1．頻率與概率
(1)頻率與概率的區(qū)別
(2)頻率的特點(diǎn)
隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生具有不確定性，但是，在相同條件下的大量重復(fù)試驗(yàn)中，它發(fā)生的頻
率有以下特點(diǎn).
①在某次隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率是一個(gè)變量，事先是無法確定的.但在大量重復(fù)試驗(yàn)后，它又
具有穩(wěn)定性，即頻率在某個(gè)“常數(shù)”附近擺動(dòng)，并且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，擺動(dòng)的幅度具有越來越小的趨勢(shì).
②有時(shí)候試驗(yàn)也可能出現(xiàn)頻率偏離“常數(shù)”較大的情況，但是隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率偏離“常數(shù)”的可
能性會(huì)減小.
③個(gè)別隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，但在大量試驗(yàn)中，它出現(xiàn)的次數(shù)與總試驗(yàn)次數(shù)
之比常常是比較穩(wěn)定的.這種現(xiàn)象稱為頻率的穩(wěn)定性，是隨機(jī)事件內(nèi)在規(guī)律性的反映.
(3)頻率的穩(wěn)定性(用頻率估計(jì)概率)
大量試驗(yàn)表明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.一般地，隨著
試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的
概率P(A).我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率(A)估計(jì)概率P(A).
2．生活中的概率
(1)游戲的公平性
在各類游戲中，如果每個(gè)游戲參與者獲勝的概率相等，那么游戲是公平的.例如，在體育比賽中，裁判
員用抽簽器決定兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員誰先發(fā)球，兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員獲得發(fā)球權(quán)的概率均為0.5，所以這個(gè)規(guī)則是公平的.
(2)天氣預(yù)報(bào)的概率解釋
天氣預(yù)報(bào)是氣象專家依據(jù)氣象觀測(cè)資料和氣象學(xué)理論以及專家們的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過分析推斷得到的.天
氣預(yù)報(bào)的概率屬于主觀概率，這是因?yàn)樵诂F(xiàn)有的條件下，不能對(duì)“天氣”做多次重復(fù)試驗(yàn)，進(jìn)行規(guī)律的總結(jié)，因此，在天氣預(yù)報(bào)中所提及的概率和我們前面通過頻率穩(wěn)定性來定義的概率并不一樣.
另外，天氣預(yù)報(bào)中降水概率的大小只能說明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次試驗(yàn)中“降水”這個(gè)事件是否發(fā)生仍然是隨機(jī)的.例如，天氣預(yù)報(bào)說“明天降水的概率為90%”，盡管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是隨機(jī)事件，因此明天仍然有可能不下雨.
3．隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生
(1) 隨機(jī)數(shù)的定義
隨機(jī)數(shù)就是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)相等.
(2)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法
①利用抽簽法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)
要產(chǎn)生1n(n∈)之間的隨機(jī)整數(shù)，把n個(gè)大小、形狀相同的小球分別標(biāo)上1，2，3，，n放入一
個(gè)袋中，把它們充分?jǐn)嚢?，然后從中摸出一個(gè)球，這個(gè)球上的數(shù)就稱為隨機(jī)數(shù).
②利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)
計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)是依照確定算法產(chǎn)生的數(shù)，具有周期性(周期很長)，它們具有類似隨機(jī)數(shù)
的性質(zhì).因此，計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生的并不是真正的隨機(jī)數(shù)，我們稱它們?yōu)閭坞S機(jī)數(shù).
(3)用隨機(jī)模擬法估計(jì)概率
①隨機(jī)模擬法產(chǎn)生的必要性
用頻率估計(jì)概率時(shí)，需做大量的重復(fù)試驗(yàn)，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，并且有些試驗(yàn)具有破壞性，有些試驗(yàn)無法進(jìn)行，
因而隨機(jī)模擬試驗(yàn)就成為一種重要的方法，它可以在短時(shí)間內(nèi)多次重復(fù).
②隨機(jī)模擬法估計(jì)概率的思想
隨機(jī)模擬法是通過將一次試驗(yàn)所有可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)字化，用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)來替代每
次試驗(yàn)的結(jié)果.其基本思想是，用產(chǎn)生整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)的頻率估計(jì)事件發(fā)生的概率.
③隨機(jī)模擬法的優(yōu)點(diǎn)
不需要對(duì)試驗(yàn)進(jìn)行具體操作，是一種簡(jiǎn)單、實(shí)用的科研方法，可以廣泛地應(yīng)用到生產(chǎn)生活的各個(gè)領(lǐng)域
中去.
