2025年中考數(shù)學二輪復(fù)習：二次函數(shù)最值問題提分刷題練習題（含答案解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

1．已知拋物線．
(1)當時，求的值；
(2)點是拋物線上一點，若，且時，求的值；
(3)當時，把拋物線向下平移個單位長度得到新拋物線，如果拋物線與x軸的一個交點的坐標為，且，請求出的取值范圍．
2．已知二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象與x軸交于點A和點B，點A在點B的左邊．
(1)若，求點A和點B的坐標，并求此時函數(shù)的最小值；
(2)當時，函數(shù)有最小值，求常數(shù)m的值．
3．在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為，過作平行軸的直線交軸于點，已知點．
(1)求點的橫坐標；
(2)若拋物線經(jīng)過點，當時，拋物線的最大值為，求的值；
(3)若點、位于拋物線對稱軸右側(cè)圖象的兩側(cè)．確定的取值范圍．
4．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點，點是直線上方的拋物線上的一個動點（不與點，重合），過作軸的垂線，垂足為，交直線于點．
(1)求拋物線的表達式：
(2)若點的橫坐標為，用含的代數(shù)式表示；
(3)過點作于點，當?shù)闹底畲髸r，求點的坐標及的最大值．
5．已知二次函數(shù)（m為常數(shù)）
(1)下列結(jié)論：①當時，該函數(shù)的圖像開口向上；②該函數(shù)的圖像的對稱軸是直線；③該函數(shù)的圖像一定經(jīng)過，兩點其中，正確結(jié)論的序號是___________．
(2)若點在該函數(shù)圖像上，當時，結(jié)合圖像，直接寫出的取值范圍．
6．如圖拋物線與軸交于和兩點，與軸交于點，
(1)求拋物線的解析式；
(2)點P是x軸下方拋物線上一點，設(shè)點P的橫坐標為t，過點P作x軸的平行線交直線BC于點M，過點P作x軸的垂線交x軸于Q，以PM，PQ為鄰邊的矩形的周長記為l．
①請直接寫出l關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
②求l的最值；
(3)將拋物線向上平移個單位長度，再向左平移個單位長度，若新拋物線的頂點G在內(nèi)（不含邊界），直接寫出m的取值范圍．
7．在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點和，其頂點的橫坐標為．
(1)求拋物線的表達式．
(2)若直線與軸交于點，在第一象限內(nèi)與拋物線交于點，當取何值時，使得有最大值，并求出最大值．
8．如圖，拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過點，頂點坐標為，點為拋物線上的動點，軸于H，且．
(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖，直線交于點，求的最大值；
9．已知二次函數(shù)．
(1)該圖象與軸交于點，與軸交于點．
①求該函數(shù)的表達式；
②若點在二次函數(shù)圖象上，且，求點的坐標；
(2)當時，的最大值為2；當時，的最大值為3，直接寫出二次函數(shù)的表達式．
10．如圖，在平面直角坐標系中，直線交x軸于B點，交y軸于C點，拋物線經(jīng)過B、C兩點且與x軸交于另一點A．
(1)求A、B、C的坐標及拋物線的解析式；
(2)若點P是直線上方拋物線上一點，求面積的最大值及點P的坐標；
(3)若點H是拋物線上一動點，且橫坐標為m，、為平面內(nèi)任意兩點，連接、，以、為邊構(gòu)造矩形．當拋物線在矩形內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而變化時，求m的取值花圍．
11．如圖，某校勞動實踐基地用總長為80m的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩形實驗田，墻長為42m．柵欄在安裝過程中不重疊、無損耗，設(shè)矩形實驗田與墻垂直的一邊長為（單位：m），與墻平行的一邊長為（單位：m），面積為（單位：）．
(1)實驗田的面積能達到嗎？如果能，求出的值；如果不能，請說明理由；
(2)當?shù)闹凳嵌嗌贂r，實驗田的面積最大？最大面積是多少？
12．如圖，拋物線經(jīng)過點，過該拋物線的頂點C作直線軸于點D，，在拋物線上，且在對稱軸右側(cè)，過點P作軸于點E．
(1)求該拋物線的解析式．
(2)若，求點P的坐標．
(3)如圖2，橫坐標為2的點F也在拋物線上，點G在線段上，且在點F的下方，當時，求點P橫坐標的最大值．
