1.cs15°?cs75°=( )
A. 32B. 12C. 34D. 14
2.化簡AC?BD+CD得( )
A. ABB. DAC. BCD. BA
3.“sin(α+β)=sinα+sinβ”是“α=0，β=0”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要
4.將函數(shù)f(x)=sin(2x+2π3)的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位，得到偶函數(shù)y=g(x)的圖象，則m的最小值是( )
A. 11π12B. 5π6C. 5π12D. π12
5.已知sinα? 2csα=0，則cs2α=( )
A. ?13B. 0C. 13D. 23
6.函數(shù)f(x)=sinx?cs(x+π6)的值域?yàn)? )
A. [?2,2]B. [? 3, 3]C. [?1,1]D. [? 32, 32]
7.函數(shù)f(x)=5tanx與g(x)=6csx在(0,π2)內(nèi)的交點(diǎn)為P，過P作x軸的垂線交h(x)=sinx的圖象于點(diǎn)P1，與x軸交于P2，則線段P1P2的長度是( )
A. 13B. 12C. 23D. 23
8.已知α，β均為銳角，cs(α+β)=?513，sin(β+π3)=45，則cs(α?π3)=( )
A. 3365B. ?3365C. 6365D. 3365或6365
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列說法中不正確的是( )
A. 方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線
B. 零向量是最小的向量
C. 若AB+BC+CA=0，則A，B，C一定為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)
D. 單位向量都相等
10.聲音是由物體的振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，一個(gè)聲音可以是純音或復(fù)合音，復(fù)合音由純音合成，純音的函數(shù)解析式為y=Asinωx.設(shè)聲音的函數(shù)為φ(x)，音的響度與φ(x)的最大值有關(guān)，最大值越大，響度越大；音調(diào)與φ(x)的最小正周期有關(guān)，最小正周期越大聲音越低沉.假設(shè)復(fù)合音甲的函數(shù)解析式是f(x)=sinx+12sin2x，純音乙的函數(shù)解析式是g(x)=32sinωx(ω>0)，則下列說法正確的有( )
A. 純音乙的響度與ω?zé)o關(guān)
B. 純音乙的音調(diào)與ω?zé)o關(guān)
C. 若復(fù)合音甲的音調(diào)比純音乙的音調(diào)低沉，則ω>1
D. 復(fù)合音甲的響度與純音乙的響度一樣大
11.設(shè)函數(shù)f0(x)=sinx，將函數(shù)y=f0(x)圖象上的所有的點(diǎn)向左平移π4個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=f1(x)的圖象，將函數(shù)y=f1(x)圖象上的所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來的1ω,(ω>0)倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=f2(x)的圖象，將函數(shù)y=f2(x)圖象上的所有的點(diǎn)的縱坐標(biāo)變成原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=f(x)的圖象.下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的是( )
A. 當(dāng)ω=12時(shí)，函數(shù)f(x)的最小正周期為4π
B. 當(dāng)ω=π2時(shí)，函數(shù)f(x+φ)(φ>0)是偶函數(shù)，則φ的最小值為14
C. 當(dāng)ω=π時(shí)，f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=? 2
D. 若f(x)在[0,2π]有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，ω的取值范圍是[198,238)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知tanα，tanβ是方程3x2+5x?7=0的兩個(gè)根，則tan(α+β)= ．
13.cs57°cs18°+cs33°cs108°的值是______．
14.若函數(shù)y=sinωx(ω>0)在區(qū)間[0,1]內(nèi)至少出現(xiàn)三次最大值，則ω的最小值是______．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知tan(π4+α)=12．
(1)求tanα的值；
(2)求sin2α?cs2α1+cs2α的值．
16.(本小題12分)
f(x)=2cs2x+2 3sinxcsx(x∈R)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求函數(shù)f(x)的對稱軸和對稱中心；