④隨機(jī)模擬法的步驟
建立概率模型；進(jìn)行模擬試驗(yàn)(可用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)進(jìn)行)；統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果.
【題型1 頻率與概率的區(qū)別與特點(diǎn)】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)頻率與概率的區(qū)別，頻率的穩(wěn)定性等基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)行求解即可.
【例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）以下說法正確的是（ ）
A．概率與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)B．在試驗(yàn)前無法確定概率
C．頻率與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)D．頻率是在試驗(yàn)后得到的
【變式1-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）個(gè)
①有一批產(chǎn)品的次品率為0.05，則從中任意取出200件產(chǎn)品中必有10件是次品；
②拋100次硬幣，結(jié)果51次出現(xiàn)正面，則出現(xiàn)正面的概率是0.51；
③隨機(jī)事件發(fā)生的概率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率；
④擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)為6的結(jié)果有20次，則出現(xiàn)6點(diǎn)的頻率為0.2.
A．1B．2C．3D．4
【變式1-2】（2022秋·河北保定·高二階段練習(xí)）拋擲一枚硬幣100次，正面向上的次數(shù)為48次，下列說法正確的是（ ）
A．正面向上的概率為0.48B．反面向上的概率是0.48
C．正面向上的頻率為0.48D．反面向上的頻率是0.48
【變式1-3】（2022·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）考慮擲硬幣試驗(yàn)，設(shè)事件A=“正面朝上”，則下列論述正確的是（ ）
A．?dāng)S2次硬幣，事件“一個(gè)正面，一個(gè)反面”發(fā)生的概率為13
B．?dāng)S8次硬幣，事件A發(fā)生的次數(shù)一定是4
C．重復(fù)擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率等于事件A發(fā)生的概率
D．當(dāng)投擲次數(shù)足夠多時(shí)，事件A發(fā)生的頻率接近0.5
【題型2 頻率估計(jì)概率在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
此類題目的解題方法是：先利用頻率的計(jì)算公式依次計(jì)算出各個(gè)頻率，然后根據(jù)頻率與概率的關(guān)系估計(jì)事
件發(fā)生的概率，據(jù)此得出統(tǒng)計(jì)推斷.
【例2】（2022秋·陜西榆林·高二階段練習(xí)）從某高校隨機(jī)抽樣100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的樣本數(shù)據(jù)，整理得到樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：0,2,2,4,4,6，6,8,8,10,10,12,12,14．
(1)求這100名學(xué)生中該周課外閱讀時(shí)間在8,10范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)；
(2)估計(jì)該校學(xué)生每周課外閱讀時(shí)間超過6小時(shí)的概率．
【變式2-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）某超市從2019年甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的數(shù)據(jù)中分別隨機(jī)抽取100個(gè)，并按0,10，10,20，20,30，30,40，40,50分組，得到頻率分布直方圖如下，假設(shè)甲、乙兩種酸奶的日銷售量相互獨(dú)立.
（1）寫出頻率分布直方圖（甲）中的a的值；記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量（單位：箱）的方差分別為s12，s22，試比較s12與s22的大小；（只需寫出結(jié)論）
（2）用頻率估計(jì)概率，求在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰有一個(gè)高于20箱的概率.
【變式2-2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某校高三分為四個(gè)班.調(diào)研測(cè)試后，隨機(jī)地在各班抽取部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)，各班被抽取的學(xué)生數(shù)依次為22，22+d，22+2d，22+3d人．抽取出來的所有學(xué)生的測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的頻率分布條形圖如圖所示，其中120~130（包括120分但不包括130分）的頻率為0.05，此分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為5人.
(1)問各班被抽取的學(xué)生人數(shù)各為多少人？
(2)在抽取的所有學(xué)生中，任取一名學(xué)生，求分?jǐn)?shù)不小于90分的概率．
【變式2-3】（2023秋·北京平谷·高二期末）某高中高一500名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：20,30，30,40，…，80,90，并整理得到頻率分布直方圖如圖所示．
(1)從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于60的概率；
(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50內(nèi)的人數(shù)；
(3)估計(jì)隨機(jī)抽取的100名學(xué)生分?jǐn)?shù)的眾數(shù)，估計(jì)測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)；
(4)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例．
【題型3 游戲公平性的判斷】
【方法點(diǎn)撥】
無論是怎樣的游戲，游戲公平與否就是看參與游戲的每個(gè)個(gè)體獲勝的概率是否相同，相同則公平，不相同
則不公平.
