1．分類變量
為了表述方便，我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機變量稱為
分類變量.分類變量的取值可以用實數(shù)表示.
2．2×2列聯(lián)表
假設兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{,}和{,}，其2×2列聯(lián)表為
2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).
3．等高堆積條形圖
常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征(如圖)，由此反映出兩個分類變量間是否相互影響.
(1)等高堆積條形圖中有兩個高度相同的矩形，每一個矩形中都有兩種顏色，
觀察下方顏色區(qū)域的高度，如果兩個高度相差比較明顯(即和相差很大)，就判定兩個分類
變量之間有關系.
(2)利用等高堆積條形圖雖可以比較各個部分之間的差異，明確展現(xiàn)兩個分類變量的關系，但不能知道
兩個分類變量有關系的概率大小.
4．獨立性檢驗
(1)假定通過簡單隨機抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如下表所示.
則.
(2)利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡
稱獨立性檢驗.
(3)獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值.
【題型1 列聯(lián)表的應用】
【方法點撥】
利用列聯(lián)表直接計算和，如果兩者相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關系的可能性較大.
【例1】（2023·全國·高二專題練習）假設有兩個分類變量x與y的2×2列聯(lián)表如下表：
對于以下數(shù)據(jù)，對同一樣本能說明x與y有關系的可能性最大的一組為（ ）
A．a(chǎn)=5，b=4，c=3，d=2B．a(chǎn)=5，b=3，c=4，d=2
C．a(chǎn)=2，b=3，c=4，d=5D．a(chǎn)=2，b=3，c=5，d=4
【變式1-1】（2022春·福建廈門·高二階段練習）在一次獨立性檢驗中，得出列聯(lián)表如圖：且最后發(fā)現(xiàn)，兩個分類變量A和B沒有任何關系，則a的可能值是（ ）
A．200B．720C．100D．180
單元測試）假設兩個分類變量X和Y，他們的取值分別為{x1,x2}和{y1,y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表如下：
對于以下數(shù)據(jù)，對同一樣本說明X與Y有關的可能性最大的一組是（ ）
A．a(chǎn)=10，b=5，c=8，d=6B．a(chǎn)=9，b=5，c=7，d=8
C．a(chǎn)=12，b=6，c=9，d=5D．a(chǎn)=12，b=8，c=6，d=7
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）假設有兩個分類變量X和Y的2×2列聯(lián)表如下：
注：K2的觀測值k=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=n(aa+c-bb+d)(aa+b-cc+d).對于同一樣本，以下數(shù)據(jù)能說明X和Y有關系的可能性最大的一組是（ ）
A．a(chǎn)=45,c=15B．a(chǎn)=40,c=20C．a(chǎn)=35,c=25D．a(chǎn)=30,c=30
【題型2 等高堆積條形圖的應用】
【方法點撥】
可以從等高堆積條形圖中直觀判斷列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，這種直觀判斷的不足之處在于不能直接給出推
斷“兩個分類變量有關系”犯錯誤的概率.
【例2】（2022春·吉林·高二階段練習）為了解戶籍性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機抽取了容量為100的調(diào)查樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)村戶籍各50人，男性40人，女性60人，繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖（如圖所示），其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對應比例，則關于樣本下列敘述中正確的是（ ）
A．是否傾向選擇生育二胎與戶籍無關
B．是否傾向選擇生育二胎與性別有關
C．傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同
D．傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)
【變式2-1】（2022春·全國·高二期末）觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個分類變量x，y之間的隨機變量χ2的觀測值最小的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式2-2】（2023·全國·高二專題練習）觀察下列各圖，其中兩個分類變量x，y之間關系最強的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式2-3】（2023·高二課時練習）為考查A，B兩種藥物預防某疾病的效果，進行動物實驗，分別得到如下等高條形圖：根據(jù)圖中信息，在下列各項中，說法最佳的一項是（ ）
A．藥物B的預防效果優(yōu)于藥物A的預防效果
B．藥物A的預防效果優(yōu)于藥物B的預防效果
C．藥物A，B對該疾病均有顯著的預防效果
D．藥物A，B對該疾病均沒有預防效果
【題型3 獨立性檢驗的應用】
【方法點撥】
可以利用獨立性檢驗來推斷兩個分類變量是否有關系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度.具體做法：
(1)根據(jù)實際問題需要的可信程度(或容許犯錯誤概率的上界)確定臨界值；
(2)利用公式，由觀測數(shù)據(jù)計算得到的值；
(3)對照臨界值表，即可得出結(jié)論.