13．如圖，直線與拋物線交于，兩點，點在軸上，點在軸上．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點是第一象限的拋物線上一點，點位于何處時四邊形面積最大，求此時點的坐標以及四邊形的面積的最大值．
14．如圖，若二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于C點．
(1)求A、B兩點的坐標；
(2)當時，函數(shù)值y的取值范圍為；（直接寫出答案即可）
(3)若為二次函數(shù)圖象上一點，求m的值．
15．如圖，在平面直角坐標系中，點、在拋物線上，該拋物線的頂點為．點為該拋物線上一點，其橫坐標為．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)當軸時，求的面積；
(3)當該拋物線在點與點之間（包含點和點）的部分的最高點和最低點的縱坐標之差為定值時，求的取值范圍并寫出這個定值；
(4)當時，設(shè)該拋物線在點與點之間（包含點和點）的部分的最高點和最低點到軸的距離分別為、，當時，直接寫出的取值范圍．
參考答案
1．(1)或
(2)
(3)
【分析】本題考查的是求解拋物線與x軸的交點坐標，拋物線的性質(zhì)，求解拋物線的解析式，拋物線的平移，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．
（1）依據(jù)題意，由，結(jié)合，從而可以判斷得解；
（2）依據(jù)題意，，又，從而當時，函數(shù)有最大值為，又此時點是拋物線上一點，時，都有，進而，故可以得解；
（3）依據(jù)題意，當時，拋物線為，從而表示出為，拋物線與軸的一個交點的坐標為，且，從而若當時，，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，，又拋物線與軸有交點，故，進而可以得解．
【詳解】（1）解：由題意，，
又，
，
，
或．
（2）解：由題意，，
，
∴當時，函數(shù)有最大值為，
又此時點是拋物線上一點，時，都有，
，
．
（3）解：由題意，當時，拋物線為，
∴把拋物線向下平移個單位長度得到新拋物線為，
∵拋物線與軸的一個交點的坐標為，且，
又若當時，，
，
∵開口向下，
，
又 ∵拋物線與軸有交點，
，
，
．
2．(1)，函數(shù)的最小值為，
(2)或
【分析】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是關(guān)鍵．
（1）把函數(shù)解析式化為頂點式即可得到函數(shù)的最小值，解方程即可得到點A和點B的坐標；
（2）根據(jù)對稱軸的位置分三種情況進行討論解答即可．
【詳解】（1）解：當時，
∵，
∴當時，函數(shù)的最小值為，
當時，，
解答，
∵點A在點B的左邊．
∴
（2）∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，
當時，則當時，取得最小值為，
即，
解答，（不合題意，舍去）
當時，則當時，取得最小值為，
即，
解答，（不合題意，舍去）
當時，則當時，取得最小值為，
即，方程無解，
綜上可知，或
3．(1)2
(2)6或
(3)或
【分析】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、拋物線上點的坐標特征，有一定的綜合性，運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想是解決第(2) (3)小題的關(guān)鍵．
（1）將化成頂點式即可求解；
（2）將點代入求出，進而可得其對稱軸為，
當時，即時，，當時，即，，分別求解即可；
（3）分兩種情況：①當時，拋物線經(jīng)過點時，可得；②當時，拋物線過點時結(jié)合性質(zhì)可得，又，即可求解．
【詳解】（1）解：
的坐標為，
點的橫坐標為2；
（2）解：當時，，
解之得，，
所以其對稱軸為，
由題意知最大值為，
當時，即時，
，
解得（舍去），
當時，即，，
解得不合題意舍去．
綜合以上可得的值為6或．
（3）解：①當時，拋物線經(jīng)過點時，
，解得．
又點、分別位于拋物線對稱軸右半部分的兩側(cè)，
；
②當時，拋物線過點時可得，又，即，
綜上所述：的取值范圍為或．
4．(1)
(2)
(3)當PQ取最大值時，點P的坐標為，的最大值為
【分析】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，翻折變換，等腰直角三角形三邊關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點坐標和相關(guān)線段的長度．
（1）用待定系數(shù)法可得該拋物線的表達式為；
（2）求出直線的表達式為，進而表示出的坐標，即可求解；
（3）由點，，可得，根據(jù)的長，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：把點，代入，得：
