1．拋物線y2＝4x的焦點到準線的距離是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知直線ax+2y+6＝0與直線x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0互相平行，則實數(shù)a的值為（ ）
A．﹣2B．2或﹣1C．2D．﹣1
3．以點A（1，2）為圓心，兩平行線x﹣y+1＝0與2x﹣2y+7＝0之間的距離為半徑的圓的方程為（ ）
A．（x+1）2+（y+2）2＝B．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝
C．（x+1）2+（y+2）2＝D．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝
4．已知曲線上一點，則曲線C在點P處的切線的傾斜角為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
5．在等差數(shù)列{an}中，已知a3+a4＝10，則數(shù)列{an}的前6項之和為（ ）
A．10B．20C．30D．40
6．已知兩定點A（﹣2，0），B（1，0），如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，點Q是圓（x﹣2）2+（y﹣3）2＝3上的動點，則|PQ|的最大值為（ ）
A．5﹣B．5+C．3+2D．3﹣2
7．斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致．如圖，一座斜拉橋共有10對拉索，在索塔兩側對稱排列，已知拉索上端相鄰兩個錯的間距|PiPi+1|（i＝1，2，3，…，9）均為4m，拉索下端相鄰兩個錨的間距|AiAi+1|、|BiBi+1|（i＝1，2，3，…，9）均為16m，最短拉索P1A1滿足|OP1|＝60m，|OA1|＝96m，若建立如圖所示的平面直角坐標系，則最長拉索P10B10所在直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
8．古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點．設橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若從橢圓右焦點F2發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上的點A和點B反射后，滿足AB⊥AD，且cs∠ABC＝，則該橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。
（多選）9．下列求導運算正確的是（ ）
A．若f（x）＝cs（2x+1），則f′（x）＝2sin（2x+1）
B．若f（x）＝e﹣2x+3，則f′（x）＝﹣2e﹣2x+3
C．若，則
D．若f（x）＝xlgx，則
（多選）10．已知橢圓，P為橢圓上任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，則下列說法正確的是（ ）
A．過點F1的直線與橢圓交于A，B兩點，則△ABF2的周長為8
B．存在點P使得PF1的長度為4
C．橢圓上存在4個不同的點P，使得PF1⊥PF2
D．△PF1F2內切圓半徑的最大值為
（多選）11．已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的正項等比數(shù)列．記，，，，則（ ）
參考公式：
A．當時，q＝2B．當D5＝2時，D7＝4
C．Fn≤1D．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應位置上。
12．已知數(shù)列{an}滿足anan+1＝2n+3，若a3＝1，則a1＝ ．
13．若圓x2+y2＝16上恰有兩個點到直線l：y＝x+a的距離為1，則正實數(shù)a的取值范圍為 ．
14．已知橢圓的任意兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”，它的圓心與橢圓的中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸長和短半軸長的平方和．如圖為橢圓及其蒙日圓O，Ω的離心率為，點A，B，C，D分別為蒙日圓O與坐標軸的交點，AB，BC，CD，AD分別與Ω相切于點E，F(xiàn)，G，H，則四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積的比值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）已知直線l：x﹣y+1＝0和圓C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0．
（1）判斷直線l與圓C的位置關系；若相交，求直線l被圓C截得的弦長；
（2）求過點（4，﹣1）且與圓C相切的直線方程．
16．（15分）已知函數(shù)f（x）＝x2．
（1）求f（x）在區(qū)間[2024，2025]上的平均變化率；
（2）求曲線y＝f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（3）求曲線y＝f（x）過點（2，0）的切線方程．
