一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知傾斜角為的直線的方向向量為，則的值為（ ）
A. B. C. D. 1
2. 已知四面體OABC中，，，，E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)F在OA上，且，則（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則（ ）
A. B. C. D.
4. “”是“直線與直線平行”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
5. 在空間中，“經(jīng)過點(diǎn)，法向量為的平面的方程（即平面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式）為：”．用此方法求得平面和平面的方程，化簡(jiǎn)后的結(jié)果為和，則這兩平面所成角的余弦值為（ ）
A B. C. D.
6. 直線與圓 交于兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)的最小值為（ ）
A 1B. 2C. D. 2
7. 由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，若四邊形為正方形，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A. B.
C. D.
8. 數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線已知ΔABC的頂點(diǎn)，若其歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為
A. B. C. D.
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 在同一直角坐標(biāo)系下，直線與圓的位置可能為（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列說法中，不正確的有（ ）
A. 若，則兩條平行直線：和：之間距離小于1
B. 若直線與連接，的線段沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
C. 已知點(diǎn)，，若直線的傾斜角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
D. 若集合，滿足，則
11. 如圖，在菱形中，，沿對(duì)角線將折起，使點(diǎn)，之間的距離為，若分別為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為
B. 線段的最小值為
C. 平面平面
D. 當(dāng)分別為線段的中點(diǎn)時(shí)，與所成角的余弦值為
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知點(diǎn)在圓4外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．
13. 已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是_________．
14. 已知圓為圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且為弦AB的中點(diǎn)，，，當(dāng)A，B在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知圓.
（1）求的取值范圍；
（2）當(dāng)取最小正整數(shù)時(shí)，若點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的一條切線，切點(diǎn)為，求線段的最小值.
16. 如圖，AB是圓的直徑，平面PAC面ACB，且APAC.
（1）求證：平面；
（2）若，求直線AC與面PBC所成角的正弦值.
17. 已知直線的方程為.
（1）證明：不論為何值，直線過定點(diǎn).
（2）過（1）中點(diǎn)，且與直線垂直的直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形的面積最小時(shí)，求直線的方程.
18. 如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，平面，且，點(diǎn)在棱上（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)為中點(diǎn).
（1）若，求證：直線平面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值；
（3）是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
19. 平面直角坐標(biāo)系中，圓M經(jīng)過點(diǎn)，，.
（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)D0,1，過點(diǎn)D作直線，交圓M于PQ兩點(diǎn)，PQ不y軸上.
①過點(diǎn)D作與直線垂直的直線，交圓M于EF兩點(diǎn)，記四邊形的面積為S，求S的最大值；
②設(shè)直線OP，BQ相交于點(diǎn)N，試證明點(diǎn)N在定直線上，求出該直線方程
2024-2025學(xué)年寧夏回族自治區(qū)銀川市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)
檢測(cè)試卷
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知傾斜角為的直線的方向向量為，則的值為（ ）
A. B. C. D. 1
【正確答案】D
【分析】首先得到直線的斜率，再由方向向量求出.
【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率為，
又直線的方向向量為，所以.
故選：D
2. 已知四面體OABC中，，，，E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)F在OA上，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)空間向量的加減法進(jìn)行求解.
【詳解】解：在四面體中，
，E為OA的中點(diǎn)，
，，
所以，
故選：D
3. 已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)線面平行得出，從而即可求解
【詳解】若，則，從而，
即，解之得.
故選：A
4. “”是“直線與直線平行”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】C
【分析】充分必要條件的判斷：把兩個(gè)命題分別作為條件和結(jié)論，判定由條件能否推出結(jié)論即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，，顯然，兩直線平行，滿足充分條件；
當(dāng)與直線平行時(shí)，，則
∴或，
當(dāng)時(shí)顯然成立，當(dāng)時(shí)，，，
整理后與重合，故舍去，
∴，滿足必要條件；
∴“”是“直線與直線平行”的充要條件
故選：C
5. 在空間中，“經(jīng)過點(diǎn)，法向量為的平面的方程（即平面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式）為：”．用此方法求得平面和平面的方程，化簡(jiǎn)后的結(jié)果為和，則這兩平面所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】由定義得出兩直線的法向量，數(shù)量積公式求出法向量的夾角余弦值.
【詳解】由題意，平面和平面的法向量分別是
，，
設(shè)平面和平面的夾角為，
故選：B.
6. 直線與圓 交于兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)的最小值為（ ）
A. 1B. 2C. D. 2
【正確答案】D
【分析】先求得直線恒過定點(diǎn)，由時(shí)， 取得最小值求解.
【詳解】直線可化為，
由，解得，
所以直線恒過定點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)， 取得最小值，此時(shí)，
所以,
故選：D
7. 由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，若四邊形為正方形，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)正方形可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，求出方程即可.
