1. Lgistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Lgistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（ ）（ln19≈3）
A. 60B. 63C. 66D. 69
【答案】C
【解析】
【分析】將代入函數(shù)結(jié)合求得即可得解.
【詳解】，所以，則，
所以，，解得.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
2. 《擲鐵餅者》取材于希臘的體育競技活動，刻畫的是一名強(qiáng)健的男了在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的一只手臂長約為米，整個(gè)肩寬約為米.“弓”所在圓的半徑約為1.25米.則擲鐵餅者雙手之向的距離約為（ ）(參考數(shù)據(jù)：)
A. 1.612米B. 1.768米C. 1.868米D. 2.045米
【答案】B
【解析】更多優(yōu)質(zhì)資源可進(jìn)入 【分析】
根據(jù)弧長公式求出圓心角為直角，再根據(jù)勾股定理可求得弦長.
【詳解】由題得：“弓”所在的弧長為：；，
所以其所對的圓心角；
∴兩手之間的距離.
故選：B.
3. 已知函數(shù)，既有最小值也有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意得到或，計(jì)算得到答案.
【詳解】，則
函數(shù)有最小值也有最大值
則或
故選：
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的最值問題，漏解是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.
4. 函數(shù)的定義域?yàn)椋魸M足：(1)在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；(2)存在，使得在上的值域?yàn)?，那么就稱函數(shù)為“夢想函數(shù)”.若函數(shù) 是“夢想函數(shù)”，則的取值范圍是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)“夢想函數(shù)”定義將問題改寫為，等價(jià)轉(zhuǎn)化為有2個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為二次方程，利用根的分布求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是“夢想函數(shù)”，
所以在上的值域?yàn)椋液瘮?shù)是單調(diào)遞增的.
所以，即
∴有2個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，令
即有兩個(gè)不等正根，
∴且兩根之積等于，
解得.
故選：A.
【點(diǎn)睛】此題以函數(shù)新定義為背景，實(shí)際考查函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的問題，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化將問題轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題，綜合性比較強(qiáng).
二、多項(xiàng)選擇題
5. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 若的最小正周期是，則
B. 當(dāng)時(shí)，的對稱中心的坐標(biāo)為
C. 當(dāng)時(shí)，
D. 若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則
【答案】AD
【解析】
【分析】
根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，采用整體換元法依次討論各選項(xiàng)即可得答案.
【詳解】解:對于A選項(xiàng)，當(dāng)?shù)淖钚≌芷谑牵矗?，則，故A選項(xiàng)正確；
對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以令，解得：，所以函數(shù)對稱中心的坐標(biāo)為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，，由于在單調(diào)遞增，故，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于D選項(xiàng)，令，解得： 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得：，另一方面，，，所以，即，又因?yàn)椋?，故，故D選項(xiàng)正確.
故選：AD
【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于整體換元法的靈活應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.其中D選項(xiàng)的解決先需根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性得，再結(jié)合和得，進(jìn)而得答案.
6. 下列判斷或計(jì)算正確的是（ ）
A. ，使得B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
對于A，由余弦函數(shù)的值域進(jìn)行判斷；對于B，利用誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的符號進(jìn)行判斷；對于C，利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行判斷；對于D，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡即可判斷
【詳解】解：對于A，由得，而，所以無解，所以A錯(cuò)誤；
對于B，，所以B正確；
對于C， ，所以C正確；
對于D，，所以D錯(cuò)誤，
故選：BC
7. 已知函數(shù)，，且，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用函數(shù)圖象的作法，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象得函數(shù)圖象，從而得，且，對A進(jìn)行判斷，利用題目條件所得結(jié)論，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，對B進(jìn)行判斷，利用利用題目條件所得結(jié)論，結(jié)合不等式性質(zhì)，對C進(jìn)行判斷，利用利用題目條件所得結(jié)論，結(jié)合利用基本不等式求最值，對D進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論．
【詳解】解：因?yàn)?，?br>所以由函數(shù)圖象知，且．
對于A，因?yàn)?，所以A不正確；
對于B,因?yàn)?，且?br>所以．
因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，
所以函數(shù)的值域是，
因此，即，所以B正確；
對于C,因?yàn)?，且?br>所以，因此C正確；
對于D,因?yàn)椋遥?br>所以,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
而，因此，所以D正確．
故選：BCD．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)圖象的作法，不等式性質(zhì)，利用基本不等式求最值，解題的關(guān)鍵是畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出，且．
8. 已知，，，則的值可能是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
,有則且,分和打開 ，然后用重要不等式求出其最值，從而得到答案.
【詳解】由，得，則且.
當(dāng)時(shí), =
=.當(dāng)且僅當(dāng)即 時(shí)取等號.
當(dāng)時(shí), =
=.當(dāng)且僅當(dāng)即 時(shí)取等號.
綜上，.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.
