(diǎn)G，則,，，，，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，的最小值為，
綜上所述，當(dāng)秒時(shí)，質(zhì)點(diǎn)、之間的超級(jí)距離最小，最小值為．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的交點(diǎn)式、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、求二次函數(shù)的最值等知識(shí)，分類討論和準(zhǔn)確求出二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．
13．(1)
(2)
(3)的最大值為
【分析】（1）由題意可得拋物線的解析式為：，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式，求出a即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出點(diǎn)P是直線與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，再用待定系數(shù)法求出直線的解析式，即可得出結(jié)論；
（3）點(diǎn)N在拋物線上，則，由上可得直線的表達(dá)式為：，再由軸，可得，進(jìn)而可表達(dá)的長(zhǎng)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵拋物線過(guò)點(diǎn)，
∴可設(shè)拋物線的解析式為：，
將代入解析式可得，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：由（1）知，拋物線的解析式為
∴拋物線的對(duì)稱軸直線為，
∴點(diǎn)A，B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸直線對(duì)稱，
∴直線與對(duì)稱軸直線的交點(diǎn)為點(diǎn)P，
設(shè)直線的解析式為，
∴
解得，
∴直線的解析式為，
令，則，
∴
（3）解：由（2）得直線的表達(dá)式為：，
∵點(diǎn)N在拋物線上，
∴
∵軸，
∴，
∴
∴的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用題目．需要同學(xué)們具備扎實(shí)的函數(shù)基礎(chǔ)．
14．(1)4
(2)當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
(3)使以為邊的菱形的N點(diǎn)有：
【分析】（1）已知函數(shù)解析式，分別令，解方程即可求得B、C、D的坐標(biāo)，再運(yùn)用三角形面積公式即可求得答案．
（2）利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為設(shè)，可表示出，利用等腰直角三角形性質(zhì)可將表示的長(zhǎng)，進(jìn)而用點(diǎn)坐標(biāo)將表示成函數(shù)，借助二次函數(shù)求最值的方法即可求得的最大值．
（3）菱形的存在性問(wèn)題先轉(zhuǎn)化為求以為邊的等腰三角形的存在性問(wèn)題，然后根據(jù)平行四邊形存在性問(wèn)題的處理方法寫(xiě)出第四點(diǎn)N即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
解得：
∴
∴
∴
（2）解：設(shè)直線的解析式為，
則
解得：，
∴直線的解析式為，
設(shè)，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵軸，
∴，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相同，
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∵
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
（3）解：依題意，拋物線沿射線平移個(gè)單位即拋物線向右平移2個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位．
平移后拋物線解析式為：，對(duì)稱軸為直線．
故設(shè)點(diǎn)又
∴

由題意知，以為腰的等腰三角形有兩種情況：
如圖1，當(dāng)時(shí)，

則，
解得：

由平行四邊形對(duì)角線互相平分可知：
∴
②如圖2，當(dāng)時(shí)，

則
解得：
∴
∴
綜上：使以BM為邊的菱形的N點(diǎn)有：
【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)綜合題．綜合性較高，要求學(xué)生有較強(qiáng)的邏輯推理能力和計(jì)算能力．
15．(1)
(2)
(3)①見(jiàn)解析；②存在，．
【分析】（1）將點(diǎn)代入中，得，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得；
（2）設(shè)的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，聯(lián)立得，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，，再令的縱坐標(biāo)為，得，最后根據(jù)進(jìn)行解答即可得；
（3）①過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則縱坐標(biāo)為，勾股定理求得，進(jìn)而可得，即可求解；
②過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為交拋物線于，連接，過(guò)點(diǎn)作垂足為，得則四邊形是矩形，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得則點(diǎn)即為所求點(diǎn)將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入中即可得．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入中，得，
由圖象可知，拋物線的對(duì)稱軸為軸，
所以，
解得，
拋物線的解析式為：，
故答案為：；
（2）設(shè)的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，
軸，軸，
、橫坐標(biāo)相同且均為，橫坐標(biāo)相同且均為，
聯(lián)立，得，
∴，①
，②
令的縱坐標(biāo)為0，
則，
解得，
即，③
，，
④
將① ② ③代入④得：，
∵，
∴
（3）①如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，

過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，
設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)，，
在中，根據(jù)勾股定理，
，
，
，
②存在，．
過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為交拋物線于，連接，
過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接，
設(shè)的橫坐標(biāo)為，則縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)，
在中，根據(jù)勾股定理，
，
，
，
過(guò)點(diǎn)作垂足為，
，
四邊形是矩形，
，
，
點(diǎn)即為所求點(diǎn)
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
將代入得
當(dāng)點(diǎn)時(shí)存在取得最小值點(diǎn)坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，一元二次方程，矩形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)．

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