解得：
拋物線的表達式為；
（2）設(shè)直線的表達式為，
把，代入，得：
解得
直線的表達式為．
點的橫坐標為，
，
（3）如圖
點，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，則時有最大值
此時
當取最大值時，點的坐標為，的最大值為．
5．(1)①③
(2)或
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的開口方向，函數(shù)值正負，對稱性，增減性，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次函數(shù)（m為常數(shù)）時，圖像開口向上，判斷①；根據(jù) 得對稱軸是直線，判斷②； ③令，則，，兩點關(guān)于對稱軸對稱，得函數(shù)的圖像一定經(jīng)過，兩點，判斷③；
（2）根據(jù)與對稱，當時，當時，y隨x增大而增大，得，根據(jù)，得當時，，，解得，或當時，得，解得；當時，當時，y隨x增大而減小，則，當時，，，解得，或當時，得，解得，即可．
【詳解】（1）①∵二次函數(shù)（m為常數(shù)），
∴當時，該函數(shù)的圖像開口向上，
正確．
②∵
∴該函數(shù)的圖像的對稱軸是直線，
不正確．
③令，則，
∴函數(shù)的圖像一定經(jīng)過，
∵，兩點關(guān)于對稱軸對稱，
∴函數(shù)的圖像一定經(jīng)過，兩點，
正確．
故答案為：①③．
（2）解：∵點在函數(shù)圖像上，
∴的對稱點為，
若，
∵當時，y隨x增大而增大，
∴，
∵，
∴當時，
，
∴，
，
∴，
∴；
或當時，
，
∴，
不合；
若，
∵當時，y隨x增大而減小，
∴，
∴當時，
，
∴，
，
∴，
∴；
或當時，
，
∴，
不合．
綜上，或．
6．(1)
(2)①；②周長l的最大值為
(3)
【分析】（1）將點，代入拋物線解析式即可求解；
（2）①對于拋物線，令，得到，采用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，進而得到，，從而表示出，，矩形的周長為，分兩種情況：點P在點M的左側(cè)，即；點P在點M的右側(cè)，即，進行化簡即可．
②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到原拋物線的頂點為，從而由平移得到，根據(jù)點G在內(nèi)（不含邊界），得到點G的橫坐標的取值范圍，進而求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點，，
∴，解得
∴拋物線的解析式為．
（2）解：①對于拋物線，令，則，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∵直線過點，，
∴，解得，
∴直線的解析式為，
∵點P是x軸下方拋物線上一點，點P的橫坐標為t，
∴，
∵軸，
∴點M的縱坐標為，
把代入函數(shù)，得，
解得，
∴，
∴，
∴以PM，PQ為鄰邊的矩形的周長為，
∴若點P在點M的左側(cè)，即當時，
，
若點P在點M的右側(cè)，即當時，
綜上所述，l關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為．
②當時，，
∴當時，l隨著t的增大而減小，
當時，，當時，，
∴；
當時，，
∴當時，l有最大值，為，
當時，，當時，，
∴；
綜上所述，周長l的最大值為．
（3）解：∵拋物線，頂點坐標為，
∴將該拋物線向上平移個單位長度，再向左平移個單位長度，新拋物線的頂點G為，
由點，可得直線的解析式為，
對于直線，令，則，
解得．
對于直線，令，則，
解得．
∵點G在內(nèi)（不含邊界），
∴，
∴．
【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，點的平移，不等式的應(yīng)用等，綜合運用相關(guān)知識，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
7．(1)
(2)當時，有最大值為
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)的最值等，理解并掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）設(shè)，進而分別表示出，得出關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，，即可求得最大值．
【詳解】（1）解：拋物線的頂點橫坐標為1，
對稱軸為直線，
，
與x軸另一交點為，即，
∴設(shè)拋物線為，
將代入，得：，
，
，
∴拋物線的表達式為；
（2）解：在拋物線上，
∴設(shè)，
在第一象限，
，，
，
，
∴當時，有最大值為．
8．(1)
(2)