17．（15分）已知橢圓長軸長為4，且橢圓C的離心率，其左右焦點分別為F1，F(xiàn)2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設斜率為且過F2的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，求△F1PQ的面積．
18．（17分）已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an＞0且a1a3＝36，a3+a4＝9（a1+a2）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若，求數(shù)列{bn}及數(shù)列{anbn}的前n項和Tn；
（3）設，求{cn}的前n項和Pn．
19．（17分）已知F是雙曲線C：的左焦點，且C的離心率為2，焦距為4．過點F分別作斜率存在且互相垂直的直線l1，l2．若l1交C于A，B兩點，l2交C于D，E兩點，P，Q分別為AB與DE的中點，分別記△OPQ與△FPQ的面積為S1與S2．
（1）求C的方程；
（2）當l1斜率為1時，求直線PQ的方程；
（3）求證：為定值．
參考答案與試題解析
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上。
1．【解答】解：根據(jù)題意可知焦點F（1，0），準線方程x＝﹣1，
∴焦點到準線的距離是1+1＝2
故選：B．
2．【解答】解：∵直線ax+2y+6＝0與直線x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0互相平行，
∴a（a﹣1）＝2×1，即a2﹣a﹣2＝0，解得a＝2或﹣1，
當a＝2時，兩直線重合，不符合題意，
當a＝﹣1時，兩直線不重合，符合題意，
故實數(shù)a的值為﹣1．
故選：D．
3．【解答】解：∵兩平行線x﹣y+1＝0與2x﹣2y+7＝0之間的距離，
即兩平行線2x﹣2y+2＝0與2x﹣2y+7＝0之間的距離為＝，
∴以點A（1，2）為圓心，兩平行線x﹣y+1＝0與2x﹣2y+7＝0之間的距離為半徑的圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2＝，
故選：B．
4．【解答】解：y＝f（x）＝，
則f'（x）＝x，
故f'（1）＝1，
傾斜角的范圍為[0，π），
曲線C在點P處的切線的傾斜角為45°．
故選：B．
5．【解答】解：等差數(shù)列{an}中，a3+a4＝10，
則數(shù)列{an}的前6項之和為＝3（a3+a4）＝30．
故選：C．
6．【解答】解：設點P（x，y），
由|PA|＝2|PB|，得，
所以P的軌跡方程為x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4．
又點Q是圓（x﹣2）2+（y﹣3）2＝3，
如圖，
由圖可知，圓（x﹣2）2+y2＝4上，
當P為（2，﹣2）時，P到（2，3）距離最大為5，
又圓（x﹣2）2+（y﹣3）2＝3的半徑為，
∴|PQ|的最大值為．
故選：B．
7．【解答】解：|OA10|＝|OA1|+|A1A10|＝96+9×16＝240m，
|OP10|＝|OP1+|P1P10|＝60+9×4＝96m，
故B10（﹣240，0），P10（0，96），
則＝．
故選：D．
8．【解答】解：連接AF1，BF1，由題意可知A，D，F(xiàn)1三點共線，B，C，F(xiàn)1三點共線，
在△ABF1中，因為AB⊥AD，且cs∠ABC＝，可得cs∠ABF1＝，sin∠ABF1＝，
tan∠ABF1＝＝，
設|AF1|＝4k，|AB|＝3k，可得|BF1|＝5k，
由橢圓的定義可知|BF2|＝2a﹣|BF1|＝2a﹣5k，|AF2|＝|AB|﹣|BF2|＝3k﹣（2a﹣5k）＝8k﹣2a，
又因為|AF1|+|AF2|＝2a，即4k+8k﹣2a＝2a，解得k＝，
所以|AF1|＝，|AF2|＝﹣2a＝，
在Rt△AF1F2中，|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2，即（）2+（）2＝（2c）2，
可得e＝＝，
故選：D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。
9．【解答】解：對于A．f′（x）＝﹣2sin（2x+1），A錯誤；
對于B．f′（x）＝﹣2e﹣2x+3，B正確；
對于C，，C錯誤；
對于，.，D正確．
故選：BD．
10．【解答】解：已知橢圓，P為橢圓上任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，
對A，過點F1的直線與橢圓交于A，B兩點，
則△ABF2的周長為4a＝8，
故A正確；
對B，由題意可得：a＝2，b＝1，，
根據(jù)橢圓性質可得a﹣c≤|PF1|≤a+c，
即，
故|PF1|＜4，
即不存在點P，使得PF1的長度為4，
故B錯誤；
對C，根據(jù)PF1⊥PF2可得P的軌跡為以F1F2為直徑的圓，
即x2+y2＝3，不包括F1，F(xiàn)2兩點，
易得該圓與橢圓有四個交點，
即橢圓上存在4個不同的點P，使得PF1⊥PF2，
故C正確；
對D，△PF1F2的周長為，
設△PF1F2的內切圓半徑為r，
則，
故當最大時r最大，此時P為上下頂點，
，
則，
解得，
故D正確．
故選：ACD．
11．【解答】解：數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的正項等比數(shù)列．
則＝＝a1+（n﹣1），
Gn＝＝＝b1q，
＝?[（n﹣1）2+（n﹣3）2+...+（n﹣（2n﹣1））2]＝[n3﹣2n（1+3+...+2n﹣1）+4×﹣2n（n+1）+n]
