一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】要是函數(shù)式子有意義，則需要，解之可得，
函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：C.
2. 已知是第二象限的角，為其終邊上的一點(diǎn)，且，則（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】依題意，，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），
則，所以.
故選：A.
3. 若扇形面積為，圓心角為，那么該扇形的弧長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由扇形的面積公式可得，解得，
所以弧長為.
故選：C.
4. 函數(shù) 的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由函數(shù)，可得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>又，所以是偶函數(shù)，
其圖象關(guān)于軸對稱，因此錯(cuò)誤；
當(dāng)0時(shí)，，所以錯(cuò)誤．
故選：.
5. 設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依題意，，，，
所以的大小關(guān)系為.
故選：C.
6. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，即，解得，
所以函數(shù)fx的定義域?yàn)椋?br>令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.
故選：B.
7. 已知函數(shù)，且，則的值為（ ）
A. B. C. D. 或1
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)，，解得（舍去）或，
此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí).
綜上所述，.
故選：B.
8. 已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上單調(diào)遞減，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
所以，又，所以，
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對稱，
所以為偶數(shù)，所以，
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且函數(shù)在和0,+∞上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以不等式可化為或或，
所以或，所以的取值范圍為.
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)得0分.
9. 下列說法正確的有（ ）
A. 命題，則命題的否定是
B. 與不是同一個(gè)函數(shù)
C. 定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是
D. “且”是“”的充分不必要條件
【答案】BD
【解析】A選項(xiàng)：命題，
則命題的否定是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：定義域：，定義域：，定義域不同，
與不是同一個(gè)函數(shù)，B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)：定義在上的奇函數(shù)在0處函數(shù)值為0，但在0處函數(shù)值為0的函數(shù)不一定是奇函數(shù)；所以他們不是充要條件的關(guān)系，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：當(dāng)且時(shí)，成立，滿足充分條件；
當(dāng)時(shí)，且不成立，例如，，不滿足必要條件；
所以“且”是“”的充分不必要條件，D選項(xiàng)正確.
故選：BD.
10. 若，，且，則下列說法正確的有（ ）
A. 的最小值是 B. 的最大值是
C. 的最小值是 D. 的最小值是
【答案】ACD
【解析】對A：因?yàn)椋?br>即（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”），故A項(xiàng)正確；
對B：因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對C：因?yàn)椋?br>所以1a2+4b2≥12（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”），故C項(xiàng)正確；
對D：由，所以，
由B知：成立，故D項(xiàng)正確.
故選：ACD.
11. 若定義在上不恒為的，對于都滿足，且當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的有（ ）
A. B. 為奇函數(shù)
C. D. 在上單調(diào)遞減
【答案】ABD
【解析】對于A：令，則，所以，故正確；
對于B：令，則，所以，
且定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，所以為奇函數(shù)，故正確；
對于CD：，則，
因?yàn)椋?，所以，所以?br>因?yàn)椋?br>且，
所以，所以，即，
因?yàn)闀r(shí)，，所以，
所以，所以在上單調(diào)遞減，故D正確；
又因?yàn)?，且，所以，故C錯(cuò)誤.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，且，則角是第__________象限角.
【答案】三
【解析】因?yàn)椋允堑诙笙藿腔蛘叩谌笙藿牵?br>或者終邊在軸的非正半軸，
當(dāng)時(shí)，則是第一象限角或者第三象限角，故是第三象限角.
13. 若函數(shù)，且的圖象恒過定點(diǎn)，則______.
【答案】
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象恒過定點(diǎn)，
所以，，所以，，
所以.
14. 已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)根x1、、、，且，則的取值范圍為______.
【答案】
【解析】作出函數(shù)y=fx和函數(shù)的圖象如下圖所示，
則兩個(gè)函數(shù)的圖象共有4個(gè)交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)分別為x1、、、，
且，
，由，得，
則有，所以，
，化簡得，，，
由于二次函數(shù)圖象對稱軸為直線，
則點(diǎn)兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以，且由圖象可知，
所以，又，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，所以.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知集合，
（1）當(dāng)時(shí)，求與；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1），
當(dāng)時(shí)，，，
所以=，.
（2）因?yàn)椋裕?br>若，，滿足題意，
若，，，
由，得，
綜上：或.
16. 已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為.
（1）求函數(shù)解析式，并求出關(guān)于的不等式的解集；
（2）求函數(shù)，的值域，并求出取得最值時(shí)對應(yīng)的的值.
解：（1）函數(shù)定義域?yàn)?，且在上單調(diào)，
由函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為，
得，即，解得，
于是；
，
解，得或；
解，即，得或，
因此或，
所以不等式的解集或.
（2）由（1）知，
，
令，由，得，，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
所以函數(shù)的值域?yàn)?，取最小值時(shí)，取最大值時(shí).
17. 為了號召并鼓勵(lì)學(xué)生利用課余時(shí)間閱讀名著，學(xué)校決定制定一個(gè)課余時(shí)間閱讀名著考核評分制度，建立一個(gè)每天得分（單位：分）與當(dāng)天閱讀時(shí)間（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系，要求如下：
（i）函數(shù)的部分圖象接近圖示；
（ii）每天閱讀時(shí)間為分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為分；
（iii）每天閱讀時(shí)間為分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為50分；
（iiii）每天最多得分不超過分.
現(xiàn)有以下三個(gè)函數(shù)模型供選擇：
①；
②；
③.
（1）請你根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)從中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型，不需要說明理由；
（2）根據(jù)你對（1）的判斷以及所給信息完善你的模型，給出函數(shù)的解析式；
（3）已知學(xué)校要求每天的得分不少于分，求每天至少閱讀多少分鐘？
解：（1）從題圖看應(yīng)選擇先快后慢增長的函數(shù)模型，故選.
（2）將，代入解析式，得到，解得，，
即
令，可得，解得x=150，
所以函數(shù)的解析式為.
（3）由，即，
即，解得，
所以每天得分不少于分，至少需要閱讀分鐘.
18. 已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù).
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；
（3）若存在，使得關(guān)于的不等式能成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1）∵是定義在上的奇函數(shù)，∴，∴，
此時(shí)，，
∴是奇函數(shù)，滿足題意，∴.
（2）是上的減函數(shù).
∵，且，
則，
∵，∴，，，∴，
即，∴是上的減函數(shù).
（3）∵是上的奇函數(shù)，
∴不等式即為，
∵是上的減函數(shù)，∴在時(shí)能成立；
令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
故在時(shí)能成立，
所以，
令，∵在上均單調(diào)遞增，
∴在上單調(diào)遞增，∴，故.
19. 對于兩個(gè)定義域相同的函數(shù)和，若存在實(shí)數(shù)m，n，使，則稱函數(shù)是由“基函數(shù)和”生成的.
（1）若是由“基函數(shù)和”生成的，求的值；
（2）試?yán)谩盎瘮?shù)和”生成一個(gè)函數(shù)，滿足為偶函數(shù)，且.
①求函數(shù)解析式；
②已知，對于上的任意值，，記，求的最大值.（注：.）
解：（1）由已知，可得，
則，
則，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.
（2）①設(shè)，
因?yàn)榕己瘮?shù)，所以，
由，可得，
整理可得，即，所以，
所以對任意恒成立，所以，
所以，
又因?yàn)椋?，所以?br>故函數(shù)的解析式為.
②由①知.
在內(nèi)任取，且，
則，
因?yàn)?br>，，
所以，，所以，
所以，即，
所以，即，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)，同理可證，函數(shù)在上是減函數(shù).
設(shè)，
則，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，有最大值，
故的最小值為.

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