1．排列
(1)排列的定義
一般地，從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n
個不同元素中取出m個元素的一個排列.
(2)排列概念的理解
①排列的定義中包含兩個基本內(nèi)容，一是取出元素；二是按照一定的順序排列.
②兩個排列相同的條件：元素完全相同；元素的排列順序也相同.
③定義中“一定的順序”就是說排列與位置有關(guān)，在實際問題中，要由具體問題的性質(zhì)和條件進(jìn)行判斷，
這一點要特別注意.
(3)排列的判斷
判斷一個問題是不是排列問題的關(guān)鍵：判斷是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)且是從n個不同的元素中任
取m(mn，n,m∈)個元素的問題就是排列問題，否則就不是排列問題.而檢驗一個問題是否與順序有關(guān)
的依據(jù)就是變換不同元素的位置，看其結(jié)果是否有變化，若有變化就與順序有關(guān)，就是排列問題；若沒有
變化，就與順序無關(guān)，就不是排列問題.
2．排列數(shù)
(1)排列數(shù)定義
從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出
m個元素的排列數(shù)，用符號表示.
(2)排列數(shù)公式
=n(n-1)(n-2)(n-m+1).這里，n,m∈，并且mn.
(3)排列數(shù)公式的理解
①排列數(shù)公式推導(dǎo)的思路：第1步，排第1個位置的元素，有n種排法；第2步，排第2個位置的元
素，有(n-1)種排法；第3步，排第3個位置的元素，有(n-2)種排法；；第m步，排第m個位置的元素，有(n-m+1)種排法.因此，由分步乘法計數(shù)原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)種不同的排法.
②排列數(shù)公式的特征：第一個因數(shù)是n，后面每一個因數(shù)比它前面一個因數(shù)少1，最后一個因數(shù)是n-m+1，共有m個因數(shù).
3．全排列和階乘
(1)全排列
特別地，我們把n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，這時公式中m=n，
即有=n×(n-1)×(n-2)××3×2×1.
(2)階乘
正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示將n個不同的元素全部取出的排列數(shù)可以寫成=n!，
規(guī)定0!=1.
(3)排列數(shù)公式的階乘表示
==.
4．組合
(1)組合的定義
一般地，從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m
個元素的一個組合.
(2)組合概念的理解
①組合的概念中有兩個要點：要求n個元素是不同的；“只取不排”，即取出的m個元素與順序無關(guān)，
無序性是組合的特征性質(zhì).
②兩個組合相同：只要兩個組合中的元素完全相同，無論元素的順序如何，都是相同的組合.
(3)排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別
聯(lián)系：都是從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素.
區(qū)別：排列是把取出的元素按順序排成一列，它與元素的順序有關(guān)系，而組合只要把元素取出來就可
以，取出的元素與順序無關(guān).可總結(jié)為：有序排列，無序組合.
5．組合數(shù)與組合數(shù)公式
(1)組合數(shù)
從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出
m個元素的組合數(shù)，用符號表示.
(2)組合數(shù)公式
①連乘表示：
==.
這里，n,m∈，并且mn.
②階乘表示：=.
規(guī)定：=1.
6．組合數(shù)的性質(zhì)
(1)性質(zhì)1：=
這個性質(zhì)反映了組合數(shù)的對稱性，其實際意義：從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素后，
剩下(n-m)個元素，因而從n個不同元素中取m個元素的組合，與剩下的(n-m)個元素的組合是一一對應(yīng)的，因此取法是一樣多的.
利用這個性質(zhì)，當(dāng)m>時，我們可以不直接計算，而是改為計算，這樣可以簡化運算.
(2)性質(zhì)2：=+
這個性質(zhì)可以理解為分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用，在確定從(n+1)個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素時，對于某一個特定元素，只存在取與不取兩種情況，如果取這個元素，則只需從剩下的n個元素中再取(m-1)個元素，有種取法；如果不取這個元素，則需從剩下的n個元素中取出m個元素，有種取法.
由分類加法計數(shù)原理可得：=+.
在應(yīng)用中，要注意這個性質(zhì)的變形、逆用等.
【題型1 有關(guān)排列數(shù)的計算與證明】
【方法點撥】
解有關(guān)排列數(shù)的方程或不等式的步驟：
轉(zhuǎn)化：將有關(guān)排列數(shù)的方程或不等式轉(zhuǎn)化為普通方程或不等式；
求解：求轉(zhuǎn)化后的普通方程或不等式解或解集；
檢驗：代入原方程或原不等式中檢驗，尤其注意條件n,m∈，并且mn對未知數(shù)取值的限制.
【例1】（2022春·重慶永川·高二階段練習(xí)）計算：
(1)A63；
(2)解方程5A4x=6A5x-1．
【變式1-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）解不等式：3Ax+22+12Ax2≤11Ax+12；
（2）解方程：A2x+14=140Ax3．
【變式1-2】（2022·高二課時練習(xí)）解下列方程：
(1)A2x+14=140Ax3；
(2)3A8x=4A9x-1.
【變式1-3】（2022·高二課時練習(xí)）解下列方程或不等式．
(1)3A8x=4A9x-1
(2)Ax-22+x≥2
【題型2 有關(guān)組合數(shù)的計算與證明】
【方法點撥】
利用組合數(shù)公式以及組合數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
【例2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）若C28x=C282x-8，求x的值；
（2）求C43+C53+?+C103的值.
