江蘇省蘇州市姑蘇區(qū)蘇州大學附屬中學2024-2025學年高一下學期3月月考數(shù)學試題（含解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

（考試時間：120分鐘總分150分）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. （）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)余弦的和角公式即可求解.
【詳解】，
故選：A
2. 下列說法正確的是（）
A. 若，則
B. 若，，則
C. 長度不相等而方向相反的兩個向量是平行向量
D. 單位向量都相等
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量的相關性質(zhì)逐項分析.
【詳解】對于A，若，只能說明兩個向量的模長相等，但是方向不確定，所以A錯誤；
對于B，如果，結論B不正確；
對于C，根據(jù)平行向量的定義，C正確；
對于D，單位向量長度相等，但是方向不確定，所以D錯誤；
故選：C.
3. 已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，且的一個周期為4，則的解析式可以是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意分別考查函數(shù)的最小正周期和函數(shù)在處的函數(shù)值，排除不合題意的選項即可確定滿足題意的函數(shù)解析式.
【詳解】AB選項中，CD選項中，排除選項CD，
對于A選項，當時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一個對稱中心，排除選項A，
對于B選項，當時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一條對稱軸，
故選：B.
4. 若將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標擴大為原來的2倍，再將圖象向右平移個長度單位，則所得到的曲線的解析式為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律結合題意求解即可.
【詳解】將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標擴大為原來的2倍，得，
再將圖象向右平移個長度單位，得.
故選：A
5. 已知，則有（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將化到同一個單調(diào)區(qū)間上的同名函數(shù)比大小，再將與比大小.
【詳解】，
，
因為在為增函數(shù)，所以，
又，
所以，
故選：C
6. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助圖象可得，求得周期，進而求出，再由定點結合范圍求出，即可得出解析式．
【詳解】由題中圖象可得，，故，則，
又圖象過點，所以，
即，解得，
又，即，故.
故選：B.
7. 已知，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題運用兩角和的正切公式轉化，再結合同角三角函數(shù)的基本關系化簡式子，結合已知條件判斷式子特征以簡化等式，最后通過對常見三角恒等式的變形運用，建立與的聯(lián)系從而得出結果即可.
【詳解】由兩角和的正切公式得，
由同角三角函數(shù)的基本關系得，
，故，
因為，所以，
因為，所以，
故，則得到，
解得，故，
而，
則，解得，故C正確
故選：C
8. 已知函數(shù)(，)，若函數(shù)的最小正周期且在處取得最大值2，則的最小值為（）
A. 5B. 7C. 11D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】由函數(shù)式最大值2結合函數(shù)的特點求出a值，再把函數(shù)式化成，由取最大值的條件結合周期范圍得解.
【詳解】，所以的最大值為，即，又，所以，所以.
又在處取得最大值2，所以，
即，即，又函數(shù)的最小正周期，
所以，又，所以，所以的最小值為13.
故選：D
【點睛】涉及解決類型函數(shù)的問題，運用輔助角公共化成是關鍵.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 計算下列各式，結果為的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由兩角和與差的正弦，正切公式，二倍角的余弦公式對選項一一判斷即可得出答案.
【詳解】對于A，
，故A正確；
對于B，因為，
可得，
所以，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D錯誤.
故選：AC.
10. 筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用（圖1），明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖2）.若一半徑為2米的筒車水輪圓心O距離水面1米（圖3），已知水輪按逆時針轉動，每分鐘轉動4圈，當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖3中點）開始計時，經(jīng)過t分鐘后點P距離水面的高度為h米，下列結論正確的有（）
A. h關于t的函數(shù)解析式為
B. 點P第一次到達最高點需用時5秒
C. P再次接觸水面需用時10秒
D. 當點P運動2.5秒時，距水面的高度為1.5米
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)模型的定義與性質(zhì)，求出A、B和T、ω、φ，寫出函數(shù)解析式，再判斷選項中的命題是否正確．
【詳解】函數(shù)中，所以，
時，，解得，因為，所以，
所以，A正確；
令得，則，解得，
所以x的最小值為5，即點P第一次到達最高點需用時5秒，B正確；
由題意知，點P再次接觸水面需用時（秒），C正確；
當時，，點P距水面的高度為2米，D錯誤．
故選：ABC
11. 已知函數(shù)，則（）
A. 是一個最小正周期為的周期函數(shù)
B. 是一個偶函數(shù)
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
D. 的最小值為，最大值為
【答案】BC
【解析】
【分析】利用函數(shù)周期性的定義可判斷A選項；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷B選項；利用復合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項；求得，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的最大值和最小值，可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，
，
所以，函數(shù)為周期函數(shù)，且該函數(shù)的最小正周期不是，A錯；
對于B選項，對任意的，。
所以，函數(shù)為偶函數(shù)，B對；
對于C選項，當時，，
，
令，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，C對；
對于D選項，，
因為，令，，
則二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，
又因為，，所以，，
因此，的最小值為，最大值為，D錯.
故選：BC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知奇函數(shù)的一個周期為2，當時，，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】依題意根據(jù)函數(shù)奇偶性與周期性計算可得；
【詳解】解：根據(jù)題意得，
故答案為：
13. 已知滿足，則值為________．
【答案】##
【解析】
【分析】由結合可得，再根據(jù)代入求解即可.
【詳解】因為，
所以，
所以.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)的最小正周期為在上的圖象與直線交于點A，B，與直線交于點C，D，且，則______，______.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】先確定函數(shù)的解析式，再數(shù)形結合，利用函數(shù)圖象的性質(zhì)列式求值即可.
【詳解】因為
.
又函數(shù)最小正周期為，且，所以.
所以.
當時，，所以.
做函數(shù)，的草圖如下：
函數(shù)圖象關于直線對稱.
設，則，.，
所以，
，
解得或（舍去）.
所以.
故答案為：
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)．
求最小正周期、定義域；
若，求x的取值范圍．
【答案】（1）最小正周期為，定義域為（2），
【解析】
【分析】利用正切函數(shù)的周期性、定義域，得出結論．
不等式即，再利用正切函數(shù)的圖象性質(zhì)，求得x的取值范圍．
【詳解】解：對于函數(shù)，它的最小正周期為，
由，求得，可得它的定義域為．
，即，故，
求得，故x的取值范圍為，．
【點睛】本題主要考查正切函數(shù)的周期性、定義域，正切函數(shù)的圖象性質(zhì)，屬于中檔題．
16. 已知函數(shù)的最大值為1.
（1）求常數(shù)m的值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)輔助角公式化簡可得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案；
（2）根據(jù)已知可得出，，然后根據(jù)二倍角公式得出的值，根據(jù)兩角差的余弦公式，即可得出答案.
【小問1詳解】
，
當，即時，，
所以.
【小問2詳解】
由（1）知，.
由得，，所以.
又，所以，
所以，
所以，
，
所以
.
17. 函數(shù)的部分圖象如圖所示．

