1．多面體的側(cè)面積、表面積和體積

2．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、表面積和體積
3．空間幾何體表面積與體積的常見(jiàn)求法
(1)常見(jiàn)的求幾何體體積的方法
①公式法：直接代入公式求解.
②等體積法：四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.
③補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，三棱柱補(bǔ)成四棱柱等.
④分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.
(2)求組合體的表面積與體積的方法
求組合體的表面積的問(wèn)題，首先應(yīng)弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個(gè)面的面積應(yīng)該
怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個(gè)面的面積，最后相加或相減.求體積時(shí)也要先弄清各組成部分，求出各簡(jiǎn)單幾何體的體積，再相加或相減.
4．球的截面
(1)球的截面形狀
①當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面的半徑即球的半徑，此時(shí)球的截面就是球的大圓；
②當(dāng)截面不過(guò)球心時(shí)，截面的半徑小于球的半徑，此時(shí)球的截面就是球的小圓.
(2)球的截面的性質(zhì)
①球心和截面圓心的連線垂直于截面；
②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式：.
圖形解釋如下：
在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關(guān)系如圖所示.若設(shè)球的半徑為R，以O(shè)'為圓心的截面的半徑
為r，OO'=d.則在Rt△OO'C中，有，即.
5．幾何體與球的切、接問(wèn)題
常見(jiàn)的與球有關(guān)的組合體問(wèn)題有兩種：一種是內(nèi)切球，另一種是外接球.
常見(jiàn)的幾何體與球的切、接問(wèn)題的解決方案：
【題型1 多面體的表面積與體積】
【方法點(diǎn)撥】
求解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積時(shí)，要結(jié)合具體條件，找出其中的基本量，利用相應(yīng)的表面積、體
積計(jì)算公式，進(jìn)行求解即可.
【例1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，位于西安大慈恩寺的大雁塔是我國(guó)現(xiàn)存最早、規(guī)模最大的唐代四方樓閣式磚塔，其最高處的塔剎可以近似地看成一個(gè)正四棱錐，如圖2，已知正四棱錐P-ABCD的高為4.87m，其側(cè)棱與高的夾角為45°，則該正四棱錐的體積約為（ ）4.873≈115.5
A．231m3B．179m3C．154m3D．77m3
【變式1-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為V，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E在CC1上且CE=3EC1，則三棱錐D1-ADC與三棱錐E-BCD的公共部分的體積為（ ）
A．V28B．V21C．3V28D．V7
【變式1-2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知斜三棱柱的一個(gè)側(cè)面的面積為10，該側(cè)面與其相對(duì)側(cè)棱的距離為3，則此斜三棱柱的體積為（ ）
A．30B．15C．10D．60
【變式1-3】（2023秋·江西上饒·高二期末）“塹堵”“陽(yáng)馬”和“鱉臑”是我國(guó)古代對(duì)一些特殊幾何體的稱(chēng)謂.《九章算術(shù).商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，其一為鱉臑”，即一個(gè)長(zhǎng)方體沿對(duì)角線斜解（圖1）.得到一模一樣的兩個(gè)塹堵，再沿一個(gè)塹堵的一個(gè)頂點(diǎn)和相對(duì)的棱斜解（圖2），得一個(gè)四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬（圖3），一個(gè)三棱錐稱(chēng)為鱉臑（圖4）.若某長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為4，寬為2，高為2，記該長(zhǎng)方體的體積為V，由該長(zhǎng)方體斜解所得到的塹堵、陽(yáng)馬和鱉臑的體積分別為V1，V2，V3，則下列選項(xiàng)不正確的是（ ）
A．V=16B．V1=8
C．V2=163D．V3=43
【題型2 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積與體積】
【方法點(diǎn)撥】
求解圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積與體積時(shí)，要結(jié)合具體條件，找出其中的基本量，利用相應(yīng)的表面積、體
積計(jì)算公式，進(jìn)行求解即可.
【例2】已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為4，弧長(zhǎng)為4π的扇形，則該圓錐的表面積為（ ）
A．4πB．8πC．12πD．20π
【變式2-1】（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)圓柱體積為π，底面半徑為3，則與此圓柱同底且體積相同的圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．3πB．23πC．33πD．43π
【變式2-2】（2022春·河南·高一期中）圓臺(tái)上?下底面半徑分別是1?2，高為3，這個(gè)圓臺(tái)的體積是（ ）
A．733πB．23πC．73πD．233π
【變式2-3】（2023春·河南·高三開(kāi)學(xué)考試）如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，已知AB=9cm,CD=3cm，則該青銅器的表面積為（ ）（假設(shè)上、下底面圓是封閉的）
A．363+81π2cm2B．183+58πcm2
C．243+81π2cm2D．183+36πcm2
【題型3 球的表面積與體積】
【方法點(diǎn)撥】
計(jì)算球的表面積和體積的關(guān)鍵都是確定球的半徑，要注意把握球的表面積公式和體積公式中系數(shù)的特征和
半徑次數(shù)的區(qū)別.必要時(shí)需逆用表面積公式和體積公式得到球的半徑.
【例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若球的表面積擴(kuò)大為原來(lái)的n倍，則它的半徑比原來(lái)增加的倍數(shù)為（ ）
A．n-1B．n+1C．n+2D．n
【變式3-1】（2022秋·上海徐匯·高二期末）如果兩個(gè)球的表面積之比為4：9，那么這兩個(gè)球的體積之比為（ ）
A．8：27B．2：13C．4：943D．2：9
【變式3-2】（2022春·湖南株洲·高一期中）已知球 O 的表面積為 12π， 則它的體積為（ ）
A．43πB．43C．83πD．83
