例 6 如圖，鐵路路基的橫斷面是四邊形 ABCD. AD∥BC，路基頂寬 BC = 9.8 m，路基高 BE = 5.8 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1: 1.6，斜坡 CD 的坡度 i′ = 1: 2.5，求鐵路路基下底寬 AD 的值（精確到 0.1 m）與斜坡的坡角 α 和 β (精確到 1°)的值.
解 過點(diǎn) C 作 CF ⊥AD 于點(diǎn) F，得
CF = BE，EF = BC，∠A = α，∠D = β.
∴AE = 1.6×5.8 = 9.28（m）， DF = 2.5×5.8 = 14.5（m）. AD = AE + EF + DF = 9.28 + 9.8 + 14.5 ≈ 33.6（m）
α ≈ 32°，β ≈ 22°.
答：鐵路路基下底寬為 33.6 m，斜坡的坡角分別為 32°和 22°
如圖，水庫大壩的橫斷面是四邊形 ABCD，BC ∥AD，壩頂寬為 6 m，壩高為 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1∶3，斜坡 CD 的坡度 i′ = 1∶2.5，求：（1）斜坡 AB 的坡角 α 的值 (精確到 1°)；（2）壩底寬 AD 和斜坡 AB 的值 (精確到 0.1 m).
（2）過點(diǎn) B 作 BE ⊥AD 于點(diǎn) E，過點(diǎn) C 作 CF ⊥AD 于點(diǎn) F，得 BE = CF = 23 m，BC = EF = 6 m.
∴AE = 3×23 = 69（m）， DF = 2.5×23 = 57.5（m）. AD = AE + EF + DF = 69 + 6 + 57.5 = 132.5（m）
例 7 已知：在直線 y = kx + b 上有任意兩點(diǎn) P1（x1，y1），P2（x2，y2），這條直線向上方向與 x 軸正方向所夾的銳角為 α.
證明 由 α 是銳角，可知直線 y = kx + b 是上升的，即函數(shù) y = kx + b 的值隨 x 值的增大而增大.
如圖，設(shè) x1＜ x2，則 y1＜y2. 過點(diǎn) P1，P2 作 x 軸的垂線，垂足分別為 Q1， Q2，再過點(diǎn) P1 作 x 軸的平行線P1R 交 P2Q2 于點(diǎn) R，得
∠P2P1R = α.
∵ P1，P2 都在直線 y = kx + b上，∴ y1 = kx1 + b， ① y2 = kx2 + b. ②
y2 – y1 = k（x2 – x1）
求直線 y = x – 5 的正方向與 x 軸正方向所夾的銳角.
1. 如圖，燕尾槽的橫斷面是四邊形 ABCD，AD∥BC，其中 ∠B = ∠C = 55°，外口寬 AD = 180 mm，燕尾槽的深度 AE = 70 mm，求它的里口寬 BC 的值（精確到 1 mm）.
解 過點(diǎn) D 作 DF ⊥BC 于點(diǎn) F， ∴AD = EF，BE = CF.
∴ BC = BE + EF + FC ≈ 49 + 180 + 49 ≈ 278（mm）
2. 分別求直線 y = x + 2 的向上方向與 x 軸正方向和 y 軸正方向所夾的銳角。
3. 如圖，已知直線 AB 與 x 軸，y 軸分別相交于 A、B 兩點(diǎn)，它的解析式為 ，角 α 的一邊為 OA，另一邊為 OP⊥AB 于 P，求cs α 的值.

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初中數(shù)學(xué)人教版（2024）九年級下冊電子課本

28.2 解直角三角形及其應(yīng)用

版本： 人教版（2024）

年級： 九年級下冊

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