（1）求函數(shù)的解析式；
（2）將函數(shù)的圖象先向右平移個單位，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，若關于的方程在上有兩個不等實根，求實數(shù)的取值范圍，并求的值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可；
（2）先根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換得，結合正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性可判定的取值范圍與的值.
【小問1詳解】
由圖可知，，
∵，
∴，∴，
又，
∴，，∴，
由可得，
∴；
【小問2詳解】
將向右平移個單位得到，
再將所有點的橫坐標縮短為原來的，得到，
令，則，
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，，∴；
由對稱性可知，
∴，∴，
∴．
18. 已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當時，求的最大值和最小值，并求出對應的x的取值；
（3）當時，關于x的不等式有解，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）
（2），的最小值，，的最大值2，
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)積化和差以及二倍角，輔助角公式化簡，即可利用整體法求解，
（2）利用整體法即可求解，
（3）代入化簡可得有解，利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可求解.
【小問1詳解】
令,
解得，
故單調(diào)遞增區(qū)間為
【小問2詳解】
當時，，
當時，此時，取最小值，
當時，此時，取最大值，
【小問3詳解】
由可得，
故，
由于，所以，故，
令，則在單調(diào)遞減，
所以當時，，
故，故，
19. 已知函數(shù)，給定，定義的“－關聯(lián)跟蹤函數(shù)”為．
（1）求的取值范圍；
（2）已知當時，恒成立．若對于任意的都有，求的取值集合；
（3）若，證明：軸為函數(shù)圖象的對稱軸．
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用輔助角公式對變形，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出其范圍；
（2）由，化簡得，再由當時，恒成立，可得，從而可求出的取值集合；
（3）由，得或，然后分別化簡，再判斷的奇偶性可得結論.
小問1詳解】
，其中，
故的取值范圍為．
【小問2詳解】
由題意可得，
則，
又因為當時，恒成立，故只需滿足即可，
故滿足題意的的取值集合為．
【小問3詳解】
證明：由，得．
①當即時，，
因，所以為偶函數(shù)，
所以其圖象關于軸對稱．
②當即時，，
則，
所以為偶函數(shù)，
故其圖象關于軸對稱．
綜上所述，軸為函數(shù)圖象的對稱軸．
【點睛】關鍵點點睛：此題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應用，考查函數(shù)奇偶性的應用，第（3）問解題的關鍵是分情況對化簡，再判斷其奇偶性，考查分類討論的思想和計算能力，屬于較難題.

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