9. 已知函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，下列關(guān)于說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)為偶函數(shù)
B. 的值域?yàn)?br>C. 為周期函數(shù)，且周期
D. 與的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)
【答案】CD
【解析】
【分析】
A.假設(shè)函數(shù)為偶函數(shù)，則，由的圖象關(guān)于對稱判斷； B. 根據(jù)表示不超過的最大整數(shù)，得到判斷；C.易得 判斷；D. 利用的值域?yàn)?，分別令，，判斷.
【詳解】A.若函數(shù)為偶函數(shù)，則，所以的圖象關(guān)于對稱，而，，故錯(cuò)誤；
B. 因?yàn)楸硎静怀^的最大整數(shù)，所以，所以的值域?yàn)椋叔e(cuò)誤；
C. ，所以，則為周期函數(shù)，且周期，故正確；
D. 由B知：的值域?yàn)?，令，解得或，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)兩函數(shù)有一個(gè)公共點(diǎn)，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)兩函數(shù)無公共點(diǎn)，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)兩函數(shù)無公共點(diǎn)，綜上：與的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，故正確；
故選：CD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是理解的含義，得到，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
三、填空題
10. 函數(shù)的值域?yàn)開________.
【答案】
【解析】
【分析】
由得，根據(jù)可解得結(jié)果.
【詳解】由得，
由得，整理得，
解得或.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用求解是解題關(guān)鍵.
11. 已知函數(shù)的圖象與直線的三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1，5，7，則函數(shù)的周期為________；其單調(diào)減區(qū)間為________．
【答案】 ①. 6 ②.
【解析】
【分析】
由題意可知第一個(gè)交點(diǎn)與第三個(gè)交點(diǎn)的差是一個(gè)周期，第一個(gè)交點(diǎn)與第二個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)對應(yīng)的函數(shù)值是最大值或最小值，從而可求出的值，進(jìn)而可求得答案
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與直線的三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1，5，7，
所以函數(shù)的周期為，得，
由題意可知1和5的中點(diǎn)必為函數(shù)的最小值的橫坐標(biāo)，
所以由五法作圖法可知，，解得，
所以，
由，得，
所以函數(shù)的減區(qū)間為，
故答案為：6；
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查三角函數(shù)的解析式及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)求出，從而可求出，再由五點(diǎn)作圖法求出的值，進(jìn)而可求出其單調(diào)減區(qū)間，屬于中檔題
12. 噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問題.實(shí)踐證明，聲音強(qiáng)度（分貝）由公式（，為非零常數(shù)）給出，其中為聲音能量.當(dāng)聲音強(qiáng)度，，滿足時(shí)，聲音能量，，滿足的等量關(guān)系式為_________；當(dāng)人們低聲說話，聲音能量為時(shí)，聲音強(qiáng)度為30分貝；當(dāng)人們正常說話，聲音能量為時(shí)，聲音強(qiáng)度為40分貝，當(dāng)聲音強(qiáng)度大于60分貝時(shí)屬于噪音.火箭導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)的噪音分貝數(shù)在區(qū)間內(nèi)，此時(shí)聲音能量數(shù)值的范圍是_________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由得，，利用對數(shù)的運(yùn)算化簡可得；根據(jù)題意列方程組解出，，從而，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】①由題知，，
當(dāng)時(shí)，有，
整理得，，
因?yàn)椋?
②由題知，，即，
解得，，
所以.
由，得，，
因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，所以，
故火箭導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)的噪音分貝數(shù)在區(qū)間內(nèi)，此時(shí)聲音能量數(shù)值的范圍是.
故答案為：；.
13. 中國扇文化有著深厚的文化底蘊(yùn)，文人雅士喜在扇面上寫字作畫.如圖，是書畫家唐寅（1470—1523）的一幅書法扇面，其尺寸如圖所示，則該扇面所在扇形的圓心角為____rad，此時(shí)扇面面積為____cm2．
【答案】 ①. ②. 704
【解析】
【分析】
設(shè)，，由題意可得：，解得和，進(jìn)而根據(jù)扇形的面積公式即可求解．
【詳解】解：如圖，設(shè)，，
由題意可得：，
解得：，
所以，．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查扇形的面積，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
結(jié)論點(diǎn)睛：（1）扇形的面積公式：；
（2）扇形弧長公式：.
14. 已知A，B是函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則線段AB長度的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
求得在一個(gè)周期內(nèi)的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，由此求得長度的最小值.
【詳解】和的周期為，由得，在時(shí)，有或，記得或，不妨設(shè)，所以長度的最小值為.
故答案：
【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，考查兩點(diǎn)間的距離公式.
15. 已知定義在上的偶函數(shù)滿足．且當(dāng)時(shí)，．若對于任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求得的值，由此求得的值.證得是周期為的周期函數(shù)，將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)的周期性和對稱性，將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合求得的取值范圍.
