1．多面體的側(cè)面積、表面積和體積

2．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、表面積和體積
3．空間幾何體表面積與體積的常見求法
(1)常見的求幾何體體積的方法
①公式法：直接代入公式求解.
②等體積法：四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.
③補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，三棱柱補成四棱柱等.
④分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.
(2)求組合體的表面積與體積的方法
求組合體的表面積的問題，首先應(yīng)弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個面的面積應(yīng)該
怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個面的面積，最后相加或相減.求體積時也要先弄清各組成部分，求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減.
4．球的截面
(1)球的截面形狀
①當截面過球心時，截面的半徑即球的半徑，此時球的截面就是球的大圓；
②當截面不過球心時，截面的半徑小于球的半徑，此時球的截面就是球的小圓.
(2)球的截面的性質(zhì)
①球心和截面圓心的連線垂直于截面；
②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式：.
圖形解釋如下：
在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關(guān)系如圖所示.若設(shè)球的半徑為R，以O(shè)'為圓心的截面的半徑
為r，OO'=d.則在Rt△OO'C中，有，即.
5．幾何體與球的切、接問題
常見的與球有關(guān)的組合體問題有兩種：一種是內(nèi)切球，另一種是外接球.
常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：
【題型1 多面體的表面積與體積】
【方法點撥】
求解棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積時，要結(jié)合具體條件，找出其中的基本量，利用相應(yīng)的表面積、體
積計算公式，進行求解即可.
【例1】（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖1，位于西安大慈恩寺的大雁塔是我國現(xiàn)存最早、規(guī)模最大的唐代四方樓閣式磚塔，其最高處的塔剎可以近似地看成一個正四棱錐，如圖2，已知正四棱錐P-ABCD的高為4.87m，其側(cè)棱與高的夾角為45°，則該正四棱錐的體積約為（ ）4.873≈115.5
A．231m3B．179m3C．154m3D．77m3
【解題思路】設(shè)正四棱錐P-ABCD的底面邊長為a m，連接AC，BD交于點O，連接PO，易得PO⊥平面ABCD，∠CPO=45°，再根據(jù)高為4.87m求解.
【解答過程】解：如圖所示：
設(shè)正四棱錐P-ABCD的底面邊長為a m，連接AC，BD交于點O，連接PO，
則PO⊥平面ABCD，由題可得∠CPO=45°，
故PO=CO=22a，所以22a=4.87，
解得a=4.87×2，
所以該正四棱錐的體積V=13×4.87×22×4.87=23×4.873≈77m3.
故選：D.
【變式1-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為V，四邊形ABCD為平行四邊形，點E在CC1上且CE=3EC1，則三棱錐D1-ADC與三棱錐E-BCD的公共部分的體積為（ ）
A．V28B．V21C．3V28D．V7
【解題思路】先找到三棱錐D1-ADC與三棱錐E-BCD的公共部分，設(shè)DE，D1C交于點F，AC，BD交于點G，連接FG，則三棱錐F-CDG就是三棱錐D1-ADC與三棱錐E-BCD的公共部分．再推出點F到平面ABCD的距離是點D1到平面ABCD距離的37，然后根據(jù)棱錐的體積公式可得結(jié)果.
【解答過程】如圖，設(shè)DE，D1C交于點F，AC，BD交于點G，連接FG，則三棱錐F-CDG就是三棱錐D1-ADC與三棱錐E-BCD的公共部分．
因為CE=3EC1，所以D1FFC=DD1CE=43，所以FCD1C=37，
設(shè)點D1到平面ABCD距離為h，則點F到平面ABCD的距離是37h，
又S△CDG=14S四邊形ABCD，所以三棱錐F-CDG的體積為13S△CDG?37h=13×14S四邊形ABCD?37h =13×14×37V=V28.
故選：A．
【變式1-2】（2023·高一課時練習）已知斜三棱柱的一個側(cè)面的面積為10，該側(cè)面與其相對側(cè)棱的距離為3，則此斜三棱柱的體積為（ ）
A．30B．15C．10D．60
【解題思路】通過補體，兩個斜三棱柱組成一個四棱柱，求四棱柱的體積，斜三棱柱的體積是四棱柱的體積的一半.
【解答過程】如圖，兩個斜三棱柱組成一個四棱柱，以斜三棱柱的一個側(cè)面為四棱柱的底面，面積為S=10，高h=PH=3，四棱柱的體積V=10×3=30，
則此斜三棱柱的體積為12V=15.
故選：B.
