1. 向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)向量線性運算法則求解即可.
【詳解】向量，
故選：A.
2. 若已知、是平面上的一組基，則下列各組向量中不能作為基的一組是（ ）
A. 與B. 與C. 與D. 與
【答案】D
【解析】
【分析】由基的定義可判斷選項正誤.
【詳解】因、是平面上一組基，則、不共線，據(jù)此可得ABC選項所對應向量組均不共線，可作為基，
D選項，與共線，則不可以作為一組基.
故選：D
3. 下列向量中，與向量共線的一個單位向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由共線向量的坐標關系逐個判斷即可；
【詳解】對于A：，不共線；
對于B：，共線且為單位向量；
對于C：，不共線；
對于D：，不共線，
故選：B
4. 已知△ABC，向量滿足條件，，則△ABC是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 鈍角三角形C. 等邊三角形D. 直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】首先由條件判斷點是的重心和外心，再根據(jù)幾何性質判斷三角形的形狀.
【詳解】如圖，點是的中點，所以，
因為，即，即，
則點三點共線，且，所以點是的重心，
又，所以點是的外心，則，即，
所以，同理，則，

所以是等邊三角形.
故選：C.
5. 設點A（2，0），B（4，2），若點P在直線AB上，且，則點P的坐標為（ ）
A. （3，1）B. （1，﹣1）
C. （3，-1）或（-1，1）D. （3，1）或（1，﹣1）
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知求出向量的坐標，進而根據(jù)，可求出向量的坐標，進而求出點的坐標．
【詳解】解：，，∴，
點在直線上，且，∴，或，
故，或，故點坐標為或，
故選：D．
【點睛】本題考查的知識點是平面向量坐標表示，熟練掌握向量坐標等于終點坐標與起點坐標的差是解答的關鍵．
6. 設為非零向量，若，則的最大值與最小值的差為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量的性質分別求出的最大值與最小值，最后計算它們的差值即可.
【詳解】因為、、為非零向量，所以、、分別是與、、同向的單位向量，即.
當、、這三個單位向量方向相同時，取得最大值.此時.
當三個單位向量兩兩夾角為時，根據(jù)平行四邊形法則知道，所以的最小值為.
的最大值為，最小值為，它們的差為.
故選：D.
7. 如圖，在中，已知為中點，則（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用表示，再利用數(shù)量積的運算律計算得解.
【詳解】在中，由為中點，得，
所以.
故選：C
8. 在△中，，為的中點，為線段上的一個動點，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設，由平行四邊形法則得到,將表示成的函數(shù)，并利用二次函數(shù)的性質求出最小值.
【詳解】△中，，為的中點，
所以，
設，則，，
，
即當時，的最小值為.
故選：B.
二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.）
9. 下列說法中正確的是（ ）
A.
B. 若，為單位向量，則
C. 若∥、∥，則∥
D. 對于兩個非零向量，，若，則
【答案】AD
【解析】
【分析】A項，由相反向量與加法運算幾何意義可得；B項，單位向量，的方向不一定相同；C項，由零向量的規(guī)定它與任何向量共線可得；D項，兩邊平方展開化簡可得.
【詳解】選項A，根據(jù)相反向量，知，故A正確；
選項B，由，為單位向量，即，而，方向不一定相同. 故B錯誤；
選項C，規(guī)定零向量與任意向量共線，
即當時，則∥，且∥均成立，
而，為任意向量，它們不一定共線，故C錯誤；
選項D，由得，，
則，整理得，
又已知，是兩個非零向量，故. 故D正確；
故選：AD.
10. 設是內部的一點，以下可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由討論的符號及、、對應的位置情況，結合判斷各選項線性表達式對應的位置.
【詳解】若 ，且，則在直線上，
對于選項A，因為且，所以點在內部，因而選項A符合題意；
對于選項B，因為，且，所以點在外部，選項B不符合題意；
對于選項C，因為，且，
所以點在內部，故選項C符合題意；
對于選項D，，此時點落在外部，故選項D不符合題意，
故選：AC.
11. 已知向量都是單位向量，，則（ ）
A. =B. =
C. =D. 與共線
【答案】AC
【解析】
【分析】由已知可得出，可判斷A選項；在等式兩邊平方可得出，利用平面向量數(shù)量積的運算性質可判斷B選項；由已知可得出，結合平面向量數(shù)量積的運算性質可判斷C選項；利用平面向量共線的基本定理可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，向量、、都是單位向量，，則，
所以，A對；
對于B選項，在等式兩邊平方可得，
即，則，則，
所以，故，B錯；
對于C選項，因為，則，
所以，
所以
，故，C對；
對于D選項，，
若與共線，則存在，使得，
即，可得，即，
這與矛盾，假設不成立，D錯.
