一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）
1. 下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，利用賦值法可得出結論.
【詳解】因為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
對于函數(shù)，由，
解得，
取，可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，
則，，A選項滿足條件，B不滿足條件；
取，可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，
且，，CD選項均不滿足條件.
故選：A.
【點睛】方法點睛：求較為復雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個整體代入的相應單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)．
2. 已知 ∈（0，），2sin2α=cs2α+1，則sinα=
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式得到正余弦關系，利用角范圍及正余弦平方和為1關系得出答案．
【詳解】，．
，又，，又，，故選B．
【點睛】本題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負，運算準確性是關鍵，題目不難，需細心，解決三角函數(shù)問題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負，很關鍵，切記不能憑感覺．
3. 下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】對于A，通過比較與進行判斷，對于B，利用偶函數(shù)的定義分析判斷，對于C，由函數(shù)的定義域是否關于原點對稱進行判斷，對于D，利用偶函數(shù)的定義分析判斷.
【詳解】對A，設，函數(shù)定義域為，但，，則，故A錯誤；
對B，設，函數(shù)定義域為，且，則為偶函數(shù)，故B正確；
對C，設，函數(shù)定義域為，不關于原點對稱，則不是偶函數(shù)，故C錯誤；
對D，設，函數(shù)定義域為，因為
，則為奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故D錯誤.
故選：B
4. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二倍角公式可得，再結合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關系即可求解.
【詳解】
，
，，，解得，
，.
故選：A.
【點睛】關鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關鍵是利用二倍角公式化簡求出.
5. 設函數(shù).已知，，且的最小值為，則（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)最值分析周期性，結合三角函數(shù)最小正周期公式運算求解.
【詳解】由題意可知：為的最小值點，為的最大值點，
則，即，
且，所以.
故選：B.
6. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.
【詳解】因為，
所以，，
所以，
故選：B.
7. 若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結合同角三角函數(shù)的商數(shù)關系即可得解.
【詳解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故選：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:設β=0則sinα +csα =0，取，排除A, B；
再取α=0則sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；選C.
[方法三]：三角恒等變換

所以
即
故選：C.
8. 記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關于點中心對稱，則（ ）
A. 1B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.
【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，
又因為函數(shù)圖象關于點對稱，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故選：A
二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多個符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分）
9. 下圖是函數(shù)y= sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)= （ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】首先利用周期確定的值，然后確定的值即可確定函數(shù)的解析式，最后利用誘導公式可得正確結果.
【詳解】由函數(shù)圖像可知：，則，所以不選A,
不妨令,
當時，，
解得：，
即函數(shù)的解析式為：
.
而
故選：BC
【點睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：
(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸?，則可用誘導公式變換使其符合要求.
10. 已知函數(shù)，則以下說法中正確的是（ ）
A. 的最小正周期為B. 在上單調(diào)遞減
C. 是的一個對稱中心D. 當時，的最大值為
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用誘導公式、二倍角公式化簡解析式，再根據(jù)三角函數(shù)最小正周期、單調(diào)區(qū)間、對稱中心、最值的求法，判斷出正確選項.
【詳解】依題意
.
所以的最小正周期為，A選項正確.
由，解得，所以在上單調(diào)遞減，B選項正確.
，所以是的一個對稱中心，C選項正確.
由于，所以D選項錯誤.
故選：ABC
【點睛】本小題主要考查誘導公式、二倍角公式，考查三角函數(shù)最小正周期、單調(diào)區(qū)間、對稱中心、最值等知識，屬于中檔題.
11. 設，已知在上有且僅有5個零點，則下列結論正確的是（ ）
A. 在上有且僅有3個最大值點B. 在上有且僅有2個最小值點
C. 在上單調(diào)遞增D. 的取值范圍是
【答案】ACD
【解析】
【分析】將看成整體角，根據(jù)題意得，結合正弦函數(shù)的圖象觀察分析求得，且易得在上有且僅有3個最大值點，但最小值點個數(shù)不確定，最后由推得，根據(jù)求得的判斷的范圍能確保單調(diào)遞增即得.
【詳解】
設，由，可得，作出的圖象如圖，要使在上有且僅有5個零點，
須使，解得：，故D項正確；
對于A項，由圖可知時，，在此區(qū)間上函數(shù)有且僅有3個最大值點，故A項正確；
對于B項，由圖可知時，，在此區(qū)間上，函數(shù)的最小值點可能有2個或3個,故B項錯誤；
對于C項，當時，，由上分析知，則，即，
而此時單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故C項正確.
故選：ACD.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 記三角形的內(nèi)角，已知，則________．
【答案】##
【解析】
【分析】由題目條件，利用兩角和的正弦公式求出，再結合的范圍即可求出.
【詳解】因為，
所以.
因為，所以，
所以，所以.