(3)設(shè)方程f(x)=52在區(qū)間[0,π3]內(nèi)的兩解分別為x1，x2，求cs(x1?x2)的值．
17.(本小題12分)
某地引進(jìn)新型無人機(jī)開展物流運(yùn)輸.該市現(xiàn)有相距100km的A，B兩集散點(diǎn)到海岸線l(l為直線)距離均為75 3km(如圖)，計(jì)劃在海岸線l上建造一個(gè)港口C，在A，B兩集散點(diǎn)及港口C間開展無人機(jī)物流運(yùn)輸.由于該無人機(jī)最遠(yuǎn)運(yùn)輸距離為50 3km，需在A，B，C之間設(shè)置補(bǔ)能點(diǎn)M(無人機(jī)需經(jīng)過補(bǔ)能點(diǎn)M更換電池)，且MC⊥l，∠AMB=π2.設(shè)∠MAB=θ．
(1)當(dāng)θ=π6時(shí)，求無人機(jī)從A到C運(yùn)輸航程|MA|+|MC|的值；
(2)將|MA|+|MB|+|MC|表示為關(guān)于θ的函數(shù)f(θ)，求出f(θ)的定義域，并求f(θ)的最小值．
18.(本小題12分)
設(shè)函數(shù)f(x)=|sinx|?2csx．
(1)若θ∈(0,π)，f(θ)=2，求tanθ的值；
(2)設(shè)x0∈(0,2π)，f(x)在x=x0處取得最大值，求cs2x0；
(3)關(guān)于x的方程f(x)=k+1k在區(qū)間[0,6π]上恰有12個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
19.(本小題12分)
通過兩角和的正.余弦公式和二倍角公式，可以推導(dǎo)出三倍角公式.例如：
cs3α=cs(2α+α)=cs2αcsα?sin2αsinα
=(2cs2α?1)csα?2sin2αcsα
=4cs3α?3csα
(1)根據(jù)上述過程，推導(dǎo)出sin3α關(guān)于sinα的表達(dá)式；
(2)求sin3126°+sin36°?sin366°sin18°的值；
(3)求證：sin18°是方程8x3?4x+1=0的一個(gè)根．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本題考查特殊角的三角函數(shù)求值，二倍角公式以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．
利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)求解即可．
【解答】
解：cs15°?cs75°=cs15°?sin15°=12×2cs15°?sin15°=12sin30°=14．
故選：D．
2.【答案】A
【解析】解：∵AC?BD+CD=AC+CD?BD=AD?BD=AD+DB=AB，
故選：A．
利用平面向量的線性運(yùn)算化簡即可．
本題考查了平面向量線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】B
【解析】解：由sin(α+β)=sinα+sinβ，推不出α=0，β=0，
比如α=π2，β=?π2，不是充分條件；
若α=0，β=0，則sin(α+β)=sinα+sinβ，是必要條件，
故選：B．
根據(jù)充分必要條件的定義分別判斷其充分性和必要性即可．
本題考查了充分必要條件，考查三角函數(shù)的定義，是一道基礎(chǔ)題．
4.【答案】C
【解析】解：由題意可得f(x+m)=sin[2(x+m)+2π3]=sin(2x+2m+2π3)的圖象，且該函數(shù)為偶函數(shù)，
則2m+2π3=kπ+π2(k∈Z)，解得m=kπ2?π12(k∈Z)，
因?yàn)閙>0，
則當(dāng)k=1時(shí)，m取最小值5π12．
故選：C．
求出平移后的函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的奇偶性可得出關(guān)于m的等式，即可解得m的最小正值．
本題考查了函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
5.【答案】A
【解析】解：由sinα? 2csα=0，可得tanα= 2，
故cs2α=cs2α?sin2αcs2α+sin2α=1?tan2α1+tan2α=1?21+2=?13，
故選：A．
由弦切互化可得tanα= 2，進(jìn)而由余弦的二倍角公式以及齊次式的計(jì)算即可求解．
本題主要考查二倍角公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查三角恒等變換，正弦型函數(shù)的值域，是基礎(chǔ)題．
化簡函數(shù)的表達(dá)式，即可求出函數(shù)的值域．
【解答】
解：函數(shù)f(x)=sinx?cs(x+π6)=sinx? 32csx+12sinx
=? 32csx+32sinx
= 3 32sinx?12csx
= 3sin(x?π6)，
由于x∈R，則?1?sin?(x?π6)?1，
所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇? 3, 3]．
故選B．
7.【答案】D
【解析】解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1)，則點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(x1,0)，點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(x1,sinx1)，