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，拋物線的頂點坐標公式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值等，解題的關(guān)鍵在于能否將面積問題和二次函數(shù)有效結(jié)合．
（1）根據(jù)頂點式坐標公式和待定系數(shù)法分別求出，，值，即可求出拋物線解析式．
（2）利用拋物線的解析式可知道點坐標，從而求出直線的解析式，從而設(shè)，根據(jù)直線的解析式可推出，從而可以用，表達長度，在觀察圖形可知，將其和長度代入，即可將面積比轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的形式，根據(jù)橫坐標取值范圍以及此二次函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求出的最大值．
【詳解】（1）解：∵拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過點，
故將代入，求得；
∵，且拋物線的頂點坐標為，
故，，
即，解得：，
∴拋物線的解析式為：．
（2）解：過點作軸于點，如圖，
∵拋物線的解析式為：，且與軸交于，兩點，
故令，得，
解得：或，
∴，，
∵，
∴，
設(shè)直線的解析式為：，
將，代入解析式，得，
解得：，
∴直線的解析式為：；
∵點在直線上，
故設(shè)，
∵直線交于點，
故將代入，得，
即；
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵點為拋物線上的動點，
故點，
∴．
∵，，
∴當時，有最大值，且最大值為：．
9．(1)①；②或或；
(2)
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
（1）①把，代入拋物線即可得到答案；②先求解，，設(shè)，結(jié)合，再建立方程求解即可；
（2）由時，的最大值為2；時，的最大值為3，可得拋物線的對稱軸在軸的右側(cè)，可得，可得圖象過點，，再求解即可．
【詳解】（1）解：①∵該函數(shù)圖象與軸交于點，與軸交于點．，
，
解得：，
∴該函數(shù)的解析式為，
②當時，
解得：，，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，
∵，
∴，
∴或，
解得：，，，
∴或或；
（2）解：時，的最大值為2；時，的最大值為3，
∴拋物線的對稱軸在軸的右側(cè)，
，
∵拋物線開口向下，時，的最大值為2，
∴圖象過點，
，
∴，
又，
，
，
．
∴二次函數(shù)的表達式為：．
10．(1)，，，
(2)，
(3)或
【分析】（1）利用直線與坐標軸的交點解法，待定系數(shù)法依次解答即可；
(2) 過點P作軸交直線于點D，結(jié)合拋物線，直線解析式，設(shè)，則，則，計算，利用二次函數(shù)的最值解答即可．
(3) 當點P、M重合時，則，確定，①當點M在點P的下方時和②當點M在點P的上方時，兩種情況解答即可．
【詳解】（1）解：當時，，
當時，，
∴，，
∵B、C在上，
∴，
解得，
∴，
當時，
解得，，
∴．
（2）解：過點P作軸交直線于點D，
設(shè)點，則，
則，
∴，
∵，
∴開口向下，函數(shù)有最大值，
且當時，有最大值為，
∴．
（3）解：當點P、M重合時，則，
∴，
①當點M在點P的下方時，即，
由題意得：，
當點P、N達到對稱軸兩側(cè)對稱的位置時，則，這之前矩形內(nèi)沒有函數(shù)y的圖象，
當時，形區(qū)域內(nèi)的函數(shù)y隨x的增大而減小，即．
②當點M在點P的上方時，即或，
當點Q在對稱軸左側(cè)時，即，此時矩形內(nèi)的拋物線y隨x的增大而增大，
當點P離開頂點時，即，此時矩形內(nèi)的拋物線y隨x的增大而減小，
即，
綜上，或．
【點睛】本題考查了拋物線的解析式計算，拋物線的增減性，最值，矩形的性質(zhì)，求不等式的解集，熟練掌握矩形的性質(zhì)，拋物線的性質(zhì)計算是解題的關(guān)鍵．
11．(1)能，
(2)，
【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)的最大值，一元二次方程的應(yīng)用，
（1）先表示出y，再根據(jù)面積相等列出方程，求出解即可；
（2）先求出二次函數(shù)關(guān)系式，再討論最大值即可．
【詳解】（1）解：與墻平行的一邊長，
根據(jù)題意，，
整理得，
解得．
∵，
∴，
∴．
所以試驗田的面積能達到，此時；
（2）解：由（1），得，
即．
∵，，
∴拋物線開口向下，函數(shù)有最大值，
當時，．
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)拋物線解析式，得到對稱軸，進而求出點，再結(jié)合，利用待定系數(shù)法求解，即可解題；