【變式3-3】（2023秋·河南安陽(yáng)·高三期末）圓錐的母線長(zhǎng)為2，側(cè)面積為2π，若球O的表面積與該圓錐的表面積相等，則球O的體積為（ ）
A．2π3B．2π3C．3π2D．3π2
【題型4 球的截面問(wèn)題】
【方法點(diǎn)撥】
利用球的半徑、截面的半徑、球心與截面圓心的連線構(gòu)建直角三角形是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的主要
途徑.
【例4】（2022春·安徽宣城·高一期中）用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為
A．8π3B．32π3
C．8πD．82π3
【變式4-1】（2022秋·福建泉州·高二開(kāi)學(xué)考試）已知AB為球O的一條直徑，過(guò)OB的中點(diǎn)M作垂直于AB的截面，則所得截面和點(diǎn)A構(gòu)成的圓錐的表面積與球的表面積的比值為（ ）
A．316B．916C．38D．932
【變式4-2】（2022春·福建漳州·高一期中）過(guò)半徑為2的球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的體積的比為（ ）
A．932B．916C．38D．316
【變式4-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）體積為183的正三棱錐A-BCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球O的球面上，球心O在此三棱錐內(nèi)部，且R:BC=2:3，點(diǎn)E為線段BD上一點(diǎn)，且DE=2EB，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（ ）
A．[4π,12π]B．[8π,16π]C．[8π,12π]D．[12π,16π]
【題型5 幾何體與球的切、接問(wèn)題】
【方法點(diǎn)撥】
1.球外接于幾何體，則幾何體的各頂點(diǎn)均在球面上.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，一般需依據(jù)球和幾何體的對(duì)稱(chēng)
性，明確接點(diǎn)的位置，根據(jù)球心與幾何體特殊點(diǎn)間的關(guān)系，確定相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面進(jìn)行
求解.
2.解決幾何體的內(nèi)切球問(wèn)題，應(yīng)先作出一個(gè)適當(dāng)?shù)慕孛?一般作出多面體的對(duì)角面所在的截面)，這個(gè)截面應(yīng)
包括幾何體與球的主要元素，且能反映出幾何體與球的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.
【例5】（2022秋·江蘇淮安·高三階段練習(xí)）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1⊥底面ABC，AC＝BC＝2，AA1=4，點(diǎn)D在上底面A1B1C1（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐D-ABC的外接球表面積的范圍為（ ）
A．814π,24πB．9π,24π
C．24316π,24πD．24316π,86π
【變式5-1】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC=2，∠ABC=60°，將△ACD沿邊AC翻折，使點(diǎn)D翻折到P點(diǎn)，且PB=22，則三棱錐P-ABC外接球的表面積是（ ）
A．15πB．25πC．55πD．20π
【變式5-2】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1=4，AC=BC=2，∠ACB=90°，D在上底面A1B1C1（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐D-ABC的外接球體積的最大值為（ ）
A．46πB．83πC．86πD．123π
【變式5-3】（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）已知菱形ABCD的各邊長(zhǎng)為2，∠B=60°.將△ABC沿AC折起，折起后記點(diǎn)B為P，連接PD，得到三棱錐P-ACD，如圖所示，當(dāng)三棱錐P-ACD的表面積最大時(shí)，三棱錐P-ACD的外接球體積為（ ）
A．523πB．433πC．23πD．823π
【題型6 實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題】
【方法點(diǎn)撥】
對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確建立數(shù)學(xué)模型，然后利用表(側(cè))面積或體積公式即可求解.另外，正
確作出截面圖，找出其中的等量關(guān)系也是常用的方法.
與球有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題一般涉及容積問(wèn)題，解題的關(guān)健是正確作出截面圖，找出其中的等量關(guān)系.另外，
利用總體積不變，正確建立等量關(guān)系，也是常用的方法.
【例6】（2022秋·上海浦東新·高二期末）如圖，某種水箱用的“浮球”是由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱筒組成，已知球的直徑是6cm，圓柱筒長(zhǎng)2cm．
(1)這種“浮球”的體積是多少cm3？(結(jié)果精確到0.1)
(2)要在這樣2500個(gè)“浮球”表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方米需要涂膠100克，共需膠約多少克？（精確到克）
【變式6-1】（2022秋·上海靜安·高二期中）如圖，在兩塊鋼板上打孔，用釘帽呈半球形、釘身為圓柱形的鉚釘（圖1）穿在一起，在沒(méi)有帽的一端錘打出一個(gè)帽，使得與釘帽的大小相等，鉚合的兩塊鋼板，成為某種鋼結(jié)構(gòu)的配件，其截面圖如圖2.（單位：mm）.（加工中不計(jì)損失）.
(1)若釘身長(zhǎng)度是釘帽高度的3倍，求鉚釘?shù)谋砻娣e；
(2)若每塊鋼板的厚度為10mm，求釘身的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1mm）.
【變式6-2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高10cm，為了測(cè)得某個(gè)球的體積，小明將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為8cm，如果不計(jì)容器的厚度，求球的體積（精確到1cm3）.
【變式6-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是一圓柱形樹(shù)樁的底面直徑，PA是圓柱的母線，且AB=PA=2，點(diǎn)C是圓柱底面圓周上的點(diǎn)．
(1)求該樹(shù)樁的側(cè)面積和體積；
(2)若AC=1，D是PB的中點(diǎn)，線有一只小蟲(chóng)在點(diǎn)C，先在線段PA上鉆一個(gè)小洞，記為點(diǎn)E，若該小蟲(chóng)要從點(diǎn)C鉆過(guò)小洞點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D，要使得小蟲(chóng)爬過(guò)的路徑最短，請(qǐng)你確定小洞點(diǎn)E的位置，并求出路徑的最小值．