【變式1-3】（2023秋·江西上饒·高二期末）“塹堵”“陽馬”和“鱉臑”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術(shù).商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑”，即一個長方體沿對角線斜解（圖1）.得到一模一樣的兩個塹堵，再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解（圖2），得一個四棱錐稱為陽馬（圖3），一個三棱錐稱為鱉臑（圖4）.若某長方體的長為4，寬為2，高為2，記該長方體的體積為V，由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為V1，V2，V3，則下列選項不正確的是（ ）
A．V=16B．V1=8
C．V2=163D．V3=43
【解題思路】結(jié)合長方體、錐體體積公式求得正確答案.
【解答過程】V=4×2×2=16，A選項正確.
V1=12V=8，B選項正確.
V2=13×4×2×2=163，C選項正確.
V3=13×12×2×2×4=83，D選項不正確.
故選：D.
【題型2 圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積】
【方法點撥】
求解圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積時，要結(jié)合具體條件，找出其中的基本量，利用相應(yīng)的表面積、體
積計算公式，進行求解即可.
【例2】已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4，弧長為4π的扇形，則該圓錐的表面積為（ ）
A．4πB．8πC．12πD．20π
【解題思路】圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4，弧長為4π的扇形，可知底面圓的半徑，再求的底面圓的面積和圓錐的側(cè)面積，即可求得該圓錐的表面積.
【解答過程】由于圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4，弧長為4π的扇形，
則圓錐底面圓的半徑為r=4π2π=2，底面圓的面積為πr2=π×22=4π，
圓錐的表面積為12×4π×4+4π=12π.
故選：C.
【變式2-1】（2023·云南昆明·模擬預(yù)測）已知一個圓柱體積為π，底面半徑為3，則與此圓柱同底且體積相同的圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．3πB．23πC．33πD．43π
【解題思路】根據(jù)圓柱圓錐體積公式求出圓錐的高，進而求圓錐的母線長，即可求側(cè)面積.
【解答過程】設(shè)圓錐的高為h1，
所以圓錐的體積為13πr2×h1=π，所以h1=1，
所以圓錐的母線l=h12+r2=2，
得圓錐的側(cè)面積為S=πrl=23π，
故選：B.
【變式2-2】（2022春·河南·高一期中）圓臺上?下底面半徑分別是1?2，高為3，這個圓臺的體積是（ ）
A．733πB．23πC．73πD．233π
【解題思路】運用圓臺體積公式直接計算.
【解答過程】由圓臺體積公式知：V=13πhR2+r2+Rr=π3×3×12+22+1×2=733π ；
故選：A.
【變式2-3】（2023春·河南·高三開學考試）如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個圓臺的組合體，已知AB=9cm,CD=3cm，則該青銅器的表面積為（ ）（假設(shè)上、下底面圓是封閉的）
A．363+81π2cm2B．183+58πcm2
C．243+81π2cm2D．183+36πcm2
【解題思路】根據(jù)圓柱和圓臺的側(cè)面積公式分別求解側(cè)面積，再加上底面積，即可得該青銅器的表面積
【解答過程】解：因為S圓柱側(cè)=2π×32×23=63πcm2，S組合體圓臺側(cè)=π×32+92×(33)2+32+π×32+92×(3)2+32 =36+123πcm2，
所以該青銅器的表面積S=π322+π322+36+123π+63π=363+81π2cm2.
故選：A.
【題型3 球的表面積與體積】
【方法點撥】
計算球的表面積和體積的關(guān)鍵都是確定球的半徑，要注意把握球的表面積公式和體積公式中系數(shù)的特征和
半徑次數(shù)的區(qū)別.必要時需逆用表面積公式和體積公式得到球的半徑.
【例3】（2023·高一課時練習）若球的表面積擴大為原來的n倍，則它的半徑比原來增加的倍數(shù)為（ ）
A．n-1B．n+1C．n+2D．n
【解題思路】根據(jù)球的表面積公式計算即可直接求解.
【解答過程】設(shè)原球的半徑為r，擴大后為R，
則原表面積為4πr2，擴大n倍后變?yōu)?nπr2，
所以R=4nπr24π=nr，得Rr=n，
即半徑擴大到原來的n倍，比原來增加了(n-1)倍.
故選：A.
【變式3-1】（2022秋·上海徐匯·高二期末）如果兩個球的表面積之比為4：9，那么這兩個球的體積之比為（ ）
A．8：27B．2：13C．4：943D．2：9
【解題思路】球的表面積之比是兩球的半徑的平方之比，體積之比是半徑的立方之比，據(jù)此即可計算.
【解答過程】設(shè)兩球的半徑分別為r1,r2，則4πr124πr22=49，∴r1r2=23，
所以兩球的體積比為V1V2=43πr1343πr23=827；
故選：A.
