江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)唯亭校區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題
1. 下列各式正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的加減法法則計(jì)算．
【詳解】；
；
；
．
故選：B．
2. 如果函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么的值可以是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)稱中心列方程，解方程即可.
詳解】由題意得，解得，
所以的值可以是.
故選：D.
3. 若，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先應(yīng)用二倍角余弦及正弦公式化簡(jiǎn)，再應(yīng)用弦化切計(jì)算求解.
【詳解】，
故選:A．
4. 已知，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，可得出的值，再利用兩角和的正切公式可求得的值.
【詳解】由已知可得，解得，
所以，，
故.
故選：D.
5. 下列選項(xiàng)中，值為的是（）
A. 2sinsinB. －cs215°
C. ＋D. cs 72°·cs 36°
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二倍角公式和輔助角公式依次討論各選項(xiàng)即可得答案.
【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，＝＝，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，＝＝＝，故D正確.
故選：D.
6. 已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）
A. 若函數(shù)周期為4，則
B. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為
C. 若函數(shù)在單調(diào)，則有最大值2
D. 若函數(shù)可以由先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍得到，則
【答案】C
【解析】
【分析】利用周期公式計(jì)算可得A錯(cuò)誤，再由對(duì)稱軸方程可判斷D錯(cuò)誤，由余弦函數(shù)單調(diào)性計(jì)算可得C正確，根據(jù)平移規(guī)則可判斷D錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)于A，若函數(shù)周期為4，可得，解得，即A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸滿足，解得，即B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以，
若函數(shù)在單調(diào)，可得，解得，即有最大值2，可得C正確；
對(duì)于D，先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得，
再橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍可得，
若能得到函數(shù)，可得，此時(shí)無(wú)解，即D錯(cuò)誤.
故選：C
7. 下列命題：
①若，則或 ②的充要條件是且
③若，，則； ④起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)必相同
其中，真命題的個(gè)數(shù)是（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線，相等向量、單位向量的概念依次判斷各選項(xiàng)即可得答案
【詳解】對(duì)于①，若，則模相等，方向不一定相同或相反，故錯(cuò)誤；
對(duì)于②，當(dāng)時(shí)也滿足且，故錯(cuò)誤；
對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，滿足，但不一定成立；
對(duì)于④，起點(diǎn)相同的單位向量，方向不一定相同，則其終點(diǎn)不一定相同，故錯(cuò)誤.
故真命題的個(gè)數(shù)是0個(gè).
故選：A
8. 已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則正整數(shù)的取值可以是（）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】解方程得到的零點(diǎn)，然后列不等式求解.
【詳解】，
令，即，則，
整理得，
因?yàn)闀r(shí)函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，
所以正整數(shù)的取值可以是5、6.
故選：A.
二、多選題
9. 函數(shù)的部分圖象如圖，若的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)間的距離為，則（）

A.
B.
C. 的零點(diǎn)形成的集合為
D. 的單調(diào)遞減區(qū)間為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)于A，由周期即可求解；對(duì)于B，由得，再結(jié)合且在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)即可得解；對(duì)于C，令結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)即可求解；對(duì)于D，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性令并求解即可得解.
【詳解】對(duì)于A，由已知得最小正周期，又，
所以，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，且由圖可知在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，所以，故B正確；
對(duì)于C，由選項(xiàng)A和B得，令得，，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故D正確.
故選：ABD.
10. 下列選項(xiàng)正確的是（）
A. 若，則
B. 若．且，則
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)選項(xiàng)A，由分子分母同除以求解判斷；對(duì)選項(xiàng)B，利用兩角和的余弦公式求解判斷；對(duì)選項(xiàng)C，利用二倍角的正弦公式求解判斷；對(duì)選項(xiàng)D，利用兩角和的正切公式求解判斷.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，分子分母同除以得，即，故A正確；
對(duì)選項(xiàng)B，∵，∴，
∴，
∵，∴，∴．故B正確；
對(duì)選項(xiàng)C，，
，故C錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D，，
，故D正確．
故選：ABD.
11. 已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)（）滿足，則正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】畫出的圖象，根據(jù)圖象可得的取值范圍，再根據(jù)圖象的局部對(duì)稱性可得，且，故可判斷各項(xiàng)的正誤.
【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖：
令，得或或，
由存在實(shí)數(shù)滿足，
得直線與函數(shù)的圖象有4個(gè)不同交點(diǎn)，由圖象知，D正確；
由與關(guān)于對(duì)稱，得，B正確；
由，得，
即，則，
整理得，C正確；
，由圖象得，于是，
即，因此，A錯(cuò)誤.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，可先刻畫其圖象，根據(jù)圖象的性質(zhì)可得各零點(diǎn)的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式等考慮目標(biāo)代數(shù)式的范圍等.
三、填空題
12. 在平行四邊形中，．設(shè)，請(qǐng)用表示_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算.
【詳解】
.
故答案為：.
13. 若，則__________.
【答案】##0.28
【解析】
【分析】令，代入，利用三角公式變形計(jì)算即可.
【詳解】令，則，
所以
.
故答案為：.
14. 近年來(lái)，淮安市依托地方資源優(yōu)勢(shì)，用風(fēng)能等清潔能源替代傳統(tǒng)能源，因地制宜實(shí)施新能源項(xiàng)目，在帶來(lái)了較好經(jīng)濟(jì)效益的同時(shí)，助力了本地農(nóng)戶增收致富．目前利用風(fēng)能發(fā)電的主要手段是風(fēng)車發(fā)電．如圖，風(fēng)車由一座塔和三個(gè)葉片組成，每?jī)蓚€(gè)葉片之間的夾角均為，現(xiàn)有一座風(fēng)車，塔高90米，葉片長(zhǎng)40米．葉片按照逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，并且每6秒旋轉(zhuǎn)一圈，風(fēng)車開始旋轉(zhuǎn)時(shí)某葉片的一個(gè)端點(diǎn)P在風(fēng)車的最低點(diǎn)（此時(shí)P離地面50米）．設(shè)點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)t（秒）后離地面的距離為S（米），則S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為________，葉片旋轉(zhuǎn)一圈內(nèi)點(diǎn)P離地面的高度不低于70米的時(shí)長(zhǎng)為________秒．

