1．（5分）（2023春·浙江·高三開學考試）復數(shù)z1=-12-32i，復數(shù)z2滿足z1?z2=1，則下列關于z2的說法錯誤的是（ ）
A．z2=-12+32iB．z2=1
C．z2的虛部為32iD．z2在復平面內(nèi)對應的點在第二象限
【解題思路】由已知求出z2=-12+32i，根據(jù)復數(shù)的概念，即可判斷各項.
【解答過程】對于A，由已知可得，z2=1z1=1-1+3i2 =-21+3i=-21-3i1+3i1-3i
=-21-3i4 =-12+32i，故A正確.
對于B，因為z2=-12+32i，所以z2=-122+322=1，故B正確；
對于C，根據(jù)復數(shù)的概念可知z2的虛部為32，故C錯誤；
對于D，根據(jù)復數(shù)的概念可知z2在復平面內(nèi)對應的點為-12,32，故D正確.
故選：C.
2．（5分）（2023秋·北京·高一期末）經(jīng)過簡單隨機抽樣獲得的樣本數(shù)據(jù)為x1,x2,?,xn，且數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn的平均數(shù)為x，方差為s2，則下列說法正確的是（ ）
A．若數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn，方差s2=0，則所有的數(shù)據(jù)xii=1,2,?,n都為0
B．若數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn，的平均數(shù)為x=3，則yi=2xi+1i=1,2,?,n的平均數(shù)為6
C．若數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn，的方差為s2=3，則yi=2xi+1i=1,2,?,n的方差為12
D．若數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn，的25%分位數(shù)為90，則可以估計總體中有至少有75%的數(shù)據(jù)不大于90
【解題思路】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差，百分位數(shù)的性質(zhì)逐項進行檢驗即可判斷.
【解答過程】對于A，數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn的方差s2=0時，說明所有的數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn都相等，但不一定為0，故選項A錯誤；
對于B，數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn，的平均數(shù)為x=3，數(shù)據(jù)yi=2xi+1i=1,2,?,n的平均數(shù)為2×3+1=7，故選項B錯誤；
對于C，數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn的方差為s2=3，數(shù)據(jù)yi=2xi+1i=1,2,?,n的方差為22×3=12，故選項C正確；
對于D，數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn，的25%分位數(shù)為90，則可以估計總體中有至少有75%的數(shù)據(jù)大于90，故選項D錯誤，
故選：C.
3．（5分）（2023·全國·高三專題練習）已知事件A，B，C的概率均不為0，則PA=PB的充要條件是（ ）
A．PA∪B=PA+PBB．PA∪C=PB∪C
C．PAB=PABD．PAC=PBC
【解題思路】根據(jù)和事件的概率公式判斷A、B，根據(jù)積事件的概率公式判斷C、D.
【解答過程】解：對于A：因為PA∪B=PA+PB-PA∩B，由PA∪B=PA+PB，
只能得到PA∩B=0，并不能得到PA=PB，故A錯誤；
對于B：因為PA∪C=PA+PC-PA∩C，
PB∪C=PB+PC-PB∩C，
由PA∪C=PB∪C，只能得到PA-PA∩C=PB-PB∩C，
由于不能確定A，B，C是否相互獨立，故無法確定PA=PB，故B錯誤；
對于C：因為PAB=PA-PAB，PAB=PB-PAB，
又PAB=PAB，所以PA=PB，故C正確；
對于D：由于不能確定A，B，C是否相互獨立，
若A，B，C相互獨立，則PAC=PAPC，PBC=PBPC，
則由PAC=PBC可得PA=PB，
故由PAC=PBC無法確定PA=PB，故D錯誤；
故選：C.
4．（5分）（2022·高二單元測試）某社團開展“建黨100周年主題活動——學黨史知識競賽”，甲、乙兩人能得滿分的概率分別為34、23，兩人能否獲得滿分相互獨立，則下列說法正確的是（ ）．
A．兩人均獲得滿分的概率為12
B．兩人至少一人獲得滿分的概率為712
C．兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為34
D．兩人至多一人獲得滿分的概率為1112
【解題思路】利用獨立事件同時發(fā)生的概率公式和對立事件概率公式計算各自的概率，進而作出判定
【解答過程】解：∵甲、乙兩人能得滿分的概率分別為34、23，
兩人能否獲得滿分相互獨立，分別記甲，乙能得滿分的事件為M，N，
則PM=34，PN=23，M，N相互獨立，
∴兩人均獲得滿分的概率為PM∩N=PMPN=34×23=12，故A正確；
兩人至少一人獲得滿分的概率為1-PM∩N=1-1-PM1-PN =1-1-341-23=1112，故B錯誤；
兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為PM∩N=PM1-PN=34×1-23=14，故C錯誤；
兩人至多一人獲得滿分的概率為1-PM∩N=1-12=12，故D錯誤．
故選：A．
5．（5分）（2023·全國·高三專題練習）對于給定的△ABC，其外心為O，重心為G，垂心為H，則下列結論不正確的是（ ）
A．AO?AB=12AB2
B．OA?OB=OA?OC=OB?OC
C．過點G的直線l交AB、AC于E、F，若AE=λAB，AF=μAC，則1λ+1μ=3
D．AH與ABABcsB+ACACcsC共線
【解題思路】根據(jù)外心在AB上的射影是AB的中點，利用向量的數(shù)量積的定義可以證明A正確；利用向量的數(shù)量積的運算法則可以OA?OB=OA?OC即OA⊥BC，在一般三角形中易知這是不一定正確的，由此可判定B錯誤；利用三角形中線的定義，線性運算和平面向量基本定理中的推論可以證明C正確；利用向量的數(shù)量積運算和向量垂直的條件可以判定ABABcsB+ACACcsC與BC垂直，從而說明D正確.
