1.已知集合A=x∈Z|x2?5x?60,P(A∪B)=P(A)+P(B)是事件A與事件B互斥的充要條件
D. 已知P(AB)>0，則P(ABC)=P(A)P(B∣A)P(C∣AB)
10.下列結論正確的是( )
A. 若隨機變量X～B9,23，則D(3X+1)=18
B. 經驗回歸方程y=3x+1相對于樣本點(2,6.5)的殘差為0.5
C. 將總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為x1，x2和s12，s22，若x1=x2，則總體方差s2=12s12+s22
D. 已知某4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為3，現(xiàn)又加入一個數(shù)據(jù)5，此時這5個數(shù)據(jù)的方差為2.4
11.如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60 °,AB=AA1=2，P為CC1的中點，點Q滿足DQ=λDC+μDD1λ∈0,1,μ∈0,1，則下列結論正確的是( )
A. 若λ+μ=13，則四面體A1BPQ的體積為定值
B. 若A1Q= 5，則點Q的軌跡為一段圓弧
C. 若?A1BQ的外心為O，則A1B?A1O為定值2
D. 若λ=1且μ=12，則存在點E在線段A1B上，使得AE+EQ的最小值為 9+2 10
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.用半徑為R的圓形鐵皮剪出一個圓心角為α的扇形，制成一個圓錐形容器．當該容器的容積最大時，扇形的圓心角α= ．
13.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象，如圖所示，其中A>0,ω>0,?π20)的左、右焦點分別為F1和F2，以Γ的實軸為直徑的圓記為C，過點F1作C的切線l，l與Γ的兩支分別交于A，B兩點，且cs∠F1BF2=35，則Γ的離心率的值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知函數(shù)fx=alnx?x?1，a∈R．
(1)討論fx的單調性；
(2)n為正整數(shù)，當a=1時，曲線y=fx在點n,fn處的切線記為Ln，直線Ln與y軸交點的縱坐標記為yn，證明：y1+y2+y3+???+yn≤n2?5n2．
16.(本小題12分)
在?ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，其中a=1，csA=2c?12b．
(1)求角B的大小；
(2)如圖，D為?ABC外一點，AB=BD，∠ABC=∠ABD，求sin∠CABsin∠CDB的最大值．
17.(本小題12分)
如圖，已知四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，AB=3A1B1，AB//CD，AD⊥AB，AB=6，CD=9，AD=6，且AA1=BB1=4，Q為線段CC1中點，
(1)求證：BQ//平面ADD1A1；
(2)若四棱錐Q?ABB1A1的體積為32 33，求平面ABB1A1與平面CDD1C1夾角的余弦值．
18.(本小題12分)
北湖生態(tài)公園有兩條散步路線，分別記為路線A和路線B.公園附近的居民經常來此散步，經過一段時間的統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，前一天選擇路線A的居民第二天選擇路線A和路線B的概率均為12；前一天選擇路線B的居民第二天選擇路線A和路線B的概率分別為34和14.已知居民第一天選擇路線A的概率為13，選擇路線B的概率為23．
(1)若有4位居民連續(xù)兩天去公園散步，記第二天選擇路線A散步的人數(shù)為Y，求Y的分布列及期望；
(2)若某居民每天都去公園散步，記第n天選擇路線A的概率為Pn．
(i)請寫出Pn+1與Pn(n∈N?)的遞推關系；
(ii)設Mn=1615Pn?9?4，求證：n4?10時x0時，fx在(0,a)上單調遞增，在(a,+∞)上單調遞減；
(2)由題設fx=lnx?x?1，則f′x=1?xx，
則fn=lnn?n?1，f′n=1n?1，
此時在(n,lnn?n?1)處的切線方程為y?(lnn?n?1)=(1n?1)(x?n)，
與y軸交點縱坐標為lnn?2；
所以y1+y2+y3+???+yn=ln1+ln2+?+lnn?2n，
對于y=x?lnx且x≥1，則y′=1?1x≥0，即y=x?lnx在[1,+∞)上單調遞增，
所以y=x?lnx≥1?ln1=1，即x?1≥lnx，