【例3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）甲、乙兩人做游戲，下列游戲中不公平的是（ ）
A．拋一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)則甲勝，向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)則乙勝
B．同時(shí)拋兩枚相同的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和大于7則甲勝，否則乙勝
C．從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色則甲勝，是黑色則乙勝
D．甲、乙兩人各寫一個(gè)數(shù)字，若是同奇或同偶則甲勝，否則乙勝
【變式3-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）張明與張華兩人做游戲,下列游戲中不公平的是( )
①拋擲一枚骰子,向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)則張明獲勝,向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)則張華獲勝;
②同時(shí)拋擲兩枚硬幣,恰有一枚正面向上則張明獲勝,兩枚都正面向上則張華獲勝;
③從一副不含大小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色的則張明獲勝,撲克牌是黑色的則張華獲勝;
④張明、張華兩人各寫一個(gè)數(shù)字6或8,如果兩人寫的數(shù)字相同張明獲勝,否則張華獲勝.
A．①②B．②C．②③④D．①②③④
【變式3-2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下面有三種游戲規(guī)則：袋子中分別裝有大小相同的球，從袋中取球．
其中不公平的游戲是（ ）
A．游戲1；B．游戲1和游戲3；C．游戲2；D．游戲3．
【變式3-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩人做游戲,下列游戲不公平的是( )
A．拋擲一枚骰子,向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)則甲獲勝,向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)則乙獲勝
B．同時(shí)拋擲兩枚硬幣,恰有一枚正面向上則甲獲勝,兩枚都正面向上則乙獲勝
C．從一副不含大小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色的則甲獲勝,撲克牌是黑色的則乙獲勝
D．甲、乙兩人各寫一個(gè)數(shù)字1或2,如果兩人寫的數(shù)字相同甲獲勝,否則乙獲勝
【題型4 概率模擬問題】
【方法點(diǎn)撥】
求解概率模擬問題的注意點(diǎn)
(1)選擇適當(dāng)?shù)奶娲?，因?yàn)樘娲锏倪x取是否合理決定了試驗(yàn)結(jié)果的可信度，因此在用替代物模擬試驗(yàn)中，
要求必須在相同條件下進(jìn)行.
(2)用計(jì)算機(jī)(器)模擬試驗(yàn)時(shí)對(duì)隨機(jī)數(shù)范圍的確定.例如，有20張大小相同的卡片，分別寫有1~20的數(shù)，從
中隨機(jī)抽取一張，求結(jié)果是5的倍數(shù)的概率，在這種情況下，隨機(jī)數(shù)的范圍應(yīng)是1~20內(nèi)的整數(shù).
【例4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“本市未來三天降雨的概率都為30%”，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)未來三天降雨的情況：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9，0表示不降雨；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三天降雨的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：
907 966 191 925 271 932 815 458 569 683
431 257 393 027 556 481 730 113 537 989
據(jù)此估計(jì)，未來三天恰有一天降雨的概率為（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【變式4-1】（2022秋·湖北·高二期中）在一個(gè)實(shí)驗(yàn)中，某種豚鼠被感染A病毒的概率均為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)三只豚鼠中被感染的概率：先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生出[0，9]之間整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示沒有被感染.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
據(jù)此估計(jì)三只豚鼠中至少一只被感染的概率為（ ）.
A．0.25B．0.4C．0.6D．0.75
【變式4-2】（2023秋·陜西榆林·高二期末）天氣預(yù)報(bào)說，在今后的三天中，每天下雨的概率都為60%．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生了10組隨機(jī)數(shù)為180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．據(jù)此估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率近似為（ ）
A．35B．25C．12D．710
【變式4-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）某種心臟手術(shù)，成功率為0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率：先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.6，我們用0，1，2，3表示手術(shù)不成功，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功；再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
頻率
本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)之前是無法確定的，在相同的條件下做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)，得到的事件的頻率也可能會(huì)不同.
概率
本身是一個(gè)在[0,1]內(nèi)的確定值，不隨試驗(yàn)結(jié)果的改變而改變.
舉例辨析
例如，在相同條件下擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1000次，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)是521，則正面向上的頻率（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一個(gè)客觀常數(shù)，
游戲1
游戲2
游戲3
3個(gè)黑球和1個(gè)白球
1個(gè)黑球和1個(gè)白球
2個(gè)黑球和2個(gè)白球
取1個(gè)球，再取1個(gè)球
取1個(gè)球
取1個(gè)球，再取1個(gè)球
取出兩個(gè)球同色→甲勝
取出的球是黑球→甲勝
取出的兩個(gè)球同色→甲勝
取出的兩個(gè)球不同色→乙勝
取出的球是白球→乙勝
取出的兩個(gè)球不同色→乙勝

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