1．綜合與實(shí)踐

問題情境：
如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)在邊上且不與點(diǎn)，重合，連接并延長，交射線于點(diǎn)．將沿直線翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，延長交直線于點(diǎn)．
猜想驗(yàn)證：
(1)試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
問題解決：
(2)如圖2，若點(diǎn)恰好落在對角線上，求的值．
(3)若，求線段的長．
2．如圖，在矩形中，E為射線上一動點(diǎn)，連接．將沿翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，交于點(diǎn)G．
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在邊上時，若，求的值；
(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在邊上時，若，且時，求的長；
(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長線上，將沿翻折后，恰好經(jīng)過點(diǎn)D，當(dāng)時，求的長．
3．閱讀以下材料：
【問題情境】如圖1，在正方形中，E為邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為延長線上一點(diǎn)，且．
（1）與之間有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請說明理由；
【類比遷移】
（2）如圖2，在矩形中，E是邊上一點(diǎn)，將沿翻折得到，延長交延長線于點(diǎn)F．線段與具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請證明你的猜想；
【拓展提升】
（3）如圖3，在菱形中，，E是上一點(diǎn)，繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)得繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)得，當(dāng)時，求四邊形的面積．
4．如圖，在矩形中，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)即停止；同時，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)即停止，點(diǎn)、的速度都是．連接、、．設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動的時間為．
(1)當(dāng) 時，四邊形是矩形；
(2)當(dāng) 時，四邊形是菱形；
(3)是否存在某一時刻t使得，如果存在，請求出t的值，如果不存在，請說明理由；
(4)在運(yùn)動過程中，沿著把翻折，當(dāng)為何值時，翻折后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上．
5．在中，，．
(1)如圖1，D為邊上一定點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將沿翻折至，連結(jié)，求與的數(shù)量關(guān)系．
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊上運(yùn)動時，仍將沿翻折至，連結(jié)．
①當(dāng)時，求的度數(shù)．
②當(dāng)為等腰三角形時，求的度數(shù)．
6．點(diǎn)O，E分別是長方形紙片邊，上的點(diǎn)，沿，翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，點(diǎn)B落在點(diǎn)處．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好落在線段上時，求的度數(shù)；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在的內(nèi)部時，若，，求的度數(shù)；
(3)當(dāng)點(diǎn)，落在的內(nèi)部時，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．
7．在中，，射線交射線于D，過D作垂直射線于點(diǎn)E，點(diǎn)F在射線上，．
(1)如圖1，若是的角平分線，求證：；
(2)如圖2，若射線平分的外角，且點(diǎn)F在射線上，則線段和的數(shù)量關(guān)系是什么，并說明理由；
(3)如圖3，在（2）的條件下，把過沿翻折至處，若，直接寫出的面積．
8．在正方形中，，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，連接．
(1)如圖1，過點(diǎn)作，求證：；
(2)如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，求線段的最小值；
(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到線段的中點(diǎn)時，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，求．
9．如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊上一動點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．

(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，是的中線，連接，點(diǎn)H是的中點(diǎn)，連接，試猜想、、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
(3)如圖3，在（2）的條件下，若，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，將沿翻折，得到，點(diǎn)D、P在運(yùn)動過程中，請直接寫出的最小值．
10．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)與點(diǎn)在軸上，，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為．
(1)如圖1，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，求，的長；