＝[﹣n3+（2n3+3n2+n）﹣2n2﹣n]＝（n2﹣1），
＝，
對于A，當F3＝＝（q+1+）＝，則q＝2不是此方程的解，故A錯誤；
對于B，D5＝×24＝2d2＝2，解得d＝±1，則D7＝×48＝4，故B正確；
對于C，當n＝3時，q＞0且q≠1，可得F3＝（q++1）＞×（2+1）＝1，故C錯誤；
對于D，++...+＝（++...+）＝（1﹣+﹣+...+﹣）＝（1﹣）＜，故D正確．
故選：BD．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應位置上。
12．【解答】解：因為anan+1＝2n+3，且a3＝1，
所以a2a3＝2×2+3＝7，解得a2＝7，
因為a1a2＝2+3＝5，所以7a1＝5，解得．
故答案為：．
13．【解答】解：根據(jù)題意，圓x2+y2＝16的圓心為（0，0），半徑r＝4，
圓心到直線l的距離，
若圓上恰有2個點到直線l的距離等于1，則有3＜d＜5，
即，解可得：或，
又由a為正實數(shù)，則，即a的取值范圍為．
故答案為：．
14．【解答】解：由題可得，蒙日圓O為x2+y2＝a2+b2，
則，，
所以直線AD的方程為：，
聯(lián)立，化簡得：，
則，
解得：，，
所以
＝＝
＝
＝
＝
＝．
故答案為：．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．【解答】解：（1）由圓C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0可得，圓心C（1，﹣2），半徑，
圓心C（1，﹣2）到直線l：x﹣y+1＝0的距離為，
所以直線l與圓C相交，
直線l被圓C截得的弦長為．
（2）若過點（4，﹣1）的直線斜率不存在，則方程為x＝4，
此時圓心C（1，﹣2）到直線x＝4的距離為4﹣1＝3＝r，滿足題意；
若過點（4，﹣1）且與圓C相切的直線斜率存在，
則設切線方程為y+1＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣1＝0，
則圓心到直線kx﹣y﹣4k﹣1＝0的距離為，解得，
所以切線方程為，即4x+3y﹣13＝0，
綜上，過點（4，﹣1）且與圓C相切的直線方程為x＝4或4x+3y﹣13＝0．
16．【解答】解：（1）所求為＝＝4049；
（2）∵f（x）＝x2，∴f′（x）＝2x，
∴f（2）＝4，∴f′（2）＝4，
∴曲線y＝f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為：
y﹣4＝4（x﹣2），即4x﹣y﹣4＝0；
（3）設過點（2，0）的切線切曲線于點P（t，t2），
則曲線方程為y﹣t2＝2t（x﹣t），又其過（2，0），
∴﹣t2＝2t（2﹣t），解得t＝0或4，
∴所求切線為y＝0或y﹣16＝8（x﹣4），
即y＝0或8x﹣y﹣16＝0．
17．【解答】解：（1）由題意可知：2a＝4，則a＝2，
∵，∴，∴，
∴橢圓；
（2）由已知可得：，，
∴直線l：，
聯(lián)立方程組，消去y得，
解得x＝0或，所以P（0，1），，
所以，
又點F1到直線PQ的距離，
∴．
18．【解答】解：（1）由題意得：a3+a4＝9（a1+a2），可得（a1+a2）q2＝9（a1+a2），q2＝9，
由an＞0，可得q＝3，由a1a3＝36，可得a1a1q2＝36，可得a1＝2，
可得an＝2×3n﹣1（n∈N*）；
（2）由an＝2×3n﹣1，可得，
由，可得，可得bn＝n，
可得{anbn}的通項公式：anbn＝2n×3n﹣1，
可得：Tn＝2×30+2×2×31+2×3×32+…+2×（n﹣1）×3n﹣2+2×n×3n﹣1①，
3Tn＝2×31+2×2×32+2×3×33+…+2×（n﹣1）×3n﹣1+2×n×3n②，
①﹣②得：＝2+3n﹣3﹣2n×3n＝（1﹣2n）×3n﹣1，
可得；
（3）由可得，
可得：Pn＝
＝＝．
19．【解答】解：（1）根據(jù)2c＝4，解得c＝2，又由于離心率，因此a＝1，
因此b2＝c2﹣a2＝3，因此雙曲線C：．
（2）根據(jù)題知l1：y＝x+2，設B（x2，y2），A（x1，y1），那么，
聯(lián)立直線方程l1和雙曲線方程可得，化簡得2x2﹣4x﹣7＝0，
所以x1+x2＝2，因此y1+y2＝（x1+2）+（x2+2）＝（x1+x2）+4＝6，
所以P（1，3），
又因為直線l1，l2互相垂直，那么直線l2：y＝﹣x﹣2，設E（x4，y4），D（x3，y3），
那么，
聯(lián)立雙曲線方程和直線l2，化簡得2x2﹣4x﹣7＝0，
所以x3+x4＝2，因此y3+y4＝（﹣x3﹣2）+（﹣x4﹣2）＝﹣（x1+x2）﹣4＝﹣6，
那么Q（1，﹣3），因此PQ：x＝1．
（3）證明：根據(jù)題意可知，l1的斜率不為0，設l1：x＝my﹣2，B（x2，y2），A（x1，y1），
根據(jù)可得，（3m2﹣1）y2﹣12my+9＝0．
因此3m2﹣1≠0，根的判別式Δ＝（12m）2﹣36（3m2﹣1）＝36（m2+1）＞0，因此．
因此，因此．
同理可得：，m2≠3．
令，解得m2＝1．
當m2≠1，，m2≠3時，
直線PQ的斜率．
因此直線PQ方程為：，
化簡得：，所以為：2mx+（m2﹣1）y﹣2m＝0．
因此O到PQ的距離，
因此F到PQ的距離，
因此．
根據(jù)第二問知，當m＝±1時，，因此．題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
B
B
C
B
D
D

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