1．（5分）（2022春·江蘇南通·高二階段練習(xí)）若Am-12=6Cm4，則m=（ ）
A．7B．6C．5D．4
【解題思路】根據(jù)組合數(shù)、排列數(shù)公式得到方程，解得即可.
【解答過程】解：因?yàn)锳m-12=6Cm4，所以m-1m-2=6×m?m-1?m-2?m-34×3×2×1，且m≥4，
解得m=4或m=-1（舍去）；
故選：D.
2．（5分）（2022秋·吉林四平·高二階段練習(xí)）給如圖所示的5塊區(qū)域A，B，C，D，E涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，有公共邊的區(qū)域使用不同的顏色，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠、橙5種顏色可供選擇，則不同的涂色方法有（ ）
A．120種B．720種C．840種D．960種
【解題思路】依次給區(qū)域A,B,D,C,E涂色，求出每一步的種數(shù)，由乘法分步原理即得解.
【解答過程】解：A有5種顏色可選，B有4種顏色可選，D有3種顏色可選，C有4種顏色可選，E有4種顏色可選，故共有5×4×3×4×4＝960種不同的涂色方法．
故選：D．
3．（5分）（2022秋·浙江寧波·高二期中）x-2y2x-y5的展開式中的x3y3系數(shù)為（ ）
A．-200B．-120C．120D．200
【解題思路】由題意首先確定(2x-y)5展開式的通項(xiàng)公式，再采用分類討論法即可確定x3y3的系數(shù).
【解答過程】(2x-y)5展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C5r(2x)5-r-yr=25-rC5rx5-r-yr，
當(dāng)r=3時，T4=25-3C53x5-3-y3=-40x2y3，此時只需乘以第一個因式x-2y中的x即可，得到-40x3y3；
當(dāng)r=2時，T3=25-2C52x5-2-y2=80x3y2，此時只需乘以第一個因式x-2y中的-2y即可，得到-160x3y3；
據(jù)此可得：x3y3的系數(shù)為-40-160=-200.
故選：A.
4．（5分）（2022·高二課時練習(xí)）某旅行社共有5名專業(yè)導(dǎo)游，其中3人會英語，3人會日語，若在同一天要接待3個不同的外國旅游團(tuán)，其中有2個旅游團(tuán)要安排會英語的導(dǎo)游，1個旅游團(tuán)要安排會日語的導(dǎo)游，則不同的安排方法種數(shù)有（ ）
A．12B．13C．14D．15
【解題思路】分析可知有1名導(dǎo)游既會英語又會日語，記甲為既會英語又會日語的導(dǎo)游，按照甲是否被安排到需要會英語的旅游團(tuán)可分為兩類，先確定甲所安排的旅行團(tuán)，再確定其他團(tuán)的人員，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.
【解答過程】由題意知有1名導(dǎo)游既會英語又會日語，記甲為既會英語又會日語的導(dǎo)游，按照甲是否被安排到需要會英語的旅游團(tuán)可分為兩類：
第一類，甲被安排到需要會英語的旅游團(tuán)，則可分兩步進(jìn)行：
第一步，從會英語的另外2人中選出1人，有2種選法，將選出的人和甲安排到2個需要會英語的旅游團(tuán)，有2種安排方法，所以有2×2=4種安排方法；
第二步，從會日語的另外2人中選出1人安排到需要會日語的旅游團(tuán)，共2種選法.
故此時共有4×2=8種安排方法；
第二類，甲沒有被安排到需要會英語的旅游團(tuán)，則可分兩步進(jìn)行：
第一步，將會英語的另外2人安排到需要會英語的旅游團(tuán)，有2種安排方法；
第二步，從會日語的3人（包括甲）中選出1人安排到需要會日語的旅游團(tuán)，有3種選法.