(3)在（2）的條件下，點(diǎn)在上，將沿翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在軸上，連接并延長交的延長線于點(diǎn)．
①求的度數(shù)；
②求的面積．
11．已知，矩形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)．

(1)如圖1，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)，且時，求的度數(shù)；
(2)如圖2，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，，若，且平分，判斷的形狀，并證明；
(3)如圖3，點(diǎn)為上一點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，，且，直接寫出的最短距離．
12．如圖1，四邊形是一張矩形紙片，小明用該紙片玩折紙游戲．
游戲1 折出對角線，將點(diǎn)A沿過點(diǎn)B的直線翻折到上，折痕BE交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E．展開后如圖2所示．
（1）若E恰好為的中點(diǎn)，證明：，并求與之間的數(shù)量關(guān)系．
游戲2 在游戲1的基礎(chǔ)上，將翻折至與重合，折痕為，展開后將點(diǎn)A沿過點(diǎn)E的直線翻折到上的點(diǎn)G處，展開后如圖3所示．
（2）在（1）的條件下，連接，求的度數(shù)．
游戲3 在游戲1的基礎(chǔ)上，將翻折至與先重合，展開后得到新折痕交于點(diǎn)N，如圖4所示，Q是的中點(diǎn)，連接．
（3）設(shè)，，的面積分別為，若，，求的長．
13．已知中，，，點(diǎn)A、B在外，，．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，若，，沿DE翻折得到，交于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，請直接寫出除外長度為1的所有線段．
14．已知是邊長為的等邊三角形，將邊繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段，的延長線交直線交于點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)．
(1)如圖1，若，求線段的長度；
(2)如圖2，若，延長并在延長線上取一點(diǎn)，連接使，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，猜想線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)如圖3，點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，將沿翻折得到，連接，是上一點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時，直接寫出的面積．
15．如圖，在邊長為的正方形中，點(diǎn)，分別為，邊上的點(diǎn)，將正方形沿翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)恰好落在邊的點(diǎn)處．
(1)【問題解決】
如圖①，連接，則與折痕的位置關(guān)系是______，與的數(shù)量關(guān)系是______；
(2)【問題探究】
如圖②，連接，在翻折過程中，平分，試探究的面積是否為定值，若為定值，請求出的面積；若不是定值，請說明理由；
(3)【拓展延伸】若，求出的最小值．
參考答案
1．(1)，理由見解析
(2)
(3)
【分析】本題考查了矩形與折疊問題、相似三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
（1）利用矩形的性質(zhì)得到，利用折疊的性質(zhì)得到，再利用等角對等邊得到，即可解答；
（2）利用勾股定理求出的長，由（1）得，通過證明得到，設(shè)的長為，代入數(shù)據(jù)解出的值，即可求解；
（3）先畫出示意圖，由（2）可知，得出，求出的長，設(shè)，表示出，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可求解．
【詳解】（1）解：，理由如下：
四邊形為矩形，
，
．
由折疊的性質(zhì)得，，
，
．
（2）解：在中，，，
．
由（1）可知是等腰三角形，，
．
，
，
．
設(shè)的長為，則的長為，
，
解得，即，
．
（3）解：如圖，

由（2）可知，
，即，
，
由（1）可知，
設(shè)，則，，
在中，，
即，
解得，
．
2．(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，然后代入計算即可；
（2）由折疊的性質(zhì)可得是線段的垂直平分線，再結(jié)合已知條件可得；再根據(jù)矩形的性質(zhì)證明，利用相似三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到、，再證明可得，進(jìn)而完成解答；
（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可證可得，進(jìn)而得到、、；再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求解即可．
【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，
∴，
由翻折知：，
∴．
（2）解：由折疊的性質(zhì)得：，
∴是線段的垂直平分線，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得 (舍棄負(fù)值)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴．
（3）解：∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由折疊的性質(zhì)得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，即，解得．
3．（1），理由見解析
（2），理由見解析
（3）
【分析】（1）延長交于點(diǎn)H，證明，得出，在利用三角形內(nèi)角和定理證明出，即可解答；
（2）延長交于點(diǎn)H，由折疊得，點(diǎn)D與點(diǎn)關(guān)于對稱，得出，再證明，得出；
（3）連接并延長交于點(diǎn)T，交于S，過E作于N，交的延長線于M，證明出，得到，，再證明，利用相似比求出，再求出，利用對角線互相垂直的四邊形面積公式即可解答此問．
