一、選擇題（共4小題）
1. 若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍為（ ）
A B. C. D.
2. 已知集合且，集合，則（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知，且，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知正實(shí)數(shù)滿足.則的最小值為（ ）
A. 3B. 9C. 4D. 8
二、多選題（共5小題）
5. 下列四個(gè)命題中正確的是（ ）
A. 方程的解集為
B. 由所確定的實(shí)數(shù)集合為
C. 集合可以化簡(jiǎn)為
D. 中含有三個(gè)元素
6. 已知實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的最大值為B. 的最小值為
C. 的最小值為6D.
7. 下列四個(gè)命題是真命題的是（ ）
A. 若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?br>B. 函數(shù)的值域?yàn)?br>C. 若函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間為內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
D. 已知在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
8. 已知集合，集合，則的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
9. 若，且，則（ ）
A. B. C. D.
三、填空題（共4小題）
10. 定義在上的函數(shù)滿足，則___________.
11. 若命題“，使得”是假命題，則的取值范圍是__________．
12. 已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)________.
13. 在ΔABC中，角所對(duì)的邊分別為，若且，則ΔABC面積的最大值為_(kāi)_______．
四、解答題（共5小題）
14. 命題：實(shí)數(shù)滿足（其中）,命題：實(shí)數(shù)滿足.
(1)若,且命題均為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
15. 已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù).
（1）確定解析式；
（2）用定義證明：在區(qū)間上是減函數(shù)；
（3）解不等式.
16. 已知函數(shù)，
（1）若函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)有意義，求實(shí)數(shù)取值范圍.
（3）若函數(shù)，函數(shù)的最小值是5，求實(shí)數(shù)的值.
17. 若，.
（1）求的取值范圍；
（2）求的取值范圍.
18. 已知關(guān)于x函數(shù)和.
（1）若，求x的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的不等式（其中）的解集，求證.
2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量
檢測(cè)試題
一、選擇題（共4小題）
1. 若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】分和討論，結(jié)合恒成立問(wèn)題分析求解即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，原不等式為：，對(duì)恒成立；
當(dāng)時(shí)，原不等式恒成立，需，解得，
綜上得．
故選：C．
2. 已知集合且，集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)4和6的最小公倍數(shù)為12，得，而，進(jìn)而逐項(xiàng)判斷兩集合之間關(guān)系即可.
【詳解】因?yàn)榍遥?和6的最小公倍數(shù)為12，
所以，
又因?yàn)?，而，但，所以A，C錯(cuò)誤；
因?yàn)榧现性貫?2的正整數(shù)倍，而為24的整數(shù)倍，
所以元素滿足是24的正整數(shù)倍時(shí)，必滿足是12的正整數(shù)倍，
則，故D正確；
對(duì)于B，若但，且，B錯(cuò)誤；
故選：D
3. 已知，且，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】用不等式的性質(zhì)判斷，不一定成立的不等式可舉反例說(shuō)明．
【詳解】由題意可知，.當(dāng)時(shí)，，，則排除A，B；
因?yàn)椋?br>所以，
所以.
因?yàn)椋?br>所以，
所以，則C一定成立；
因?yàn)?，?br>所以，
所以.
因?yàn)椋?br>所以，
所以，則排除D.
故選：C．
4. 已知正實(shí)數(shù)滿足.則的最小值為（ ）
A. 3B. 9C. 4D. 8
【正確答案】B
【分析】對(duì)不等式變形后利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【詳解】a，b均為正實(shí)數(shù)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故選：B
二、多選題（共5小題）
5. 下列四個(gè)命題中正確的是（ ）
A. 方程的解集為
B. 由所確定的實(shí)數(shù)集合為
C. 集合可以化簡(jiǎn)為
D. 中含有三個(gè)元素
【正確答案】BC
【分析】選項(xiàng)A：由二次根式和絕對(duì)值的非負(fù)性可得解集；選項(xiàng)B：由，的正負(fù)性分類可得；選項(xiàng)C：由得，故為2的倍數(shù)，取為2的非負(fù)整數(shù)倍可得；選項(xiàng)D：取為6的因數(shù)可得.