【解答過程】如圖，設AB中點為M，則OM⊥AB，∴AOcs∠OAM=AM，
∴AO·AB=AOABcs∠OAB=ABAOcs∠OAB=AB?AB2=12AB2，故A正確；
OA·OB=OA·OC等價于OA·OB-OC=0等價于OA·CB=0，即OA⊥BC，
對于一般三角形而言，O是外心，OA不一定與BC垂直，比如直角三角形ABC中，
若B為直角頂點，則O為斜邊AC的中點，OA與BC不垂直，故B錯誤；
設BC的中點為D，
則AG=23AD=13AB+AC=131λAE+1μAF=13λAE+13μAF，
∵E，F(xiàn)，G三點共線，∴13λ+13μ=1，即1λ+1μ=3，故C正確；
ABABcsB+ACACcsC?BC=AB?BCABcsB+AC?BCACcsC
=ABBCcsπ-BABcsB+ACBCcsCACcsC =-BC+BC=0，
∴ ABABcsB+ACACcsC與BC垂直，又∵AH⊥BC，
∴ABABcsB+ACACcsC與AH共線，故D正確.
故選：B.
6．（5分）（2023·新疆·統(tǒng)考一模）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1EEB1=BFFB1=CGGC1=D1HHC1=2，則下列說法錯誤的是（ ）
A．BD1//GH
B．BD與EF異面
C．EH//平面ABCD
D．平面EFGH//平面A1BCD1
【解題思路】根據(jù)題目信息和相似比可知，BD1不可能平行于GH，BD與EF異面，可得A錯誤，B正確；再利用線面平行和面面平行的判定定理即可證明CD正確.
【解答過程】如下圖所示，連接A1B,D1C,BD,BD1，
根據(jù)題意，由A1EEB1=BFFB1=2可得，EF//A1B，且EFA1B=B1FBB1=B1EA1B1=13；
同理可得GH//CD1,FG//BC，且GHCD1=13；
由GH//CD1，而CD1∩BD1=D1，所以BD1不可能平行于GH，即A錯誤；
易知BD與EF不平行，且不相交，由異面直線定義可知，BD與EF異面，即B正確；
在長方體ABCD-A1B1C1D1中A1B//CD1,A1B=CD1，
所以EF//GH,EF=GH，即四邊形EFGH為平行四邊形；
所以EH//FG，又BC//FG，所以EF//BC；
EH?平面ABCD，BC?平面ABCD，
所以EH//平面ABCD，即C正確；
由EF//A1B，EF?平面A1BCD1，A1B?平面A1BCD1，所以EF//平面A1BCD1；
又BC//FG，F(xiàn)G?平面A1BCD1，BC?平面A1BCD1，所以FG//平面A1BCD1；
又EF∩FG=F，且FG,EF?平面EFGH，
所以平面EFGH//平面A1BCD1，即D正確.
故選：A.
7．（2023春·河南·高三開學考試）在△ABC中，若內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC的平分線交AC于點D，BD=1且b=2，則△ABC周長的最小值為（ ）
A．7B．22C．2+22D．4
【解題思路】先利用面積相等與三角形面積公式，結合正弦的倍角公式求得2accs∠ABC2=c+a，再利用余弦定理的推論與余弦的倍角公式得到ac的關系式，從而利用基本不等式求得a+c≥22，由此得解.
【解答過程】由題可得，S△ABC=S△ABD+S△BCD，即12acsin∠ABC=12BD?csin∠ABC2+12BD?asin∠ABC2，
又BD=1，所以2acsin∠ABC=csin∠ABC2+asin∠ABC2，則2acsin∠ABC2cs∠ABC2=c+asin∠ABC2，
因為0

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