【詳解】解：（1），理由如下：
如圖1，
延長交于點(diǎn)H，
∵四邊形為正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴ ，即；
（2），理由如圖下：
如圖2，
延長交于H，
∵四邊形是矩形，
∴，
由折疊得，點(diǎn)D與點(diǎn)關(guān)于對稱，
∴，即，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）如圖3，連接并延長交于點(diǎn)T，交于S，過E作于N，交的延長線于M，
∵四邊形是菱形，
∴，
由旋轉(zhuǎn)得，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合．矩形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)對稱性質(zhì)及勾股定理等知識，正確作出輔助線，是本題的解題關(guān)鍵．
4．(1)3；
(2)；
(3)不存在某一時刻t使得；理由見解析；
(4)當(dāng)t等于1或3時，翻折后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上．
【分析】（1）當(dāng)四邊形是矩形時，，據(jù)此求得的值；
（2）當(dāng)四邊形是菱形時，，列方程求得運(yùn)動的時間；
（3）過作，交于，，得出四邊形是矩形，列方程得，根據(jù)根的判別式得出方程無實(shí)數(shù)根，即可得出答案；
（4）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，進(jìn)而在中，，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【詳解】（1）解：由已知可得，，，
在矩形中，， ，，
∴當(dāng)時，四邊形為矩形，
∴，
解得：，
故當(dāng)時，四邊形為矩形．
故答案為：3；
（2）解：，，
∴，
即，
∵，
四邊形為平行四邊形，
當(dāng)時，四邊形為菱形，
根據(jù)勾股定理得：，，
∴此時，
解得，
故當(dāng)時，四邊形為菱形．
故答案為：；
（3）解：不存在；理由如下：
過作，交于，如圖所示：
則，
∵，
四邊形是矩形，
，，
，
矩形中，
∴為直角三角形，
，
，
，
即：
，
，
此方程無實(shí)數(shù)根，
不存在某一時刻使得；
（4）解：如圖所示，
根據(jù)折疊可知：，，
在矩形中，
，
，
，
，
∵，
∴在中，根據(jù)勾股定理得：
，
，
即：，
解得：，
答：當(dāng)?shù)扔诨驎r，翻折后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解一元二次方程、折疊的性質(zhì)等知識，解決此題注意結(jié)合方程的思想解題．
5．(1)
(2)①或；②的度數(shù)為或或或
【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得，由折疊的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可求解；
（2）①由等腰三角形的性質(zhì)可得，可得，由余角的性質(zhì)可求解；
②分別求出的三個內(nèi)角，由等腰三角形的性質(zhì)列出等式，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
，
∵將沿翻折至，
，
，
，
；
（2）①如圖，當(dāng)點(diǎn)在下方時，
，
，
，
，
，
；
當(dāng)點(diǎn)在上方時，
，
，
由折疊可得，
；
②當(dāng)點(diǎn)在下方時，
設(shè)，則，
，
，
，
，
若時，則，
，
，
若時，則，
，
，
當(dāng)時，則，
，則方程無解，
當(dāng)點(diǎn)在上方時，
設(shè)，
由翻折可得，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
，
，
若時，則，
，
，
若時，則，
，
，
當(dāng)時，則，
，則方程無解，
同理可得：的度數(shù)為或．
綜上所述：的度數(shù)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識點(diǎn)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．
6．(1)
(2)
(3)或
【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、幾何圖中角度的計算，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
（1）由折疊的性質(zhì)，得到，，根據(jù)，即可求解；
（2）由折疊的性質(zhì)，得到，，根據(jù)，，根據(jù)即可求解；
（3）由折疊的性質(zhì)，得到，，分當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時，當(dāng)點(diǎn)在外部時，兩種情況得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：由折疊的性質(zhì)，得到，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由折疊的性質(zhì)，得到，，
∵，，
∴，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
由折疊的性質(zhì)，得到，．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時，
∵，
∴；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)在外部時，
∵，
∴．
綜上，的度數(shù)為或．
7．(1)見解析
(2)，理由見解析
(3)18
【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)定理得，則可證明，從而有，則可得結(jié)論成立；
（2）由角平分線的性質(zhì)定理得，證明，從而有，則可得；
（3）由（2）知，可證明，則，，由勾股定理求得；設(shè)，，在中，由勾股定理建立方程求得x的值；由對稱及知，，由面積公式即可求解．
【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，，，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∴；
即；
（2）解：；
理由如下：
∵是的外角平分線，，，
∴；
在與中，
，
∴，
∴，
∴；
即；