故答案為：
13. 已知為第一象限角，為第三象限角，，則________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用和角的正切公式求出，判斷所在象限，利用同角公式求出目標值.
【詳解】由，得，
由為第一象限角，得，
由為第三象限角，得，
則，而，
于是，，
由，，
所以.
故答案為：
14. 《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大正方形，若如圖所示的角，且小正方形與大正方形的面積之比為，則的值為________．
【答案】
【解析】
【分析】將小正方形與大正方形的面積之比表示關于的三角函數(shù)，從而可求，再結合同角關系求的值.
【詳解】大正方形的邊長為，則小正方形的邊長為，
故，故
所以，
故，所以，
即，
故或，因為，故，
所以，
故答案為：.
四、解答題（本題共5小題，共77分）
15. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用同角公式求出，再利用和角的正弦公式求解.
（2）凡（1）的信息，利用和角的余弦求出，進而利用二倍角公式求出，再利用差角的余弦公式求解.
【小問1詳解】
由，得，而，
則，
所以.
【小問2詳解】
由（1）知，，而，則，
，
所以.
16. 已知函數(shù)．
（1）求的最小正周期；
（2）求在上的最大值，并求此時的值．
【答案】（1）
（2）時，函數(shù)最大，最大值為.
【解析】
【分析】（1）由三角恒等變換化簡函數(shù)，由此得到的值，即可求出函數(shù)的最小正周期；
（2）由的范圍即可求出的取值范圍，從而得到函數(shù)的最大值，并求出對應的的值.
【小問1詳解】
，
，
，
∴，∴最小正周期.
【小問2詳解】
當時，，
∴當時，即時，函數(shù)最大，最大值為.
17. 設函數(shù)．
（1）若，求的值．
（2）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，求函數(shù)的解析式．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）化簡函數(shù)的解析式，結合關系列方程求；
（2）由（1）可得函數(shù)的最大值和最小值，結合函數(shù)的單調(diào)性及取最值的條件可求函數(shù)的周期，利用周期公式求，結合關系求，由此可得結論．
【小問1詳解】
因為，
所以，又，
所以，又，
所以.
【小問2詳解】
由（1），
所以的最大值為，最小值為.
因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得最小值，即，又，
所以，
所以，，
所以，
又因為，
所以，
所以，
所以，因為，所以.
所以，；
所以.
18 已知．
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若，求的值；
（3）將函數(shù)y＝f（x）的圖象向右平移個單位得到y(tǒng)＝g（x）的圖象，若函數(shù)y＝g（x）﹣k在上有唯一零點，求實數(shù)k的取值范圍．
【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[]（k∈Z）;（2）;（3）或.
【解析】
【分析】(1)由正余弦二倍角公式和正弦兩角和公式對原式進行化簡;然后利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求解;
(2)利用余弦二倍角公式化簡,然后由誘導公式得,代入計算即可;
(3)由圖像平移得函數(shù),然后結合數(shù)形結合的思想將所求問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)與圖像有一個交點來求解參數(shù)的取值范圍.
【詳解】(1)由于，
令（k∈Z）,整理得（k∈Z），所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[]（k∈Z）．
(2)由題意,則,即,
由,則
(3)由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到的圖象,
由于,所以,則函數(shù)在上有唯一零點，即得函數(shù)與圖像在上只有一個交點,所以當或時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點,則由或,解得或,
即當或時,函數(shù)上有唯一零點.
【點睛】本題是一道綜合性試題,考查了正余弦二倍角公式的應用,考查了三角函數(shù)和差公式的應用,考查了圖像平移以及利用圖像解決函數(shù)零點的問題,屬于中檔題.
19. 如圖，一個半圓和長方形組成木塊，長方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，，，現(xiàn)要將此木塊鋸出一個等腰三角形，其底邊，點在半圓上.
（1）設，求三角形木塊面積；
（2）設，試用表示三角形木塊的面積，并求的最大值.
【答案】（1）；（2）,的面積最大值為
【解析】
【分析】（1）構造垂線，將、的長度進行轉(zhuǎn)化，的長度即為的值，的長度即為的值，從而求解出；
（2）根據(jù)第（1）問的轉(zhuǎn)化方法，同理可以得出的表達式，然后將看成整體進行換元，進而將面積函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)，從而求解出最值.
【詳解】解：（1）過點作交于點，設交于點，
所以,
，
所以；
（2）因為半圓和長方形組成的鐵皮具有對稱性，
所以可只分析時的情況，
，
，
所以
，
令，，
故，
，
，
，
，
，
函數(shù)在單調(diào)遞增，
所以當時，的面積最大，最大值為.
【點睛】本題考查了三角函數(shù)在實際問題中的應用，考查了三角函數(shù)的值域問題，三角函數(shù)中與的聯(lián)系等等，考查了學生綜合應用能力.

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