【詳解】因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，?所以,
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，其方程為.
故選：B
8. 數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線已知ΔABC的頂點(diǎn)，若其歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點(diǎn)C的坐標(biāo)
【詳解】設(shè)C（m，n），由重心坐標(biāo)公式得，三角形ABC的重心為代入歐拉線方程得：整理得：m-n+4=0 ①
AB的中點(diǎn)為（1，2）， AB的中垂線方程為，
即x-2y+3=0．聯(lián)立 解得
∴△ABC的外心為（-1，1）．
則（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 ②
聯(lián)立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．
當(dāng)m=0，n=4時(shí)B，C重合，舍去．∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-4，0）．故選A
本題考查了直線方程，求直線方程的一般方法：①直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接求出直線方程．②待定系數(shù)法： 先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出假設(shè)系數(shù)，最后代入直線方程，待定系數(shù)法常適用于斜截式，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)等．
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 在同一直角坐標(biāo)系下，直線與圓的位置可能為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】AD
【分析】根據(jù)圓心的位置可確定的正負(fù)，由此可確定直線斜率的正負(fù)，進(jìn)而確定可能的圖象.
【詳解】對(duì)于ABC，由圓的圖象知圓心位于第一象限，，，
直線斜率，則A正確，BC錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由圓的圖象知圓心位于第四象限，，，
直線斜率，則D正確.
故選：AD.
10. 下列說法中，不正確的有（ ）
A. 若，則兩條平行直線：和：之間的距離小于1
B. 若直線與連接，的線段沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
C. 已知點(diǎn)，，若直線的傾斜角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
D. 若集合，滿足，則
【正確答案】ABD
【分析】利用特殊值判斷A，求出直線過定點(diǎn)，再求出，，即可求出的范圍，從而判斷B，利用斜率公式判斷C，首先求出集合、的表示的幾何意義，再分兩直線平行和直線過點(diǎn)兩種情況討論，即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A：直線：，即，
因?yàn)?，所以，即?br>則與的距離，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：直線，即，所以直線恒過點(diǎn)，
又，，
因?yàn)橹本€與連接，的線段沒有公共點(diǎn)，
所以，解得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：因?yàn)辄c(diǎn)，，且直線的傾斜角為銳角，
所以，解得，故C正確；
對(duì)于D：由，得 ，
所以集合表示斜率為的直線上的點(diǎn)（除去點(diǎn)），
由，得，令，解得，
所以集合表示過點(diǎn)且斜率為的直線，
若，即，此時(shí)兩直線平行，滿足；
若直線過點(diǎn)，
則，解得，此時(shí)，
且，符合題意；
所以或，故D錯(cuò)誤
故選：ABD
11. 如圖，在菱形中，，沿對(duì)角線將折起，使點(diǎn)，之間的距離為，若分別為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為
B. 線段的最小值為
C. 平面平面
D. 當(dāng)分別為線段的中點(diǎn)時(shí)，與所成角的余弦值為
【正確答案】BCD
【分析】先證明出平面，利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面，即可判斷C；以為原點(diǎn)，分別為軸建立坐標(biāo)系，用向量法判斷選項(xiàng)A、B、D.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接.
在菱形中，，所以.
因?yàn)?，所以，所?
又易知，
因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面，故C正確；
以為原點(diǎn)，分別為軸建立坐標(biāo)系，
則，
當(dāng)時(shí)，，
，
所以點(diǎn)D到直線的距離為
，故A錯(cuò)誤；
設(shè)，由得，，
當(dāng)時(shí)，，故B正確；
當(dāng)分別為線段的中點(diǎn)時(shí)，
設(shè)與所成的角為，
所以與所成角的余弦值為，故D正確；
故選：BCD
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知點(diǎn)在圓4的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．
【正確答案】
【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓外列不等式求參數(shù)范圍即可.
【詳解】由題意，即，可得或.
所以的取值范圍為.
故
13. 已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是_________．
【正確答案】
【分析】將的范圍轉(zhuǎn)化為線段上的點(diǎn)與構(gòu)成的直線的斜率的范圍，然后求斜率即可.
【詳解】
方程，令，則，令，則，
設(shè)點(diǎn)，，
所以可以表示線段上的點(diǎn)與構(gòu)成的直線的斜率，
，，
所以的取值范圍為.
故答案為.
14. 已知圓為圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且為弦AB的中點(diǎn)，，，當(dāng)A，B在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.
【正確答案】
【分析】由題知的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，且是以為圓心的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，若始終有為銳角，只需要兩圓相離即可，故得到圓心距和半徑和的不等關(guān)系，求解即可.
【詳解】
如圖，連接，則 ，
所以點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，
設(shè)的中點(diǎn)為，則 ，且 ，
因?yàn)楫?dāng)A，B在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有為銳角，
所以以為圓心，1為半徑的圓與以為圓心，2為半徑的圓相離，
故 ，解得 或 ，即
故
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知圓.