【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【分析】（1）由題意，根據(jù)物理意義，結(jié)合三角函數(shù)定義得，待定系數(shù)即可；
（2）解不等式即得.
【詳解】（1）由題意，塔高即風(fēng)車中心距地面的高度，風(fēng)車半徑，
風(fēng)車轉(zhuǎn)動(dòng)一圈為秒，則角速度，
如圖，以風(fēng)車中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以與地面平行的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)時(shí)，風(fēng)車開始旋轉(zhuǎn)時(shí)某葉片的一個(gè)端點(diǎn)P在風(fēng)車的最低點(diǎn)，設(shè)，
以為始邊，為終邊的角不妨取，
那么經(jīng)過(guò)（秒）后，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，
于是，以為始邊，為終邊的角為，
由三角函數(shù)定義知，
則，
所以.
（2）令，
所以,
所以.
當(dāng)時(shí)，，
所以葉片旋轉(zhuǎn)一圈內(nèi)點(diǎn)P離地面的高度不低于70米的時(shí)長(zhǎng)為4秒.
故答案為：；.

四、解答題
15. 已知，且均為銳角.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求值.
【答案】（1）
（2）
（3）2
【解析】
【分析】（1）直接由弦化切化成的方程即可得解.
（2）直接由二倍角公式、平方關(guān)系化成齊次式即可得解
（3）首先由平方關(guān)系結(jié)合角的范圍得，結(jié)合兩角差的正切公式即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
由，可得，解得.
【小問(wèn)2詳解】
.
【小問(wèn)3詳解】
，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)榫鶠殇J角，所以，而，
所以，故，
所以，
所以.
16. 已知函數(shù)的最小正周期為．
（1）求．
（2）在圖中給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，并根據(jù)圖象寫出其在上的單調(diào)遞減區(qū)間．
【答案】（1）
（2）圖象見解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)周期得到，然后計(jì)算函數(shù)值即可；
（2）利用五點(diǎn)法畫圖，然后寫單調(diào)區(qū)間即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得，又，所以，，
則.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，所以?br>列表如下：
畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下：
所以圖象在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.
17. 已知函數(shù)為奇函數(shù)．且圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為．
（1）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．
（2）設(shè)，若恒成立，求實(shí)數(shù)c的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)的性質(zhì)得到，然后根據(jù)圖象的平移變換得到，最后求值域即可；
（2）利用換元法得到的最大值，即可得到的范圍.
【小問(wèn)1詳解】
,
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，解得，
又，所以，
因?yàn)閳D象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，所以的最小正周期為，
所以，解得，
所以，
由題意得，
當(dāng)時(shí)，，則，
所以的值域?yàn)?
【小問(wèn)2詳解】
，
令，
則，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，
因?yàn)楹愠闪?，所以?br>所以的最小值為.
18. 已知函數(shù),的最小正周期為.
(1)求的單調(diào)增區(qū)間;
(2)方程在上有且只有一個(gè)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在實(shí)數(shù)滿足對(duì)任意,都存在,使得成立.若存在,求的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)或;(3)存在,.
【解析】
【分析】
（1）利用降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn)得，再利用周期公式求得的值，從而得到的解析式，再利用整體代入求單調(diào)區(qū)間；
（2）方程;在上有且有一個(gè)解,轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)；
（3）由(1)可知,則；實(shí)數(shù)滿足對(duì)任意,都存在,使得成立，即成立，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題.
【詳解】(1)函數(shù)
∵最小正周期為.∴,∴.
那么的解析式
令得:
∴的單調(diào)增區(qū)間為.
(2)方程;在上有且有一個(gè)解,
轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn).
∵,∴
因?yàn)楹瘮?shù)在上增,在上減,
且，
∴或,所以或.
(3)由(1)可知,∴.
實(shí)數(shù)滿足對(duì)任意,都存,
使得成立.
即成立
令
設(shè),那么
∵,∴,
可得在上恒成立.
令,其對(duì)稱軸，
∵上,
∴①當(dāng)時(shí),即,,解得;
②當(dāng),即時(shí),,解得;
③當(dāng),即時(shí),,解得;
綜上可得,存在,可知的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換、三角函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的圖象、不等式的恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意換元法的應(yīng)用.
19. 已知函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離為，直線是的圖象的一條對(duì)稱軸.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）將圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值.
（3）若，方程存在4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的圖象性質(zhì)，求解函數(shù)的解析式；
（2）首先求函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍.
（3）先解方程，再根據(jù)方程有4個(gè)根，再根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參.
【小問(wèn)1詳解】
由條件可知，周期，所以，又，得，
，因?yàn)?，所以?br>即函數(shù)；
【小問(wèn)2詳解】
將圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，，
若對(duì)于任意的，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以，單調(diào)遞減，
單調(diào)遞減，
所以，
所以,m的最大值為.
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)椋?br>可得或，
當(dāng)，設(shè)，
由條件轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)，
在上的圖象恰有2個(gè)不同的交點(diǎn)，
方程存在4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則與必有2個(gè)交點(diǎn)，
即在上的值域?yàn)闀r(shí)，函數(shù)與有2個(gè)交點(diǎn)，
則或，即或
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：先解方程，再根據(jù)方程有4個(gè)根，再根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)結(jié)合給定范圍值域求參.

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