【詳解】由，令，得.由于當(dāng)時(shí)，，所以.故當(dāng)時(shí)，.，由于為偶函數(shù)，所以.由，得，所以是周期為的周期函數(shù).當(dāng)時(shí)，，所以.所以當(dāng)，.得，故.所以當(dāng)時(shí)，，所以.結(jié)合是周期為的周期函數(shù)，畫出的圖像如下圖所示.由得（），對于任意成立.時(shí)，，解得，所以，即對于任意成立.當(dāng)時(shí)，由得，由于在遞減，所以；由得，由于在遞增，所以.綜上所述，的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性，考查函數(shù)解析式的求法，考查不等式恒成立問題的求解，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性很強(qiáng)，屬于難題.
16. 函數(shù)取得最大值時(shí)=_________，在區(qū)間上至少取得2次最大值，則正整數(shù)的最小值是________．
【答案】 ①. ②. 8
【解析】
【分析】將看成整體，利用正弦函數(shù)的圖像即得使函數(shù)取最大值時(shí)的的值；根據(jù)求得，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖像和題設(shè)要求，得出，推理即得.
【詳解】函數(shù)取得最大值時(shí),有，即：時(shí)，函數(shù)取得最大值；
由可得：，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像可知，要使在區(qū)間上至少取得2次最大值，須使，
即，故正整數(shù)的最小值是8.
故答案為：；8.
四、解答題
17. 已知函數(shù)與.
（1）判斷的奇偶性；
（2）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）偶函數(shù) （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇偶性定義判斷；
（2）函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程只有一個(gè)根，用換元法轉(zhuǎn)化為二次方程只有一個(gè)正根（或兩個(gè)相等正根），再根據(jù)二次方程根分布分類討論可得．
【小問1詳解】
∵的定義域?yàn)镽，
∴，∴為偶函數(shù).
【小問2詳解】
函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)
即
即方程有且只有一個(gè)實(shí)根.
令，則方程有且只有一個(gè)正根.
①當(dāng)時(shí)，，不合題意；
②當(dāng)時(shí)，若方程有兩相等正根，則，且，解得；滿足題意
③若方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則，即時(shí)，滿足題意.
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
18. 已知，函數(shù)
（1）若函數(shù)過點(diǎn)，求此時(shí)函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）將點(diǎn)代入可求出，進(jìn)而得到解析式；
（2）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在區(qū)間上單調(diào)遞增，進(jìn)而得到最大值與最小值，再由已知得到問題的等價(jià)不等式對任意恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，求最值可得出答案.
【小問1詳解】
解：因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn)，
即，
解得，
故；
【小問2詳解】
因?yàn)槭菑?fù)合函數(shù)，設(shè)，，
，在區(qū)間單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，
故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
由題意對任意恒成立，
即對任意恒成立，
即對任意恒成立，
即對任意恒成立，
設(shè)，，只需即可，
因?yàn)榈膶ΨQ軸為，圖像是開口向下的拋物線，
故在單調(diào)遞減，
故，
故.
19. 已知函數(shù)
（1）當(dāng) 時(shí)，求在區(qū)間上的值域;
（2）函數(shù)，若對任意，存在，且，使得 ，求的范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用定義法求解函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求解值域即可；
（2）根據(jù)題意判斷函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，由此可判斷，利用定義法證明當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間的最大值，最小值，分類討論的取值范圍，列不等式組即可求解.
【小問1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，
在區(qū)間上任意取兩個(gè)值，令，
則，
因?yàn)?，所以，故函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，
所以在區(qū)間上的值域?yàn)?
【小問2詳解】
解：因?yàn)閷θ我?，存在，且，使?，所以函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，
又，
在區(qū)間上任意取兩個(gè)值，令，
則，
當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不滿足題意，故，
當(dāng)時(shí)，，故，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則，
故，解得；
當(dāng)時(shí)，,在區(qū)間上單調(diào)遞減，不滿足題意；
當(dāng)，時(shí)，，對稱軸為，且，
則，
故，解得，與矛盾，故不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不滿足題意.
綜上，的范圍為.
20. 已知函數(shù)，，其中.
（1）若，，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）對于給定的實(shí)數(shù)，若函數(shù)存在最大值，
（i）求證：；
（ii）求實(shí)數(shù)的取值范圍（用表示）.
【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為.
（2）（i）證明見解析，（ii）.
【解析】
【分析】（1）由題意，寫出分段函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)絕對值的定義，分類討論研究，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.
【小問1詳解】
，時(shí)，，
當(dāng)，，對稱軸為，
單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，，對稱軸為，單調(diào)增區(qū)間為.
綜上可得，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
【小問2詳解】
（i）
由最大值為，可得，
（ii）
當(dāng)時(shí)，，
由二次函數(shù)的圖象開口向上，可得的最大值在端點(diǎn)處取得.
即有為最大值，，，
由，且，則，解得；
當(dāng)時(shí)，：
①當(dāng)時(shí)，，由的最大值為，
可得，且，，
解得；
②
當(dāng)時(shí)，，
由最大值，則，，即有.
綜上可得，，

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