故此時共有2×3=6種選法．
綜上，不同的安排方法種數(shù)為8+6=14．
故選：C．
5．（5分）（2022·貴州貴陽·模擬預(yù)測）2022年9月3日貴陽市新冠疫情暴發(fā)以來，某住宿制中學(xué)為做好疫情防控工作，組織6名教師組成志愿者小組，分配到高中三個年級教學(xué)樓樓門口配合醫(yī)生給學(xué)生做核酸.由于高三年級學(xué)生人數(shù)較多，要求高三教學(xué)樓志愿者人數(shù)均不少于另外兩棟教學(xué)樓志愿者人數(shù)，若每棟教學(xué)樓門至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1個樓門進(jìn)行服務(wù)，則不同的分配方法種數(shù)為（ ）
A．240B．150C．690D．180
【解題思路】利用分類計(jì)數(shù)原理及排列組合的意義，對高三志愿者人數(shù)進(jìn)行分類討論即可.
【解答過程】第一種：當(dāng)高三的志愿者有3人時，其他兩個年級有1個年級1人，有1個年級2人，則有C63C32A22=120種；
第二種：當(dāng)高三的志愿者有2人時，其他兩個年級也分別有2人，則有C62C42C22=90種；
第三種：當(dāng)高三的志愿者有4人時，其他兩個年級分別有1人，則有C64A22=30種，
所以不同的分配方法有：120+90+30=240種，
故選：A.
6．（5分）（2022·高二課時練習(xí)）已知(1-2x)2021=a0+a1x+a2x2+?+a2021x2021，下列命題中，不正確的是（ ）
A．展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為22021
B．展開式中所有奇次項(xiàng)系數(shù)的和為32021+12
C．展開式中所有偶次項(xiàng)系數(shù)的和為32021-12
D．a(chǎn)12+a222+a323+?+a202122021=-1
【解題思路】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理及性質(zhì)，結(jié)合賦值法逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷作答.
【解答過程】對于A，二項(xiàng)式(1-2x)2021展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為22021，A正確；
對于B，令f(x)=(1-2x)2021，則a0+a1+a2+a3+?+a2021=f(1)=-1，
a0-a1+a2-a3+?-a2021=f(-1)=32021，
所以展開式中所有奇次項(xiàng)系數(shù)的和為f(1)-f(-1)2=-32021+12，B不正確；
對于C，由選項(xiàng)B知，展開式中所有偶次項(xiàng)系數(shù)的和為f(1)+f(-1)2=32021-12，C正確；
對于D，由選項(xiàng)B知，a0=f(0)=1，a12+a222+a323+?+a202122021=f(12)-a0=-1，D正確.
故選：B.
7．（5分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，以下說法正確的是（ ）
A．每人都安排一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為54
B．每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為A54C41
C．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為(C53C21+C52C32)A33
D．每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是C31C42A33+C32A33
【解題思路】對于選項(xiàng)A ，每人有4種安排法，故有45種；對于選項(xiàng)B ，5名同學(xué)中有兩人工作相同，先選人再安排；對于選項(xiàng)C，先分組再安排；對于選項(xiàng)D ，以司機(jī)人數(shù)作為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論即可.
【解答過程】解：①每人都安排一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為45，即選項(xiàng)A錯誤，
②每項(xiàng)工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為C52A44，即選項(xiàng)B錯誤，
③如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為：（C53C21A22+C52C32A22）A33，即選項(xiàng)C錯誤，
④分兩種情況：第一種，安排一人當(dāng)司機(jī)，從丙、丁、戊選一人當(dāng)司機(jī)有C31 ,從余下四人中安排三個崗位C42C21C11A33A22，
故有C31C42C21C11A33A22=C31C42A33；第二種情況，安排兩人當(dāng)司機(jī)，從丙、丁、戊選兩人當(dāng)司機(jī)有C32 ,
從余下三人中安排三個崗位A33，故有C32A33；所以每項(xiàng)工作至少有一人參加，
甲、乙不會開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是C31C42A33+C32A33，
即選項(xiàng)D正確，
故選：D．
8．（5分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)杰出的研究成果之一.如圖所示，由楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為1，1，2，3，5，8，13，?，則下列選項(xiàng)不正確的是（ ）
A．在第9條斜線上，各數(shù)之和為55
B．在第nn≥5條斜線上，各數(shù)自左往右先增大后減小
C．在第n條斜線上，共有2n+1--1n4個數(shù)
D．在第11條斜線上，最大的數(shù)是C73
【解題思路】根據(jù)從上往下每條線上各數(shù)之和依次為：1，1，2，3，5，8，13，…，得到數(shù)列規(guī)律為an+an+1=an+2判斷A選項(xiàng)，再根據(jù)楊輝三角得到第n條斜線上的數(shù)為：Cn-10,Cn-21,Cn-32,Cn-43,Cn-54,?,Cn-kk-1,Cn-k+1k,?，進(jìn)而判斷BCD.