【詳解】選項(xiàng)A：方程的解為，解集為，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：由知，，
當(dāng)，同為正數(shù)時(shí)，；
當(dāng)，一正一負(fù)時(shí)，；
當(dāng)，同為負(fù)數(shù)時(shí)，，
故由所確定的實(shí)數(shù)集合為，故B正確；
選項(xiàng)C：，
，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故集合可以化簡(jiǎn)為，故C正確；
選項(xiàng)D：，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
故中含有4個(gè)元素，故D錯(cuò)誤，
故選：BC
6. 已知實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確是（ ）
A. 的最大值為B. 的最小值為
C. 的最小值為6D.
【正確答案】AD
【分析】對(duì)于A，利用基本不等式求解判斷，對(duì)于B，利用配方法求最值，對(duì)于C，利用“1”的代換結(jié)合基本不等式判斷，對(duì)于D，先分離常數(shù)，再利用的范圍判斷.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，得?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最大值為，所以A正確，
對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，，所以?br>所以，
所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，因?yàn)椋?，所?br>，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，
所以的最小值為，所以C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，因?yàn)?，所以?br>由選項(xiàng)B知，所以，所以，
所以，所以，所以，所以D正確，
故選：AD
7. 下列四個(gè)命題是真命題的是（ ）
A. 若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?br>B. 函數(shù)的值域?yàn)?br>C. 若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間為內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
D. 已知在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域即可求解A，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值，進(jìn)而判斷B，根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)分布，即可判斷C，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解D.
【詳解】由，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，故A正確；
函數(shù)的定義域?yàn)?，易知函數(shù)在,上單調(diào)遞增，
則函數(shù)的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；
若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間為內(nèi)，
則且
故即解得，故C正確，
若在單調(diào)遞增，則，
若在單調(diào)遞減，則，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是，D正確，
故選：ACD
8. 已知集合，集合，則的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】BD
【分析】由可得，再由充分不必要條件的定義即可得解.
【詳解】因?yàn)榧?，集合?br>所以等價(jià)于即，
對(duì)比選項(xiàng)，、均為的充分不必要條件.
故選：BD.
本題考查了由集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)及充分不必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.
9. 若，且，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合不等式性質(zhì)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可
【詳解】A選項(xiàng)：∵，且，
∴，可得，即，A正確；
B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，即，，由可得，C正確；
D選項(xiàng)，因?yàn)楫?dāng)，所以，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三、填空題（共4小題）
10. 定義在上的函數(shù)滿足，則___________.
【正確答案】7
【分析】分別令，，，得到，，然后計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)槎x在R上的函數(shù)滿足，
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，即，
∴.
故7.
11. 若命題“，使得”是假命題，則的取值范圍是__________．
【正確答案】
【分析】由題意知原命題的否定為真，將問(wèn)題轉(zhuǎn)換成立二次不等式在定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題了，對(duì)對(duì)稱軸的位置進(jìn)行討論即可求解.
【詳解】由題意原命題的否定“，使得”是真命題，
不妨設(shè)，其開(kāi)口向上，對(duì)稱軸方程，
則只需在上的最大值即可，我們分以下三種情形來(lái)討論：
情形一：當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)有，解得，
故此時(shí)滿足題意的實(shí)數(shù)不存在；
情形二：當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)有，只需，
解不等式組得，
故此時(shí)滿足題意的實(shí)數(shù)的范圍為；
情形三：當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
此時(shí)有，解得，
故此時(shí)滿足題意的實(shí)數(shù)不存在；
綜上所述：的取值范圍是.
故答案為.
12. 已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)________.
【正確答案】
【分析】先根據(jù)不等式的解集可得的關(guān)系及的符號(hào)，再根據(jù)一元二次不等式的解法即可得解.
【詳解】由的解集為，
可得，且方程的解為，
所以，則，
所以，
即關(guān)于的不等式的解集為.
故答案為.
13. 在ΔABC中，角所對(duì)的邊分別為，若且，則ΔABC面積的最大值為_(kāi)_______．
【正確答案】
【詳解】試題分析：由得，代入得，，即，由余弦定理得，，所以，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，此時(shí)，所以的面積的最大值為，故答案為．
考點(diǎn)：（1）正弦定理；（2）余弦定理.
【方法點(diǎn)晴】本題考查余弦定理，平方關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，以及三角形的面積公式，考查變形、化簡(jiǎn)能力，對(duì)計(jì)算能力要求較高，屬于中檔題；由得，代入化簡(jiǎn)，根據(jù)余弦定理求出，由平方關(guān)系求出，代入三角形面積公式求出表達(dá)式，由基本不等式即可求出三角形面積的最大值．
四、解答題（共5小題）
14. 命題：實(shí)數(shù)滿足（其中）命題：實(shí)數(shù)滿足.
(1)若,且命題均為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】(1);(2).