（1）求的取值范圍；
（2）當(dāng)取最小正整數(shù)時(shí)，若點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的一條切線，切點(diǎn)為，求線段的最小值.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合方程表示圓的條件，列出方程，即可求解；
（2）由（1）得到圓心，半徑為，得到，結(jié)合圓心到直線的距離，即可求解.
【小問1詳解】
由方程表示圓，則滿足，
即，解得或，
所以的取值范圍是.
【小問2詳解】
由（1），因?yàn)槿∽钚≌麛?shù)，所以，
所以圓，可得圓心，半徑為，
又因?yàn)椋?br>所以取最小值時(shí)PC取最小值，而PC取最小值，
即為圓心到直線的距離，可得，
所以.
16. 如圖，AB是圓的直徑，平面PAC面ACB，且APAC.
（1）求證：平面；
（2）若，求直線AC與面PBC所成角的正弦值.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合直徑的性質(zhì)、線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)槠矫鍼AC面ACB，且APAC.，平面PAC面ACB ，平面PAC，
所以PA面ACB，又因?yàn)槠矫鍼BC，
所以PA，又因?yàn)锳B是圓的直徑，所以，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面；
【小問2詳解】
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，所以?br>所以，則，
設(shè)平面PBC的法向量為，則，
而，設(shè)直線AC與面PBC所成角為，
則，
所以直線AC與面PBC所成角的正弦值為.
17. 已知直線的方程為.
（1）證明：不論為何值，直線過定點(diǎn).
（2）過（1）中點(diǎn)，且與直線垂直的直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形的面積最小時(shí)，求直線的方程.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）.
【分析】（1）將直線方程改寫成形式，解方程組即可.
（2）設(shè)出與直線垂直方程，分別令、求出相對(duì)于的值、值，結(jié)合三角形面積公式及基本不等式即可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
證明：直線的方程，
可整理為.
由，解得，
所以直線過定點(diǎn).
小問2詳解】
由（1）知，直線過定點(diǎn)，
設(shè)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，
令，則.
令，則.
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即.
18. 如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，平面，且，點(diǎn)在棱上（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)為中點(diǎn).
（1）若，求證：直線平面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值；
（3）是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【正確答案】（1）證明過程見詳解
（2）
（3）存在，，理由見詳解.
【分析】(1) 取的一個(gè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，利用平行的傳遞性得到，進(jìn)而得到四邊形為平行四邊形，則，再利用線面平行的判定定理即可求解；
(2)根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，代入向量的夾角公式即可求解；
(3)假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)（2）中平面法向量以及題中與平面所成角的正弦值為，求出即可求解.
【小問1詳解】
取的一個(gè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，
因?yàn)?，所以?
又因?yàn)?，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，
所以且，則四邊形為平行四邊形，
所以，平面，平面，所以直線平面.
【小問2詳解】
如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，又為的中點(diǎn)，則，
所以，,
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，
所以，
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
【小問3詳解】
存在，.
假設(shè)存在點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，設(shè)，即，，
由（2）得，且平面法向量，
，則，
所以，因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為，
則，
整理得：，解得：或（舍去），
故存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為，此時(shí).
19. 平面直角坐標(biāo)系中，圓M經(jīng)過點(diǎn)，，.
（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)D0,1，過點(diǎn)D作直線，交圓M于PQ兩點(diǎn)，PQ不在y軸上.
①過點(diǎn)D作與直線垂直的直線，交圓M于EF兩點(diǎn)，記四邊形的面積為S，求S的最大值；
②設(shè)直線OP，BQ相交于點(diǎn)N，試證明點(diǎn)N在定直線上，求出該直線方程.
【正確答案】（1）
（2）①S的最大值為7；②證明見解析，點(diǎn)N在定直線上.
【分析】（1）設(shè)圓M的方程為，利用待定系數(shù)法求出，即可得解；
（2）①設(shè)直線的方程為，分和兩種情況討論，利用圓的弦長(zhǎng)公式分別求出，再根據(jù)即可得出答案；
②設(shè)，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得，求出直線OP，BQ的方程，聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
解：設(shè)圓M的方程為，
則，解得，
所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問2詳解】
設(shè)直線的方程為，即，
則圓心0,2到直線的距離，
所以，
①若，則直線斜率不存在，
則，，則，
若，則直線得方程為，即，
則圓心0,2到直線的距離，
所以，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，
綜上所述，因?yàn)椋許的最大值為7；
②設(shè)，
聯(lián)立，消得，
則，
直線的方程為，
直線的方程為，
聯(lián)立，解得，
則，
所以，
所以點(diǎn)N在定直線上.
方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；
（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明

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