【解答過程】從上往下每條線上各數(shù)之和依次為：1，1，2，3，5，8，13，?，
其規(guī)律是an+an+1=an+2，
所以第9條斜線上各數(shù)之和為13+21=34，故A錯誤；
第1條斜線上的數(shù)：C00，
第2條斜線上的數(shù)：C11；
第3條斜線上的數(shù)：C20,C11，
第4條斜線上的數(shù)：C30,C21，
第5條斜線上的數(shù)：C40,C31,C22，
第6條斜線的數(shù)：C50,C41,C32，
……，
依此規(guī)律，第n條斜線上的數(shù)為：Cn-10,Cn-21,Cn-32,Cn-43,Cn-54,?,Cn-kk-1,Cn-k+1k,?，
在第11條斜線上的數(shù)為C100,C91,C82,C73,C64,C55，最大的數(shù)是C73，
由上面的規(guī)律可知：n為奇數(shù)時，第n條斜線上共有n+12=2n+24個數(shù)；
n為偶數(shù)時，第n條斜線上共有共有n2=2n4個數(shù)，
所以第n條斜線上共2n+1--1n4，故C正確；
由上述每條斜線的變化規(guī)律可知：在第n(n?5)條斜線上，各數(shù)自左往右先增大后減小，故B正確.
故選：A.
二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
9．（5分）（2022春·廣東江門·高二期中）已知1-2x7=a0+a1x+a2x2+?+a7x7，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為128B．式子a1+a2+?+a7的值為2
C．式子a1+a3+a5+a7的值為－1094D．式子a0+a2+a4+a6的值為1093
【解題思路】由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可判斷A；用賦值法令x=1，x=-1，x=0可判斷BCD
【解答過程】對于A：二項(xiàng)式1-2x7的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為27=128，故A正確；
對于BCD：令x=1，則1-27=a0+a1+a2+?+a7，
即a0+a1+a2+?+a7=-1，
令x=-1，則1+27=a0-a1+a2-?+a6-a7，
即a0-a1+a2-?+a6-a7=37=2187，
令x=0，則a0=1，
所以a1+a2+?+a7=-2，故B錯誤；
由a0+a1+a2+?+a7=-1a0-a1+a2-?+a6-a7=2187，
解得a1+a3+a5+a7=-1094，a0+a2+a4+a6=1093，故C正確，D正確；
故選：ACD.
10．（5分）（2022春·江蘇連云港·高二期中）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．k=0n2kCnk=3n(n∈N*)
B．多項(xiàng)式1+2x-x6展開式中x3的系數(shù)為40
C．若(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+?+a10x10,x∈R，則展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為1
D．38被5除所得的余數(shù)是1
【解題思路】利用二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式展開式各項(xiàng)系數(shù)和，依次判斷各項(xiàng)正誤.
【解答過程】解：因?yàn)閗=0n2kCnk=Cn0?20+Cn1?21+Cn2?22+???+Cnn?2n=(1+2)n=3n，故A項(xiàng)正確;
多項(xiàng)式1+2x-x6的展開式通項(xiàng)為：C6r?2x-xr，要求x3的系數(shù)，則r≥3，
當(dāng)r=3時，有C63?2x-x3，x3的系數(shù)為C63C33?20×(-1)3=-20,
當(dāng)r=4時，有C64?2x-x4，不存在x3，
當(dāng)r=5時，有C65?2x-x5，x3的系數(shù)為C65C54?21×(-1)4=60,
當(dāng)r=6時，有C66?2x-x6，不存在x3，
故展開式中x3的系數(shù)為-20+60=40,故B項(xiàng)正確；
(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+?+a10x10,x∈R,其展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為210=1024，故C項(xiàng)錯誤；
因?yàn)?8=5-28，其展開式的通項(xiàng)公式為：Tr+1=C8r×58-r×(-2)r，只有當(dāng)r=8時，即T9=C88×50×(-2)8=256，不能被5整除，且256被5整除的余數(shù)為1，故D項(xiàng)正確.