【分析】(1)先解出不等式的解集,再解出不等式的解集,根據(jù)題意,可以求出實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)根據(jù)是的充分不必要條件,可以根據(jù)集合的關(guān)系得到關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組,解這個(gè)不等式組即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】解(1)由得，又，
所以,
當(dāng)時(shí),,即為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是.
由，得解得,
即為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是.
均為真命題，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(2)由（1）知,
,
充分不必要條件,
解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
本題考查了兩個(gè)命題為真命題時(shí)求參數(shù)問(wèn)題,考查了根據(jù)命題的充分不必要條件求參數(shù)問(wèn)題,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算和分析能力.
15. 已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù).
（1）確定的解析式；
（2）用定義證明：在區(qū)間上是減函數(shù)；
（3）解不等式.
【正確答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.
【分析】
（1）利用奇函數(shù)的定義f?x=?fx，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)計(jì)算可求得實(shí)數(shù)，進(jìn)而可得出函數(shù)y=fx的解析式；
（2）任取、，且，作差，化簡(jiǎn)變形后判斷的符號(hào)，即可證得結(jié)論；
（3）利用奇函數(shù)的性質(zhì)將所求不等式變形為，再利用函數(shù)y=fx的定義域和單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由于函數(shù)是定義域?1,1上的奇函數(shù)，則f?x=?fx，
即，化簡(jiǎn)得，因此，；
（2）任取、，且，即，
則，
，，，，，，.
，，因此，函數(shù)y=fx在區(qū)間?1,1上是減函數(shù)；
（3）由（2）可知，函數(shù)y=fx是定義域?yàn)?1,1的減函數(shù)，且為奇函數(shù)，
由得，所以，解得.
因此，不等式的解集為12,1.
本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)、利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)不等式的求解，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.
16. 已知函數(shù)，
（1）若函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
（3）若函數(shù)，函數(shù)的最小值是5，求實(shí)數(shù)的值.
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根據(jù)定義域?yàn)?，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的,，即可由判別式求解，
（2）分類討論，求解的最值即可求解，
（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)求解的最小值，即可分類討論求解.
【小問(wèn)1詳解】
若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t對(duì)任意的,,
由于函數(shù)為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，
故只需要，解得
【小問(wèn)2詳解】
對(duì)有意義，則對(duì)于恒成立，
記，對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)在單調(diào)遞增，故，與矛盾，舍去，
當(dāng)，即，此時(shí)在單調(diào)遞減，故，故，
當(dāng)，即，此時(shí)，解得，故，
綜上可得：
【小問(wèn)3詳解】
，
令，則，，則為開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，
當(dāng)，此時(shí)，不符合要求，舍去，
當(dāng)，此時(shí)或（舍去）
故
17. 若，.
（1）求的取值范圍；
（2）求的取值范圍.
【正確答案】（1）；（2）.
【分析】（1）結(jié)合基本不等式整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，再根據(jù)已知的范圍即可得答案；
（2）由于，故只需解并結(jié)合已知條件求解即可.
【詳解】解：（1）因?yàn)?，?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
整理得：，解得：或，
又因?yàn)?，，所以?br>所以.
（2）因?yàn)椋?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
解可得，或（舍），
故.
又因?yàn)椋?br>所以.
18. 已知關(guān)于x的函數(shù)和.
（1）若，求x的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的不等式（其中）的解集，求證.
【正確答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）轉(zhuǎn)化為求解；
（2）討論，，，求解，判斷是否成立.
【小問(wèn)1詳解】
可得，即，
即，即，則，
則實(shí)數(shù)x的取值范圍是；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，所以?br>由（1）知，所以
（i）時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，令

對(duì)稱軸，故在上為增函數(shù)，
又，，
所以存在使得
故的解集為，
所以當(dāng)時(shí)，的解集為，其中
所以，則；
（ii）當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋院愠闪ⅲ?br>由題意知解集為，所以是方程的兩根，
所以，所以.
（iii）當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，由（i）知，
當(dāng)時(shí)，令
∴在恒成立，
故只需要考慮在的解集即可.
由，可得，
由題意m，n是的兩根，
令，其對(duì)稱軸為，
，
，
所以，
，
又在為單調(diào)減函數(shù)，
∴，∴，
綜上，.
方法點(diǎn)睛：根據(jù)二次不等式的解集確定參數(shù)：
①根據(jù)不等號(hào)的方向與解集的形式可確定開(kāi)口方向；
②解集的端點(diǎn)值為對(duì)應(yīng)二次方程的根；
③若解集為，則考慮開(kāi)口方向與.

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