（3）解：由（2）知，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得；
設(shè)，則，
在中，，
即，
解得：；
由對稱知，，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)等知識點(diǎn)，主要考查了學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，運(yùn)用這些性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．
8．(1)證明見詳解
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理與翻折問題、全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形和相似三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．
（1）利用正方形的性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定即可證明；
（2）由題意可知點(diǎn)的軌跡在以為直徑的圓上，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，到圓上點(diǎn)的距離最小值為到圓心的距離減去半徑，即可求解；
（3）由題意易求，可得，，再求得，可得，即可求得．
【詳解】（1）證明：∵四方形是正方形，，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：如圖，
∵，
∴點(diǎn)在以為直徑的圓上（直徑所對的圓周角是），
設(shè)中點(diǎn)為，則，
∵由沿翻折得到，
∴，
∴求最小值即求最小值，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，到圓上點(diǎn)的距離最小值為到圓心的距離減去半徑，
在中，，，根據(jù)勾股定理，
圓半徑，
∴最小值為，即線段的最小值為．
（3）解：∵四方形是正方形，于點(diǎn)，
∴，，，，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
9．(1)見解析
(2)；理由見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和得出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，即可得出答案；
（2）在線段上截取，連接，取的中點(diǎn)K，連接，證明，得出，，證明是等邊三角形，得出，根據(jù)，得出；
（3）設(shè)，則，以為直徑作，連接并延長交于點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)，得出，，，求出，根據(jù)勾股定理得出，根據(jù)二次函數(shù)的最值得出當(dāng)時，有最小值，即的最小值為，此時取最小值．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，
∴，
∴，
∴；
（2）解：猜想：；理由如下：
在線段上截取，連接，取的中點(diǎn)K，連接，如圖所示：

由（1）得：，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，
∵，，
∴，
∴，
∵是的中線，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵點(diǎn)H、K分別是、的中點(diǎn)，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由（2）可得：，
則，，，
∵，
∴，
設(shè)，則，
以為直徑作，連接并延長交于點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)，如圖所示：
此時最短；

∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
，，
∴，
，
在中，
，
∵，
∴當(dāng)時，有最小值，即的最小值為，此時取最小值。
【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值問題，勾股定理，二次函數(shù)的應(yīng)用，本題綜合性較強(qiáng)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考壓軸題．
10．(1)
(2)
(3)①；②
【分析】要是主要考查坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)：
（1）根據(jù)對稱性可得緒論；
（2）作于，作于．先證明，由點(diǎn)是的中點(diǎn)可得，根據(jù)證明可得．根據(jù)可得結(jié)論；
（3）①先證明，由翻折可知，，，證明．由三角形的外角性質(zhì)可求出；②由折疊得，．得出，，，由翻折可知，，，證明，從而可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵軸，，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：作于，作于．則，， ．
∴．
即．
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
在和中
，
∴．
∴，．
∴．
∵，
∴．
（3）解：①∵，，
∴．
∴．
∵軸，，
∴．
由翻折可知，，．
∴．
∴．
∴．
∴．
②∵，，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴，．
由翻折可知，，．
∵，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
11．(1)
(2)是等腰直角三角形，見解析
(3)的最短距離是10
【分析】（1）首先由矩形得到，求出，然后由折疊得到，進(jìn)而求解即可；
（2）延長交于，過作于，首先由矩形得到，然后得到，求出，由折疊的性質(zhì)得到，，得到是等邊三角形，進(jìn)而求解即可；
（3）如圖，連接，勾股定理求出，由折疊的性質(zhì)得到：，進(jìn)而求解即可．
【詳解】（1）解：如圖1，四邊形是矩形，
，
，
，
由折疊的性質(zhì)得到：，
，
，
，
；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
如圖所示，延長交于，過作于，
四邊形是矩形，
，
平分，
，
，
，
，
，
由折疊的性質(zhì)得到：，，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，，，