故選：ABD.
11．（5分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中A1，A2，A3，A4是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交匯處.今在道路網(wǎng)M，N處的甲?乙兩人分別要到N，M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達(dá)N，M處為止，則下列說法正確的有（ ）
A．甲從M到達(dá)N處的走法種數(shù)為120
B．甲從M必須經(jīng)過A3到達(dá)N處的走法種數(shù)為9
C．甲，兩人能在A3處相遇的走法種數(shù)為36
D．甲，乙兩人能相遇的走法種數(shù)為164
【解題思路】根據(jù)題意分析出甲從M到達(dá)N處， 需要走6格，其中向上3格，向右3格，從而可得到從M到達(dá)N處的走法種數(shù)為C63=20，從而可得出A錯誤；
若甲從M必須經(jīng)過A3到達(dá)N處，可分兩步，甲從M到達(dá)A3，從A3到達(dá)N，從而可判斷選項(xiàng)B正確；
若甲，乙兩人能在A3處相遇，先計(jì)算甲經(jīng)過A3的走法種數(shù)，再計(jì)算乙經(jīng)過A3的走法種數(shù)，從而可求出甲，乙兩人能在A3處相遇的走法種數(shù)；
根據(jù)題意可得出只能在A1，A2，A3，A4處相遇，然后分別計(jì)算走法種數(shù)即可.
【解答過程】對于A，需要走6格，其中向上3格，向右3格，所以從M到達(dá)N處的走法種數(shù)為C63=20，故A錯誤.
對于B，甲從M到達(dá)A3，需要走3格，其中向上1格，向右2格，有C31=3種走法，從A3到達(dá)N，需要走3格，其中向上2格，向右1格，有C31=3種走法，所以甲從M必須經(jīng)過A3到達(dá)N處的走法種數(shù)為3×3=9，故B正確.
對于C，甲經(jīng)過A3的走法種數(shù)為C31×C31=9，乙經(jīng)過A3的走法種數(shù)為C31×C31=9，所以甲，乙兩人能在A3處相遇的走法種數(shù)為9×9=81，故C錯誤.
對于D，甲，乙兩人沿著最短路徑行走，只能在A1，A2，A3，A4處相遇，若甲，乙兩人在A1處相遇，甲經(jīng)過A1處，必須向上走3格，乙經(jīng)過A1處，必須向左走3格，兩人在A1處相遇的走法有1種；若甲，乙兩人在A2或A3處相遇，各有81種走法；若甲，乙兩人在A4處相遇，甲經(jīng)過A4處，必須向右走3格，乙經(jīng)過A4處，必須向下走3格，則兩人在A4處相遇的走法有1種.所以甲，乙兩人能相遇的走法種數(shù)為1+81+81+1=164，故D正確.
故選：BD.
12．（5分）（2022春·重慶沙坪壩·高二階段練習(xí)）中國古代中“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動；“書”指各種歷史文化知識；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動，一天內(nèi)連續(xù)安排六節(jié)課，則下列說法正確的是（ ）
A．某學(xué)生從中選3門學(xué)習(xí)，共有20種選法
B．“禮”和“射”不相鄰，共有400種選法
C．“樂”不能排在第一節(jié)，且“數(shù)”不能排在最后，共有504種選法
D．“書”必須排在前三節(jié)，且“射”和“御”相鄰，共有108種選法
【解題思路】對于A，從6個中選3個，則有C63種；對于B，利用插空法求解；對于C，分兩類求解，一是若“數(shù)”排在第一節(jié)，二是若“數(shù)”不排在第一節(jié)，也不排在最后一節(jié)；對于D，分三類，利用捆綁法，①若“書”排在第一節(jié)，且“射”和“御”相鄰，②若“書”排在第二節(jié)，且“射”和“御”相鄰，③若“書”排在第三節(jié)，且“射”和“御”相鄰，然后利用分類加法原理求解
【解答過程】解：對于A，某學(xué)生從中選3門學(xué)習(xí)，共有C63=20種選法，
故選項(xiàng)A正確；
對于B，“禮”和“射”不相鄰，則有A44A52=480種，
故選項(xiàng)B錯誤；
對于C，①若“數(shù)”排在第一節(jié)，則排法有A55=120種；
②若“數(shù)”不排在第一節(jié)，也不排在最后一節(jié)，則排法有C41C41A44=384種，
所以“樂”不能排在第一節(jié)，且“數(shù)”不能排在最后，共有120+384＝504種選法，
故選項(xiàng)C正確；
對于D，①若“書”排在第一節(jié)，且“射”和“御”相鄰，則有4?A22?A33=48種；
②若“書”排在第二節(jié)，且“射”和“御”相鄰，則有3A22A33=36種；
③若“書”排在第三節(jié)，且“射”和“御”相鄰，則有3A22A33=36種.