相關(guān)試卷

高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題練習(xí) 專(zhuān)題7.1 復(fù)數(shù)的概念（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）：

這是一份高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題練習(xí) 專(zhuān)題7.1 復(fù)數(shù)的概念（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版），共7頁(yè)。試卷主要包含了數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，復(fù)數(shù)相等，復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的模，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模的幾何意義等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題練習(xí) 專(zhuān)題6.5 向量的數(shù)量積（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）：

這是一份高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題練習(xí) 專(zhuān)題6.5 向量的數(shù)量積（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版），共8頁(yè)。試卷主要包含了向量的數(shù)量積，向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，向量數(shù)量積的常用結(jié)論等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題練習(xí)專(zhuān)題8.5 列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）：

這是一份高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題練習(xí)專(zhuān)題8.5 列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版），共14頁(yè)。試卷主要包含了分類(lèi)變量，2×2列聯(lián)表，等高堆積條形圖，獨(dú)立性檢驗(yàn)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題練習(xí)專(zhuān)題7.9 正態(tài)分布（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）

高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題練習(xí)專(zhuān)題7.9 正態(tài)分布（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）
高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題練習(xí)專(zhuān)題6.3 排列與組合（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）

高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題練習(xí)專(zhuān)題6.3 排列與組合（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）
高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題練習(xí)專(zhuān)題5.3 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）

高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題練習(xí)專(zhuān)題5.3 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）
高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題練習(xí)專(zhuān)題4.1 數(shù)列的概念（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）

高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題練習(xí)專(zhuān)題4.1 數(shù)列的概念（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專(zhuān)區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部