【例3】（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）新型冠狀病毒感染，主要是由新型冠狀病毒引起的，典型癥狀包括干咳、發(fā)熱、四肢無力等，部分人群會伴有流鼻涕、拉肚子等癥狀.病人痊愈的時間個體差異也是比較大的，新型冠狀病毒一般2－6周左右能恢復.某興趣小組為進一步了解新型冠狀病毒恢復所需時間，隨機抽取了200名已痊愈的新型冠狀病毒患者（其中有男性100名，女性100名）進行調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下表所示：
若新型冠狀病毒患者在3周內(nèi)（含3周）痊愈，則稱患者“痊愈快”，否則稱患者“痊愈慢”.
(1)分別估計男、女新型冠狀病毒患者“痊愈快”的概率？
(2)完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為患者性別與痊愈快慢有關？
附：K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d.
【變式3-1】（2023春·河南安陽·高三階段練習）2021年7月24日中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發(fā)《關于進一步減輕義務教育階段學生作業(yè)負擔和校外培訓負擔的意見》（以下簡稱“雙減”），各省、市精心組織實施，強化目標管理，治理校外培訓行為.為了調(diào)查人們對“雙減”的滿意程度，抽取了男、女各25人對“雙減”的滿意度進行調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示.
(1)根據(jù)上表，如果隨機抽查1人，那么抽到此人對“雙減”滿意的概率是多少？抽到此人對“雙減”非常滿意且是女性的概率是多少？
(2)能否有99.9%的把握認為性別和滿意度有關？
附：K2=n(ad-bc)2(a+d)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.
【變式3-2】（2023·內(nèi)蒙古·模擬預測）國際足聯(lián)世界杯（FIFA Wrld Cup），簡稱“世界杯”，是由全世界國家級別球隊參與，象征足球界最高榮譽，并具有最大知名度和影響力的足球賽事.2022年卡塔爾世界杯共有32支球隊參加比賽，共有64場比賽.某社區(qū)隨機調(diào)查了街道內(nèi)男、女球迷各200名，統(tǒng)計了他們觀看世界杯球賽直播的場次，得到下面的列聯(lián)表：
(1)求a的值，并完成上述列聯(lián)表；
(2)若一名球迷觀看世界杯球賽直播的場次不少于32場比賽，則稱該球迷為“資深球迷”，請判斷能否有95%的把握認為該社區(qū)的一名球迷是否為“資深球迷”與性別有關.
參考公式：K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
參考數(shù)據(jù)：
【變式3-3】（2023春·湖南·高三階段練習）人們曾經(jīng)相信，藝術家將是最后被AⅠ所取代的職業(yè)，但技術的進步已經(jīng)將這一信念敲出了裂痕，這可能是AⅠ第一次引起人類的恐慌，由nval AⅠ，DALL－E2等軟件創(chuàng)作出來的給畫作品風格各異，乍看之下，已與人類繪畫作品無異，AⅠ會取代人類畫師嗎？某機構(gòu)隨機對60人進行了一次調(diào)查，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)認為會取代的有42人，30歲以下認為不會取代的有12人，占30歲以下調(diào)查人數(shù)的25．
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表：
(2)依據(jù)小概率值α=0.010的獨立性檢驗，能否認為年齡與理解情況有關？并說明原因．
參考公式：χ2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
【題型4 獨立性檢驗與統(tǒng)計知識的綜合應用】
【方法點撥】
獨立性檢驗與統(tǒng)計知識結(jié)合在一起考查是一個很好的結(jié)合點，解題的關鍵是正確從圖表中得到相關數(shù)據(jù).
【例4】（2023·全國·模擬預測）某省級綜合醫(yī)院共有1000名醫(yī)護員工參加防疫知識和技能競賽，其中男性450人，為了解該醫(yī)院醫(yī)護員工在防疫知識和技能競賽中的情況，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法從中抽取100名醫(yī)護員工的成績（單位：分）作為樣本進行統(tǒng)計，成績均分布在400~700分之間，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制的醫(yī)護員工成績的頻率分布直方圖如圖所示，將成績不低于600分的醫(yī)護員工稱為優(yōu)秀防疫員工
(1)求a的值，并估計該醫(yī)院醫(yī)護員工成績的平均數(shù)、中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
(2)若樣本中優(yōu)秀防疫員工有女性10人，完成下列2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，能否認為該醫(yī)院醫(yī)護員工的性別與是否為優(yōu)秀防疫員工有關聯(lián)？
(3)采用分層抽樣的方法從樣本中成績在450,500，600,700的醫(yī)護員工中抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記被抽取的3名醫(yī)護員工中優(yōu)秀防疫員工的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學期望.