所以“書”必須排在前三節(jié)，且“射”和“御”相鄰，共有48+36+36＝120種選法，
故選項(xiàng)D錯誤；
故選：AC.
三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
13．（5分）（2022秋·上海浦東新·高三階段練習(xí)）(x-1x)n的二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于 15 .
【解題思路】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和得n=6，進(jìn)而求出二項(xiàng)式展開式的通式公式，令3-32r=0，解出r，即可得出答案.
【解答過程】因?yàn)?x-1x)n的二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，
所以2n=64，得n=6，
所以題中二項(xiàng)式為(x-1x)6，二項(xiàng)式展開式的通式公式為：Tr+1=C6rx6-r-1xr=C6r-1rx3-32r，
令3-32r=0，得：r=2，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于C62-12=15.
故答案為：15.
14．（5分）（2022春·福建泉州·高二期末）如圖，用4種不同的顏色對圖中4個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂1種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有 48 種．
【解題思路】利用分步計(jì)數(shù)原理，一個個按照順序去考慮涂色.
【解答過程】按照分步計(jì)數(shù)原理，
第一步：涂區(qū)域1，有4種方法；
第二步：涂區(qū)域2，有3種方法；
第三步：涂區(qū)域3，分兩類：（1）區(qū)域3與1同色，則區(qū)域4有2種方法；（2）區(qū)域3與1不同色，則區(qū)域3有2種方法，區(qū)域4有1種方法；
所以不同的涂色種數(shù)有4×3×(1×2+2×1)=48種．
故答案為：48.
15．（5分）（2022·高二課時練習(xí)）某籃球隊(duì)有12名隊(duì)員，其中有6名隊(duì)員打前鋒，有4名隊(duì)員打后衛(wèi)，甲、乙兩名隊(duì)員既能打前鋒又能打后衛(wèi).若出場陣容為3名前鋒，2名后衛(wèi)，則不同的出場陣容共有 636 種．
【解題思路】分三種情況討論：①甲、乙都不出場；②甲、乙只有一人出場；③甲、乙都出場.分別計(jì)算出每種情況下出場的陣容種數(shù)，利用分類加法計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)果.
【解答過程】分以下三種情況討論：
①甲、乙都不出場，則應(yīng)從6名打前鋒的隊(duì)員中挑選3人，從4名打后衛(wèi)的隊(duì)員中挑選2人，此時，出場陣容種數(shù)為C63C42=120；
②甲、乙只有一人出場，若出場的這名隊(duì)員打前鋒，則應(yīng)從6名打前鋒的隊(duì)員中挑選2人，從4名打后衛(wèi)的隊(duì)員中挑選2人；若出場的這名隊(duì)員打后衛(wèi)，則應(yīng)從6名打前鋒的隊(duì)員中挑選3人，從4名打后衛(wèi)的隊(duì)員中挑選1人.
此時，出場陣容種數(shù)為C21?C62C42+C63C41=340；
③甲、乙都出場，若這兩名隊(duì)員都打前鋒，則應(yīng)從6名打前鋒的隊(duì)員中挑選1人，從4名打后衛(wèi)的隊(duì)員中挑選2人；若這兩名隊(duì)員都打后衛(wèi)，則應(yīng)從6名打前鋒的隊(duì)員中挑選3人，從4名打后衛(wèi)的隊(duì)員中不用挑選；若這兩名隊(duì)員一人打前鋒、一人打后衛(wèi)，則應(yīng)從6名打前鋒的隊(duì)員中挑選2人，從4名打后衛(wèi)的隊(duì)員中挑選1人，此時，出場陣容種數(shù)為C61C42+C63C40+C21C62C41=176.