（2）利用平行線性質(zhì)證明，得到，設(shè)，結(jié)合建立等式求出的值，進而求得點P的坐標；
（3）結(jié)合題意求出點F的坐標，作于點，證明，利用相似三角形性質(zhì)得到，再利用二次函數(shù)的最值求解，即可解題．
【詳解】（1）解：，
拋物線對稱軸為直線，
，
,
拋物線經(jīng)過點，
即，
解得，
拋物線為；
（2）解：，
,
軸于點E,
,
,
,
設(shè)，
有,,
,
整理得，
解得，
是拋物線在第一象限上一動點，
，
即；
（3）解：點F的橫坐標為2，
，
即點F的坐標為，
作于點，
有,,
,
,
,
,
,
,
∵，
，
∴，
∴，
∵點在線段上，且在點下方，
∴，
∵，
∴當時，．
【點睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，平行線性質(zhì)，相似三角形性質(zhì)和判定，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)性質(zhì)．
13．(1)拋物線解析式為；
(2)此時點的坐標為，四邊形的面積的最大值為．
【分析】（）先由直線與軸交于點，與軸交于點，求出點，點，然后利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（）過作軸于點，交于點，設(shè)，則，則，然后由得出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
本題考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點，求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的幾何問題，熟練掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想解題是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：∵直線與軸交于點，與軸交于點，
∴當時，，當時，，
∴點，點，
∵拋物線交于，兩點，
∴，解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）解：如圖，過作軸于點，交于點，
設(shè)，則，
∴，
則
，
當時，有最大，最大值為，
∴，
此時點的坐標為．
14．(1)，；
(2)
(3)m的值為0或1
【分析】本題考查了拋物線與軸的交點∶把求二次函數(shù) (a，b，c是常數(shù)，)與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程，也考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．
（1）通過解方程得的坐標；
（2）當時，函數(shù)取得最大值，當時，函數(shù)取得最小值，進而求解；
（3）把代入得，然后解關(guān)于的方程即可．
【詳解】（1）解：當時，，
解得，，
，；
（2）解：拋物線的對稱軸為直線，
，
當時，函數(shù)取得最大值，，
當時，函數(shù)取得最小值，，
函數(shù)值的取值范圍為∶ ；
故答案為：；
（3）解：把代入得，
解得，，
的值為0或1．
15．(1)
(2)的面積為
(3)的取值范圍為，這個定值為；
(4)或．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，軸對稱的性質(zhì)等知識．
（1）利用待定系數(shù)法可得該拋物線的解析式；
（2）根據(jù)配方法可得拋物線的對稱軸，確定點的坐標，知道軸，根據(jù)三角形的面積公式可得結(jié)論；
（3）根據(jù)圖象可得當拋物線在點與點之間（包含點和點）的部分的最高點和最低點的縱坐標之差為時，點的位置，從而確定的取值范圍；
（4）分三種情況討論滿足時，的取值范圍；
【詳解】（1）把點、代入拋物線得：
，
解得：
∴該拋物線的解析式為；
（2）由（）得：，
∴點為，
當軸時，點與點關(guān)于對稱軸對稱，
∴點，
∴，點到的距離為，
∴，
∴的面積為；
（3）設(shè)拋物線與軸的另一交點為點，如圖所示，
∴點與點關(guān)于直線對稱，
∴點為，
當點在點和點之間時，點與點之間（包含點和點）的部分的最高點和最低點的縱坐標之差為定值，
∴此時的取值范圍為；
（4）過點作軸交拋物線于點，此時點與點關(guān)于對稱軸對稱，
∴，如圖所示：
當點在點和點之間時，即時，，，
∵，
∴，
解得：（不合題意），
當點在點和點之間時，即時，，，
∴，符合題意，
∴，
當點在點下方時，即時，，
∵，
∴，
∴，
∴或，
解得：或或，
∵，
∴，
綜上所述，的取值范圍為或．

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