，
∴，
，
垂直平分，
，
，
，
△是等腰直角三角形；
（3）解：如圖，連接，
，，
，
，，
，
由折疊的性質(zhì)得到：，
，
的最短距離是10．
【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定，折疊的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．
12．（1） （2） （3）
【分析】（1）證明，結(jié)合E恰好為的中點(diǎn)可得；
（2）在中，，∴，∴
證明得，，設(shè)，則，，由勾股定理得，證明得，在中，利用銳角三角函數(shù)求出即可求解．
（3）延長交于點(diǎn)H，證明得，證明得，由求出，證明得，，在和中，利用勾股定理求出，然后根據(jù)即可求解．
【詳解】解：（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，，
∴，∴
∵四邊形是矩形，
∴，
∴
∴
∴，
∴，即
∵E為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴
（2）根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
∴
在矩形中，，
∴，
∴，
∴
（3）延長交于點(diǎn)H，根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
又Q是的中點(diǎn)，
∴，
∴
又，
∴，
∴
∴
∵，即，
∴
∵，，，
∴
∴，，
∴，，
在和中，，
，
解得或（舍去）
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識，難度較大，屬中考壓軸題．
13．(1)見解析
(2)，，，
【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．
（1）首先由，推出，然后證明出；
（2）由（1）得，，得到，然后由折疊得到，然后證明出，得到，然后利用線段的和差求出．
【詳解】（1）∵，
∴
∴
∴
又∵，
∴；
（2）由（1）得，
∴
∵沿DE翻折得到，
∴，
∵
∴，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∵，，
∴
∴由折疊得，
∴．
綜上所述，除外長度為1的所有線段有：，，，．
14．(1)
(2)，理由見解析
(3)
【分析】（1）過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，利用等邊三角形性質(zhì)得，，求出，得出，， 利用，得出，得出，即，求出，再求即可；
（2）利用，，得出，，則可得，利用，得出，則可求出，，利用字型求出，證明，則，再利用線段的和差即可證明；
（3）過作于點(diǎn)，先通過計算求出，，可得，利用翻折得出點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，在上取點(diǎn)，使，可證明，可得，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作于點(diǎn)，可得，則，由點(diǎn)到直線的最短距離可得，當(dāng)、、、依次共線，且時，取得最小值，此時過點(diǎn)作于點(diǎn)，由，得，計算即可．
【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，
∵是邊長為的等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
設(shè)與交于點(diǎn)，
∵，
即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
（3）解：如圖，過作于點(diǎn)，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
∴，，
∵點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，將沿翻折得到，
∴，
∴點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，
如圖，在上取點(diǎn)，使，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
如圖，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由點(diǎn)到直線的最短距離可得，當(dāng)、、、依次共線，且時，取得最小值，此時如圖，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的定義，等邊三角形的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握這些判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．(1)，
(2)的面積為定值，理由見解析
(3)
【分析】（1）過F作于M，由翻折的性質(zhì)得出垂直平分，利用證明，即可得出結(jié)論；
（2）作于N，證明，得出，即可得出結(jié)論；
（3）作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)Q，連接，，，利用證明，得出，則，當(dāng)B、G、Q三點(diǎn)共線時，的值最小，最小值為的長，然后在中利用勾股定理求解即可．
【詳解】（1）解：，
理由：過F作于M，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∵翻折，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
故答案為：，；
（2）解：的面積為定值，
理由：作于N，
∵平分，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵折疊，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)Q，連接，，，
則垂直平分，
∴，
∵折疊，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)B、G、Q三點(diǎn)共線時，的值最小，最小值為的長，
當(dāng)時，，，
∴，
即的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，軸對稱最短路徑問題等，將轉(zhuǎn)化為的長是解決第（3）的關(guān)鍵．

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