綜上所述，由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有120+340+176=636種不同的出場陣容.
故答案為：636.
16．（5分）（2022春·全國·高二專題練習(xí)）課本中，在形如a+bn=Cn0an+Cn1an-1b+…Cnran-rbr+…Cnnbn的展開式中，我們把Cnrr=0,1,2,…,n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，類似地在1+x+x2n=Dn0+Dn1x+Dn2x2+…Dn2n-1x2n-1+Dn2nx2n的展開式中，我們把Dnrr=0,1,2,…,2n叫做三項(xiàng)式系數(shù)，則D20150?C20150-D20151?C20151+D20152?C20152-…+-1kD2015kC2015k+…-D20152015?C20152015的值為 0 .
【解題思路】根據(jù)1+x+x22015?(x-1)2015=x3-12015的等式兩邊的x2015項(xiàng)的系數(shù)相同，從而求得要求式子的值.
【解答過程】∵1+x+x22015?(x-1)2015=D20150+D20151x+D20152x2+…+D2015rxr+…+D20154030-1x4030-1+D20154030x4030 ?C20150?x2015-C20151?x2014+C20152?x2013-C20153x2012+…+C20152014?x-C20152015，
其中x2015系數(shù)為
D20150?C20150-D20151?C20151+D20152?C20152-…+-1kD2015kC2015k+…-D20152015?C20152015，
∵1+x+x22015?(x-1)2015=x3-12015，
而二項(xiàng)式x3-12015的通項(xiàng)公式Tr+1=C2015r?x32015-r，
因?yàn)?015不是3的倍數(shù)，所以x3-12015的展開式中沒有x2015項(xiàng)，由代數(shù)式恒成立可得
D20150?C20150-D20151?C20151+D20152?C20152-…+-1kD2015kC2015k+…-D20152015?C20152015=0，
故答案為0.
四．解答題（共6小題，滿分70分）
17．（10分）（2022春·山東菏澤·高二統(tǒng)考期中）（1）計(jì)算：4A73+2A74A77-A84．
（2）已知1C5m-1C6m=710C7m，求C6m+C6m+1+C7m+2+C8m+3的值．
【解題思路】（1）根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式即可得解；
（2）根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式即可得解.
【解答過程】（1）4A73+2A74A77-A84=4×7×6×5+2×7×6×5×47×6×5×4×3×2×1-8×7×6×5
=7×6×5×4×37×6×5×(4×3×2×1-8)=1216=34．
（2）由1C5m-1C6m=710C7m可得m!(5-m)!5!-m!(6-m)!6!=7×m×(7-m)!10×7!
即m!(5-m)!5!-m×(6-m)×(5-m)!6×5!=7×m×(7-m)(6-m)(5-m)!10×7×6×5!，
可得1-(6-m)6=(7-m)(6-m)10×6，整理可得：m2-23m+42=0，
解得m=2或m=21，因?yàn)?≤m≤5，可得m=2，
所以C62+C63+C74+C85=C73+C74+C85=C84+C85=C95=126．
18．（10分）（2023·全國·高二專題練習(xí)）由2、3、5、7組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，求：
(1)這些數(shù)的數(shù)字和；
(2)這些數(shù)的和．
【解題思路】（1）根據(jù)分步乘法原理計(jì)算所有的四位數(shù)，進(jìn)而可得這24個數(shù)的數(shù)字之和，
（2）確定24個數(shù)中，每個數(shù)位上2，3，5，7出現(xiàn)的次數(shù)，進(jìn)而可求這些數(shù)的和,
【解答過程】（1）共可組成4×3×2×1＝24個四位數(shù)，這24個四位數(shù)的數(shù)字和為24×2+3+5+7=408．
（2）這24個四位數(shù)中，數(shù)字2在千位的有3×2×1＝6個，同樣，3、5、7在千位的各有6個．
同理，2、3、5、7在百位、十位、個位各出現(xiàn)6次．
所以所有數(shù)之和為2+3+5+7×6×1000+100+10+1=113322
19．（12分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，一個正方形花圃被分成5份．
(1)若給這5個部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，已知現(xiàn)有5種顏色不同的花，求有多少種不同的種植方法？
(2)若向這5個部分放入7個不同的盆栽，要求每個部分都有盆栽，問有多少種不同的放法？
【解題思路】（1）分種3、4、5種顏色的花，應(yīng)用分步計(jì)數(shù)及組合排列數(shù)求種植方法數(shù)；
（2）分{3,1,1,1,1}、{2,2,1,1,1}兩種分組，結(jié)合不平均分組、全排列求不同的放法.