【變式3-2】（2022春·湖南株洲·高一期中）已知球 O 的表面積為 12π， 則它的體積為（ ）
A．43πB．43C．83πD．83
【解題思路】根據(jù)給定條件，求出球O的半徑，再利用球的體積公式計算作答.
【解答過程】球O的表面積為 12π，設(shè)球O的半徑為R，則有4πR2=12π，解得R=3，
所以球O的體積為V=4π3R3=4π3×(3)3=43π.
故選：A.
【變式3-3】（2023秋·河南安陽·高三期末）圓錐的母線長為2，側(cè)面積為2π，若球O的表面積與該圓錐的表面積相等，則球O的體積為（ ）
A．2π3B．2π3C．3π2D．3π2
【解題思路】先利用圓錐側(cè)面積公式與表面積公式求得其表面積，再利用球的表面積公式得到關(guān)于R的方程，解之即可求得球的體積.
【解答過程】依題意，設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線l=2，
則圓錐的側(cè)面積為πrl=2π，故r=1，
所以圓錐的底面積為πr2=π，則圓錐的表面積為2π+π=3π，
設(shè)球的半徑為R，則4πR2=3π，得R=32，
所以球的體積V=4π3R3=3π2.
故選：C.
【題型4 球的截面問題】
【方法點撥】
利用球的半徑、截面的半徑、球心與截面圓心的連線構(gòu)建直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要
途徑.
【例4】（2022春·安徽宣城·高一期中）用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為
A．8π3B．32π3
C．8πD．82π3
【解題思路】求出截面圓的半徑為R2-l ，利用截面圓的面積為π，可得R2=2，即可求出球的表面積．
【解答過程】設(shè)球的半徑為R，則截面圓的半徑為，
∴截面圓的面積為S＝π＝（R2－1）π＝π，∴R2＝2，
∴球的表面積S＝4πR2＝8π．
故選C.
【變式4-1】（2022秋·福建泉州·高二開學考試）已知AB為球O的一條直徑，過OB的中點M作垂直于AB的截面，則所得截面和點A構(gòu)成的圓錐的表面積與球的表面積的比值為（ ）
A．316B．916C．38D．932
【解題思路】設(shè)球的半徑為R，截面圓M的半徑r，由球截面性質(zhì)求得34R2=r2，然后計算球表面積、圓錐表面積，再計算比值．
【解答過程】設(shè)球的半徑為R，截面圓M的半徑r，則R2=14R2+r2，
∴34R2=r2，∴S球=4πR2，圓錐的表面積為πr2+πr3R22+r2=94πR2，
則所得圓錐的表面積與球的表面積的比值為94πR24πR2=916，
故選：B.
【變式4-2】（2022春·福建漳州·高一期中）過半徑為2的球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的體積的比為（ ）
A．932B．916C．38D．316
【解題思路】根據(jù)垂徑定理可得所得截面的半徑，進而根據(jù)圓面積與球體積公式求得比值即可.
【解答過程】球的半徑R=2 ，設(shè)截面圓半徑為r，則R2=14R2+r2，∴r2=3
所得截面的面積與球的體積的比為πr243πR3=932.
故選：A.
【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）體積為183的正三棱錐A-BCD的每個頂點都在半徑為R的球O的球面上，球心O在此三棱錐內(nèi)部，且R:BC=2:3，點E為線段BD上一點，且DE=2EB，過點E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（ ）
A．[4π,12π]B．[8π,16π]C．[8π,12π]D．[12π,16π]
【解題思路】設(shè)BC=3a，則R=2a，設(shè)正三棱錐A-BCD的高為h,由題意求出先求出BC與R，再求出OE，即可求出所得截面圓面積的取值范圍.
【解答過程】設(shè)BC=3a，則R=2a，設(shè)正三棱錐A-BCD的高為h,
因為體積為183的正三棱錐A-BCD的每個頂點都在半徑為R的球O的球面上，
所以13×34×9a2h=183，所以h=24a2，
因為R2=h-R2+3a2，所以4a2=24a2-2a2+3a2，
所以a=2，所以BC=6,R=4，
因為點E為線段BD上一點，且DE=2EB，
所以△ODB中，OD=OB=4,DB=6，cs∠ODB=OD2+DB2-OB22OD·DB=34，
所以O(shè)E=16+16-2×4×4×34=22，
當OE⊥截面時，截面外接圓的半徑為16-8=22，其最小面積為S'=8π；
以O(shè)E所在的直線為直徑時，截面圓的半徑為4，截面圓的面積為S=16π.
所以所得的截面圓面積的取值范圍是[8π,16π].