所以y1+y2+y3+???+yn≤0+1+?+(n?1)?2n=n(n?1)2?2n=n2?5n2，得證．
16.解：(1)因為a=1，所以csA=2c?a2b，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC，可得csA=2sinC?sinA2sinB，
整理可得2sinBcsA=2sinC?sinA，
又因為sinC=sinA+B=sinAcsB+sinBcsA，
化簡可得sinA=2sinAcsB，
而sinA≠0，則csB=12，又B∈0,π，則B=π3
(2)在?BCD中，由BCsin∠CDB=CDsin∠CBD可得sin∠CDB=sin23πCD，
在?ABC中，由BCsin∠CAB=ACsin∠ABC可得sin∠CAB=sinπ3AC，
所以sin∠CABsin∠CDB=CDAC，
設AB=BD=tt>0，
由余弦定理CD2=BA2+BC2?2BA?BC?cs∠CBD，
AC2=BA2+BC2?2BA?BC?cs∠CBA，
可得CD2=t2+1+t，AC2=t2+1?t，
因此CD2AC2=t2+1+tt2+1?t=1+2tt2+1?t≤1+22 t?1t?1=3，
當且僅當t=1t時，即t=1等號成立，
所以sin∠CABsin∠CDB的最大值為 3，此時AB=BD=1．
17.解：(1)證明：如圖所示：
分別延長線段AA1，BB1，CC1，DD1交于點P，將四棱臺補成四棱錐P?ABCD．
∵A1B1=13AB，∴PC1=13PC，∴CQ=QC1=C1P，
取DD1的中點E，連接QE，AE，
∵QE//CD//AB，且QE=123+9=6=AB，∴四邊形ABQE為平行四邊形．
∴BQ//AE，又AE?平面ADD1A1，BQ?平面ADD1A1，
∴BQ//平面ADD1A1；
(2)由于VQ?ABB1A1=23VC?ABB1A1，所以VC?ABB1A1=16 3，
又梯形ABB1A1面積為8 3，
設C到平面ABB1A1距離為?，則VC?ABB1A1=13S梯形ABB1A1??=16 3，得?=6．
而CD//AB，AB?平面ABB1A1，CD?平面ABB1A1，
所以CD//平面ABB1A1，
所以點C到平面ABB1A1的距離與點D到平面ABB1A1的距離相等，
而?=6=AD，所以AD⊥平面ABB1A1．
以A為坐標原點，以直線AB為x軸，以直線AD為y軸，建立空間直角坐標系，
易得?PAB為等邊三角形，所以A0,0,0，B6,0,0，C9,6,0，D0,6,0，P3,0,3 3
設平面CDD1C1的法向量為m=x,y,z，
則m?DP=x,y,z?3,?6,3 3=3x?6y+3 3z=0m?DC=x,y,z?9,0,0=9x=0,
得x=0，y= 32z，不妨取m=0, 3,2，
又平面ABB1A1的一個法向量為n=0,1,0．
則csm,n=m?nmn= 3 7?1= 217，
平面ABB1A1與平面CDD1C1夾角的余弦值為 217．
18.解：(1)記附近居民第ii=1,2天選擇路線A,B分別為事件Ai,Bi，
依題意，P(A1)=13,P(B1)=23，P(A2A1)=P(B2A1)=12，P(A2B1)=34,P(B2B1)=14，
則由全概率公式，得居民第二天選擇路線A散步的概率P(A2)=P(A1)P(A2A1)+P(B1)P(A2B1)=13×12+23×34=23；
記第二天選擇路線A散步的人數(shù)為Y，則Y～B(4,23)，
則P(Y=0)=(13)4=181，P(Y=1)=C41?23?(13)3=881，
P(Y=2)=C42?(23)2?(13)2=2481=827，P(Y=3)=C43?(23)3?13=3281，
P(Y=4)=(23)4=1681，
則Y的分布列為：
故Y的數(shù)學期望E(Y)=4×23=83．
(2)(i)當?shù)趎天選擇路線A時，第n+1天選擇路線A的概率Pn+1=12Pn；
當?shù)趎天選擇路線B時，第n+1天選擇路線A的概率Pn+1=34(1?Pn)，
所以Pn+1=12Pn+34(1?Pn)=?14Pn+34(n∈N?)．
(ii)由(i)知Pn+1=?14Pn+34(n∈N?)，則Pn+1?35=?14(Pn?35)，而P1=13，
于是數(shù)列{Pn?35}是首項為P1?35=13?35=?415，公比為?14的等比數(shù)列，
因此Pn?35=?415?(?14)n?1，即Pn=35?415?(?14)n?1，Mn=1615Pn?9?4=4n?4，
當n≥2時，MnMn+1=4n?44n+1?4=4n?44(4n?1)n4?3(141+142+143+?+14n)=n4?(1?14n)>n4?1，
所以n4?1

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