【解答過程】（1）
當(dāng)種5種顏色的花，作全排列，則有A55=120種；
當(dāng)種4種顏色的花，5種顏色選4種，{(A,E),(C,E),(B,C)}中選一組種同顏色的花，余下3種顏色作全排列，則有C54C41C31A33=360種；
當(dāng)種3種顏色的花，5種顏色選3種，D位置任選一種，余下2種顏色在{(A,E),(B,C)}分別種相同顏色，則有C53C31A22=60種；
所以共有540種不同種植方法.
（2）
將7個盆栽有{3,1,1,1,1}、{2,2,1,1,1}兩種分組方式，
以{3,1,1,1,1}分組，則C73A55=4200種；
以{2,2,1,1,1}分組，則C72C52A22?A55=12600種；
所以共有16800種不同的放法.
20．（12分）（2022春·山東菏澤·高二階段練習(xí)）6名同學(xué)(簡記為A、B、C、D、E、F)到甲、乙、丙三個場館做志愿者.
(1)一天上午有16個相同的口罩全部發(fā)給這6名同學(xué)，每名同學(xué)至少發(fā)兩個口罩，則不同的發(fā)放方法種數(shù)？
(2)每名同學(xué)只去一個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法種數(shù)？
(3)每名同學(xué)只去一個場館，每個場館至少要去一名，且A、B兩人約定去同一個場館，C、D不想去一個場館，則滿足同學(xué)要求的不同的安排方法種數(shù)？
【解題思路】（1）先讓每位同學(xué)拿一個口罩，余下10個用隔板法求解作答.
（2）利用分步計(jì)數(shù)乘法原理從6人中依次取1人，2人，3人去甲、乙、丙三個場館列式計(jì)算作答.
（3）按給定條件將6人分成3組，再分到三個場館列式計(jì)算作答.
【解答過程】(1)
16個相同的口罩，每位同學(xué)先拿一個，剩下的10個口罩排成一排有9個間隙，插入5塊板子分成6份，每一種分法所得6份給到6個人即可，
所以不同的發(fā)放方法C95=126種.
(2)
求不同的安排方法分三步：6人中選一人去甲場館，剩下的5人中選2人去乙場館，最后剩下3人去丙場館，
所以不同的安排方法有C61C52C33=60 種.
(3)
把A,B視為一人，相當(dāng)于把5個人先分成三組，再分配給三個場館，分組方法有兩類：
第一類1，1，3，去掉C,D在一組的情況，有(C53-C31)種分組方法，再分配給三個場館，有C53-C31A33=7×6=42種方法，
第二類1，2，2，去掉C,D在一組的情況，有(C51C42A22-C31)種分組方法，再分配給三個場館，有C51C42A22-C31A33=12×6=72種方法，
所以不同的安排方法有42+72=114種方法.
21．（12分）（2022秋·上海楊浦·高二期末）已知4x+12xn（n為正整數(shù)）的二項(xiàng)展開式中.
(1)若Cn0+Cn2+Cn4+?=256，求所有項(xiàng)的系數(shù)之和；
(2)若Cn0+Cn1+Cn2=821，求展開式中的有理項(xiàng)的個數(shù)；
(3)若n=30，求系數(shù)最大的項(xiàng).
【解題思路】（1）由題意求出n=9，令4x+12x9中x=1，即可得出答案.
（2）求出n=40，寫出4x+12x40的通項(xiàng)，要使展開式為有理項(xiàng)，則10-34r∈Z，求解即可；
（3）設(shè)二項(xiàng)式展開式第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，求出4x+12x40的通項(xiàng)，則C30r12r≥C30r-112r-1C30r12r≥C30r+112r+1，解不等式即可得出答案.