故選：B．
【題型5 幾何體與球的切、接問題】
【方法點撥】
1.球外接于幾何體，則幾何體的各頂點均在球面上.解題時要認真分析圖形，一般需依據(jù)球和幾何體的對稱
性，明確接點的位置，根據(jù)球心與幾何體特殊點間的關(guān)系，確定相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面進行
求解.
2.解決幾何體的內(nèi)切球問題，應(yīng)先作出一個適當?shù)慕孛?一般作出多面體的對角面所在的截面)，這個截面應(yīng)
包括幾何體與球的主要元素，且能反映出幾何體與球的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.
【例5】（2022秋·江蘇淮安·高三階段練習）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1⊥底面ABC，AC＝BC＝2，AA1=4，點D在上底面A1B1C1（包括邊界）上運動，則三棱錐D-ABC的外接球表面積的范圍為（ ）
A．814π,24πB．9π,24π
C．24316π,24πD．24316π,86π
【解題思路】由條件確定球心位置，建立關(guān)于球的半徑的表達式，從而求出半徑的取值范圍即可.
【解答過程】如下圖所示：
因為△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=2，所以△ABC的外接球的截面圓心為AB的中點O1，且AO1=2，連接O1與A1B1的中點E，則O1E//AA1，所以O(shè)1E⊥面ABC.設(shè)球心為O，由球的截面性質(zhì)可知，O在O1E上，設(shè)OO1=x，DE=t0≤t≤2，半徑為R，因為OA=OD=R，所以2+x2=4-x2+t2，
所以t2=8x-14，又0≤t≤2，所以解得74≤x≤2.因為R2=2+x2，所以8116≤R2≤6，所以當R2=8116時，外接球表面積最小為4πR2=814π，當R2=6時，外接球表面積最大為4πR2=24π.所以三棱錐D-ABC的外接球表面積的范圍為814π,24π.
故選：A.
【變式5-1】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC=2，∠ABC=60°，將△ACD沿邊AC翻折，使點D翻折到P點，且PB=22，則三棱錐P-ABC外接球的表面積是（ ）
A．15πB．25πC．55πD．20π
【解題思路】在梯形ABCD中，利用已知條件求出三角形ADC和三角形ABC的邊長，分別取AB,AC的中點O',F，連接O'F,PF,BF，可證出PF⊥面ABC，由O'P20，則釘身的體積V=πr22x=64πx.
由已知加工前后體積不變，加工后體積為釘身與釘帽體積之和，其中釘身長度為20，底面圓半徑為r2=8，釘帽是以半徑r1=15的半球.
所以V=πr22×20+12×43πr13=1280π+2250π=3530πmm3.
所以64πx=3530π，解得x≈55，滿足條件.
所以釘身的長度為55mm.
【變式6-2】（2022·高二課時練習）如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高10cm，為了測得某個球的體積，小明將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為8cm，如果不計容器的厚度，求球的體積（精確到1cm3）.
【解題思路】先求出球的半徑，即可求出球的體積.
【解答過程】如圖所示：
設(shè)球的半徑為R,由勾股定理知,R2=R-22+52 ,解得R=294.
所以該球的體積為V=43πR3=43π2943≈1596cm3.
【變式6-3】（2022·高一課時練習）如圖，AB是一圓柱形樹樁的底面直徑，PA是圓柱的母線，且AB=PA=2，點C是圓柱底面圓周上的點．
(1)求該樹樁的側(cè)面積和體積；
(2)若AC=1，D是PB的中點，線有一只小蟲在點C，先在線段PA上鉆一個小洞，記為點E，若該小蟲要從點C鉆過小洞點E到達點D，要使得小蟲爬過的路徑最短，請你確定小洞點E的位置，并求出路徑的最小值．
【解題思路】（1）根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖即可求解側(cè)面積，根據(jù)體積公式即可求解體積，
（2）根據(jù)兩點之間距離最小，結(jié)合翻折轉(zhuǎn)為共面即可求解.
【解答過程】（1）
由題意得，圓柱的底面半徑為1，高為2，所以樹樁的側(cè)面積為2π×1×2=4π，樹樁的體積為π×12×2=2π．
（2）
路徑為CE+ED，
如圖，將△PAC繞PA所在直線旋轉(zhuǎn)到△PAC'的位置，使其與平面PAB共面，且C'在AB的反向延長線上．
此時C'D與PA的交點即為使CE+ED取得最小值的點E的位置，即小洞的位置．
∵PA=AB=2，∴∠PBA=π4，BD=12BP=2．
又BC'=BA+AC'=2+1=3，
∴在△C'BD中，由余弦定理得C'D=32+22-2×3×2×22=5，
∴CE+ED的最小值為5，即路徑的最小值為5．

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