附：χ2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
【變式4-1】（2023·高二單元測試）相關統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，中國經(jīng)常參與體育鍛煉的人數(shù)比例為37.2%，城鄉(xiāng)居民達到《國民體質(zhì)測定標準》合格以上的人數(shù)比例達到90%以上．某市一健身連鎖機構(gòu)對其會員進行了統(tǒng)計，制作成如下兩個統(tǒng)計圖，圖1為會員年齡分布圖（年齡為整數(shù)），圖2為會員一個月內(nèi)到健身房次數(shù)分布扇形圖．
若將會員按年齡分為“年輕人”（20歲-39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或40歲及以上）兩類，將一個月內(nèi)到健身房鍛煉16次及以上的會員稱為”健身達人”，15次及以下的會員稱為“健身愛好者”，且已知在“健身達人”中有56是“年輕人”．
(1)現(xiàn)從該健身連鎖機構(gòu)會員中隨機抽取一個容量為100的樣本，根據(jù)圖的數(shù)據(jù)，補全下方2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“健身達人”與年齡有關？
附：
K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d
(2)將（1）中相應的頻率作為概率，該健身連鎖機構(gòu)隨機選取3名會員進行回訪，設3名會員中既是“年輕人”又是“健身達人”的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望．
【變式4-2】（2023春·河南安陽·高三階段練習）某超市為改善某產(chǎn)品的銷售狀況并制訂銷售策略，統(tǒng)計了過去100天該產(chǎn)品的日銷售收入（單位：萬元）并分成六組制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求a的值并估計過去100天該產(chǎn)品的日銷售收入的平均值x；（同一區(qū)間數(shù)據(jù)以中點值作代表）
(2)該超市過去100天中有30天將該商品降價銷售，在該商品降價的30天中有18天該產(chǎn)品的日銷售收入不低于0.6萬元，判斷能否有97.5%的把握認為該商品的日銷售收入不低于0.6萬元與該日是否降價有關.
附：K2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
【變式4-3】（2023秋·浙江嘉興·高三期末）為積極響應“反詐”宣傳教育活動的要求，某企業(yè)特舉辦了一次“反詐”知識競賽，規(guī)定：滿分為100分，60分及以上為合格.該企業(yè)從甲?乙兩個車間中各抽取了100位職工的競賽成績作為樣本.對甲車間100位職工的成績進行統(tǒng)計后，得到了如圖所示的成績頻率分布直方圖.
(1)估算甲車間職工此次“反詐”知識競賽的合格率；
(2)若將頻率視為概率，以樣本估計總體.從甲車間職工中，采用有放回的隨機抽樣方法抽取3次，每次抽1人，每次抽取的結(jié)果相互獨立，記被抽取的3人次中成績合格的人數(shù)為X.求隨機變量X的分布列；
(3)若乙車間參加此次知識競賽的合格率為60%，請根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為此次職工“反計”知識競賽的成績與其所在車間有關?
2×2列聯(lián)表
附參考公式：①χ2=n(ad-bc)2a+cb+da+bc+d，其中n=a+b+c+d.
②獨立性檢驗臨界值表
y1
y2
x1
a
b
x2
c
d
A
A
合計
B
200
800
1000
B
180
a
180+a
合計
380
800+a
1180+a
y1
y2
總計
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
總計
a+c
b+d
a+b+c+d
痊愈周數(shù)
性別
1周
2周
3周
4周
5周
6周
大于6周
男性
4
50
24
12
6
2
2
女性
2
40
22
16
10
6
4
痊愈快慢
性別
痊愈快
痊愈慢
總計
男性
女性
總計
PK2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
滿意
非常滿意
合計
男性
18
7
25
女性
6
19
25
合計
24
26
50
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
少于32場比賽
不少于32場比賽
總計
男球迷
a+20
a+20
女球迷
a+40
a
總計
PK2≥k0
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
年齡
理解情況
總計
會取代
不會取代
30歲以下
12
30歲及以上
總計
42
60
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
優(yōu)秀防疫員工
非優(yōu)秀防疫員工
合計
男
女
合計
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
年輕人
非年輕人
合計
健身達人
健身愛好者
合計
PK2≥k0
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
PK2≥k0
0.050
0.025
0.010
k0
3.841
5.024
6.635
甲車間
乙車間
合計
合格人數(shù)
不合格人數(shù)
合計
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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