【解答過程】（1）因?yàn)镃n0+Cn1+Cn2+Cn3+?+Cnn=2n，
而Cn0+Cn2+Cn4+??=Cn1+Cn3+Cn5+?=2n-1，
所以2n-1=256?n=9.
所以令4x+12x9中x=1，則所有項(xiàng)的系數(shù)之和為：1+129=329.
（2）若Cn0+Cn1+Cn2=821，則1+n+nn-12=821，
n-40n+41=0，解得：n=40.
則4x+12x40的通項(xiàng)為：Tr+1=C40r4x40-r12xr=C40r12rx10-34r，
其中r∈0,1,2,3,?,40，要使展開式為有理項(xiàng)，
則10-34r∈Z，則r=0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40，
故展開式中的有理項(xiàng)的個數(shù)為11.
（3）若n=30，則4x+12x30的通項(xiàng)為：Tr+1=C30r4x30-r12xr=C30r12rx30-3r4，
則設(shè)二項(xiàng)式展開式第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，
則C30r12r≥C30r-112r-1C30r12r≥C30r+112r+1，得30!r!30-r!12r≥30!r-1!31-r!12r-130!r!30-r!12r≥30!r+1!29-r!12r+1，
化簡得：12r≥131-r130-r≥12r+1，解得：283≤r≤313.
因?yàn)閞∈Z，則r=10，所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T11=C30101210.
22．（12分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）在x2+x+1n=Dn0x2n+Dn1x2n-1+Dn2x2n-2+???+Dn2n-1x+Dn2n的展開式中，把Dn0，Dn1，Dn2，…，Dn2n叫做三項(xiàng)式的n次系數(shù)列．
（1）寫出三項(xiàng)式的2次系數(shù)列和3次系數(shù)列；
（2）列出楊輝三角形類似的表（0≤n≤4，n∈N），用三項(xiàng)式的n次系數(shù)表示Dn+10，Dn+11，Dn+1k+11≤k≤2n-1；
（3）用二項(xiàng)式系數(shù)表示Dn3．
【解題思路】（1）先求出三項(xiàng)式的展開式，即可求出；
（2）列出楊輝三角形類似的表，即可得出結(jié)果；
（3）根據(jù)三項(xiàng)式的n次系數(shù)列定義展開求解即可得出.
【解答過程】（1）寫出三項(xiàng)式的2次系數(shù)列和3次系數(shù)列：
∵x2+x+12=x4+x2+1+2x3+2x2+2x=x4+2x3+3x2+2x+1，
∴D20=1，D21=2，D22=3，D23=2，D24=1，
∵x2+x+13=x4+2x3+3x2+2x+1x2+x+1
=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1，
∴D30=1，D31=3，D32=6，D33=7，D34=6，D35=3，D36=1．
（2）列出楊輝三角形類似的表（0≤n≤4，n∈N），
用三項(xiàng)式的n次系數(shù)表示Dn+10，Dn+11，Dn+1k+11≤k≤2n-1，
Dn+10=Dn0=0，Dn+11=Dn1+Dn0=n+1，Dn+1k+1=Dnk-1+Dnk+Dnk+11≤k≤2n-1，
（3）用二項(xiàng)式系數(shù)表示Dn3，
D12=1，D22=D10+D11+D12=3=C32，D32=D20+D21+D22=6=C42，
D42=D30+D31+D32=10=C52，…，?Dn-12=Dn-20+Dn-21+Dn-22=1+n-2+Cn-12=Cn2，
∵Dn3=Dn-11+Dn-12+Dn-13，
∴Dn3-Dn-13=Dn-11+Dn-12=Cn1+Cn2-1=Cn+12-1，
∵D33-D23=C42-1,D43-D33=C52-1，D53-D43=C62-1，…，Dn3-Dn-13=Cn+12-1，
∴Dn3-D23=C42+C52+C62+???+Cn+12-n-2
=C53-C43+C63-C53+C73-C63+???+Cn+23-Cn+13-n-2
=Cn+23-C43-n-2=Cn+23-n+2，
∴Dn3=Cn+23-Cn1．

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