聯(lián)立y=6csxy=5tanx，消去y得6csx=5tanx，整理得6cs2x=5sinx，
因?yàn)閏s2x=1?sin2x，所以方程化為6sin2x+5sinx?6=0，即(3sinx?2)(2sinx+3)=0，
所以sinx=?32(舍去)或sinx=23，
即sinx1=23，所以點(diǎn)P1的縱坐標(biāo)sinx1=23，
所以線段P1P2的長為23．
故選：D．
依題意可得6csx=5tanx，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系轉(zhuǎn)化為sinx的方程，求出sinx，即可得到點(diǎn)P1的縱坐標(biāo)，從而得解．
本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查兩角和差公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，熟練掌握“湊角法”是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
先求得α+β和β+π3的范圍，根據(jù)“湊角法”有α?π3=(α+β)?(β+π3)，再結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系與兩角和差公式，進(jìn)行運(yùn)算即可得解．
【解答】
解：∵α，β均為銳角，∴α+β∈(0,π)，β+π3∈(π3,5π6)，
∴sin(α+β)>0，cs(β+π3)∈(? 32,12)，
∵cs(α+β)=?513，∴sin(α+β)=1213，
∵sin(β+π3)=45，∴cs(β+π3)=?35，
∴cs(α?π3)=cs[(α+β)?(β+π3)]=cs(α+β)cs(β+π3)+sin(α+β)sin(β+π3)=?513×(?35)+1213×45=6365，
故選：C．
9.【答案】BCD
【解析】解：方向相反的向量一定共線，A正確，
向量沒有大小，零向量是模長最小的向量，故B錯(cuò)誤，
AB+BC+CA=0，則A，B，C可能共線，此時(shí)無法構(gòu)成三角形，即A，B，C不一定為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，
由單位向量的定義可知，單位向量是長度為1的向量，但方向不一定相同，故D錯(cuò)誤．
故選：BCD．
根據(jù)共線向量，零向量，單位向量的定義即可求解．
本題主要考查向量的概念，屬于基礎(chǔ)題．
10.【答案】AC
【解析】解：音的響度與φ(x)的最大值有關(guān)，最大值越大，響度越大，響度與A有關(guān)，A正確；
音調(diào)與φ(x)的最小正周期有關(guān)，T=2πω，即音調(diào)與ω有關(guān)，B錯(cuò)誤；
C項(xiàng)，音調(diào)與φ(x)的最小正周期有關(guān)，最小正周期越大聲音越低沉，
若復(fù)合音甲的音調(diào)比純音乙的音調(diào)低沉，則復(fù)合音甲的周期比純音乙的周期大，
又復(fù)合音甲的周期為2π，則對于g(x)，需ω>1，正確；
D項(xiàng)，若f(x)=sinx+12sin2x其最大值為32，必有sinx=1，sin2x=1，這樣的x是不存在的，
則復(fù)合音甲的響度與純音乙的響度不會(huì)一樣大，錯(cuò)誤．
故選：AC．
緊扣響度與音調(diào)的含義，逐項(xiàng)判斷各項(xiàng)．
本題考查三角函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
11.【答案】ACD
【解析】解：由題意函數(shù)f0(x)=sinx，
將y=f0(x)圖象上的所有的點(diǎn)向左平移π4個(gè)單位長度，可得y=sin(x+π4)的圖象，
把所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來的1ω,(ω>0)倍(縱坐標(biāo)不變)，得y=sin(ωx+π4)的圖象，
把所有的點(diǎn)的縱坐標(biāo)變成原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，得y=2sin(ωx+π4)的圖象，
所以f(x)=2sin(ωx+π4)，
當(dāng)ω=12，則f(x)的最小正周期T=2π12=4π，故A選項(xiàng)對；
當(dāng)ω=π2時(shí)，函數(shù)f(x+φ)=2sin(π2x+π2φ+π4)(φ>0)是偶函數(shù)，
可得φ=12+2k，k∈Z，
由于φ>0，
故φ的最小值為12，故B選項(xiàng)錯(cuò)；
當(dāng)ω=π時(shí)，f(x)=2sin(πx+π4)的周期為2，且f(1)+f(2)=0，
所以f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2025)=f(2025)=f(1)=? 2，故C選項(xiàng)對；
由x∈[0,2π]，可得ωx+π4∈[π4,2πx+π4]，
又f(x)在[0,2π]有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，
所以5π≤2πx+π40，?1

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