故選：AC.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 已知，則的面積為______．
【答案】5
【解析】
【分析】利用平面向量的數(shù)量積得到，進而確定三角形的底和高，再利用三角形面積公式求解面積即可.
【詳解】因為，所以，
故，由向量的模長公式得，，
且設的面積為，則.
故答案為：5
13. 已知正三角形的邊長為2，為中點，為邊上任意一點，則______.
【答案】3
【解析】
【分析】由已知可得，從而利用可求值.
【詳解】因為三角形是正三角形，為中點，
所以，所以，又正三角形的邊長為2，所以，
所以.
故答案為：.
14. 已知三點共線，O為直線外一點，存在三個不全為零的實數(shù)，使，那么的值為__________________．
【答案】0
【解析】
【分析】由共線向量的線性運算即可求解；
【詳解】因為三點共線，
則,
所以,
所以，
對比系數(shù)，所以，
故答案為：0
四、解答題（本題共6大題，共77分.解答應寫出必要文字說明、證明過程或演算步驟.）
15. 已知向量滿足
（1）求與的夾角；
（2）求向量在向量上的投影向量．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用向量的夾角公式計算即可.
（2）利用投影向量的定義求解即得.
【小問1詳解】
由，得，，
因此，而，
所以向量與的夾角.
【小問2詳解】
向量在向量上的投影向量為.
16. 如圖，在中，.設.
（1）用表示；
（2）若為內部一點，且.求證：三點共線.
【答案】（1），
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）借助向量加法法則與減法法則計算即可得；
（2）借助向量線性運算法則可用表示出，再利用向量共線定理推導即可得證.
小問1詳解】
，
；
【小問2詳解】
，
又，故，
故三點共線.
17. 已知的夾角為，，，，
（1）若，求實數(shù)t的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)t，使得，若存在，求出實數(shù)t.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由列式求得值；
（2）利用共線向量定理列式求解即可
【小問1詳解】
，的夾角為，且，，
.
由，得
，解得；
【小問2詳解】
由，得，
即，解得
所以存在實數(shù)，使得.
18. 平面內給定三個向量，，，回答下列問題：
（1）求滿足的實數(shù)m，n
（2）若與的夾角為銳角，求出實數(shù)k的取值范圍
【答案】（1），；（2）且
【解析】
【分析】(1)根據(jù)向量的坐標運算求解即可.
(2)利用且與不同向即可.
【詳解】(1)因為,故.
故.
(2)由題且與不同向,則.
即.當與同向,即與同向時,
此時,解得.代入可得此時與同向.
故若與的夾角為銳角,則且
【點睛】本題主要考查了平面向量的坐標運算以及夾角的表示方法等,需要根據(jù)題意列出對應的表達式,注意向量數(shù)量積大于0包括同向的情況.屬于中等題型.
19. 如圖，圓C的半徑為3，其中A，B為圓C上兩點.
（1）若，當k為何值時，與垂直？
（2）若G為的重心，直線l過點G交邊AB于點P，交邊AC于點Q，且，求 最小值.
（3）若的最小值為1，求的值.
【答案】（1）
（2）2 （3）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理可得，再由向量垂直和數(shù)量積的關系即可求出結果；
（2）由向量的線性運算和共線的條件得到，即可得到，再用基本不等式計算；
（3）由向量的數(shù)量積的定義得到，再由模長的計算得到，結合二次函數(shù)的性質解出即可.
【小問1詳解】
因為，
所以由余弦定理得，即，所以.
若與垂直，則，
所以，所以，
解得，即時，與垂直；
【小問2詳解】
因為為的重心，所以，
又因為，所以，
由于三點共線，所以存實數(shù)使得，所以
化簡為，所以，所以.
顯然，則，
當且僅當時，即時，取最值.
則的最小值為2.
【小問3詳解】
設與的夾角為，在中，，
所以，
又
，
所以當時，有最小值，所以，解得，
即取最小值1時，．
【點睛】知識點點睛：本題考查了余弦定理解三角形,向量垂直和數(shù)量積的關系,向量的線性運算和共線的條件，基本不等式計算最值，二次函數(shù)的性質.綜合性特別強，轉化能力要求高，屬于難題

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