【變式2-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）求值：C3n38-n+C21+n3n
（2）求關(guān)于n的不等式7Cn4>5Cn6的解集．
【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）已知1C5m-1C6m=710C7m，求C7m+C7m+1+C8m+2+C9m+3+C10m+4的值（用數(shù)字作答）；
（2）已知Cnx=Cn2x,Cnx+1=113Cnx-1,試求x，n的值．
【變式2-3】（2023·高二課時練習(xí)）（1）求證：Cnm=m+1n-mCnm+1；
（2）求證：Cnm-1+Cnn-m+Cn+1n-m+Cn+2n-m+Cn+3n-m=Cn+4n-m+1；
（3）若m、n、r均為正整數(shù)，試證明：Cn+mr=Cn0Cmr+Cn1Cmr-1+Cn2Cmr-2+???+CnrCm0．
【題型3 無限制條件的排列問題】
【方法點撥】
求解排列問題時，正確理解題意是最關(guān)鍵的一步，要善于把題目中的文字語言翻譯成排列的相關(guān)術(shù)語；正
確運用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理也是十分重要的；還要注意分類時不重不漏，分步時只有依
次做完各個步驟，事情才算完成.
【例3】（2022秋·吉林四平·高二階段練習(xí)）從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓(xùn)、管理三項不同的工作，則選派方案共有（ ）
A．60種B．80種C．100種D．120種
【變式3-1】（2022春·重慶沙坪壩·高二階段練習(xí)）從5本不同的書中選兩本送給2名同學(xué)，每人一本，則不同的送書方法的種數(shù)為（ ）
A．5B．10C．20D．60
【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）一個火車站有8股岔道，每股道只能停放1列火車，現(xiàn)需停放4列不同的火車，則不同的停放方法共有（ ）
A．84種B．48種C．C84種D．A84種
【變式3-3】（2022·全國·高二專題練習(xí)）從4名大學(xué)生中選三個人分配到鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學(xué)進(jìn)行支教，若每個村小學(xué)分配1名大學(xué)生，不同的分配方法數(shù)為（ ）
A．120B．24C．48D．6
【題型4 有限制條件的排列問題】
【方法點撥】
在解有限制條件的排列應(yīng)用題時，先分析限制條件有哪些，哪些是特殊元素，哪些是特殊位置，當(dāng)限制條
件較多時，要抓住關(guān)鍵條件(主要矛盾)，通過正確分類、分步，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為基本問題.
【例4】（2022·高二課時練習(xí)）某同學(xué)有7本不同的書，其中語文書2本?英語書2本?數(shù)學(xué)書3本.現(xiàn)在該同學(xué)把這7本書放到書架上排成一排，要求2本語文書相鄰?2本英語書相鄰?3本數(shù)學(xué)書中任意2本不相鄰，則不同的排法種數(shù)（ ）
A．12B．24C．48D．720
【變式4-1】（2022·高二課時練習(xí)）五聲音階是中國古樂的基本音階，五個音分別稱為宮?商?角?徵?羽，如果將這五個音排成一排，宮?羽兩個音不相鄰，且位于角音的同側(cè)，則不同的排列順序有（ ）
A．20種B．24種C．32種D．48種
【變式4-2】（2022春·上海浦東新·高二期中）記者要為4名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相鄰，不同的排法共有（ ）
A．960種B．720種C．480種D．240種
【變式4-3】（2022春·湖南衡陽·高二階段練習(xí)）在某場新冠肺炎疫情視頻會議中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控專家輪流發(fā)言，其中甲必須排在前兩位，丙、丁必須排在一起，則四位專家的不同發(fā)言順序共有（ ）
A．12種B．8種C．6種D．4種
【題型5 組合問題】
【方法點撥】
(1)特殊元素問題：若要選取的元素中有特殊元素，則要以有無特殊元素及有多少特殊元素作為分類依據(jù).
(2)含有“至多”“至少”的問題：要分清限制語句中所包含的情況，可以此作為分類依據(jù)，或采用間接法求解.
(3)分類討論思想的應(yīng)用：解題的過程中要善于利用分類討論思想，將復(fù)雜問題分類表達(dá)，逐類求解.
【例5】（2022·全國·高三專題練習(xí)）新課程改革后，普通高校招生方案規(guī)定：每位考生從物理、化學(xué)、生物、地理、政治、歷史六門學(xué)科中隨機(jī)選三門參加考試，某省份規(guī)定物理或歷史至少選一門，那么該省份每位考生的選法共有（ ）
A．14種B．15種C．16種D．17種
【變式5-1】（2022春·黑龍江佳木斯·高二期末）北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合，是一次現(xiàn)代設(shè)計理念的傳承與突破．為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，某學(xué)校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉祥物安裝在學(xué)校的體育廣場，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，且每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為（ ）
A．8B．10C．12D．14
【變式5-2】（2022春·河北衡水·高二階段練習(xí)）將編號為1、2、3、4、5、6的六個小球放入編號為1、2、3、4、5、6的六個盒子，每個盒子放一個小球，若有且只有三個盒子的編號與放入的小球編號相同，則不同的放法總數(shù)是（ ）
A．20B．40C．68D．96
【變式5-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）今年中國空間站將進(jìn)入到另一個全新的階段—正式建造階段，首批參加中國空間站建造的6名航天員，將會分別搭乘著神舟十四號和神舟十五號載人飛船，接連去往中國空間站，并且在上面“會師”.中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙. 假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙安排2人，夢天實驗艙安排1人.若甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實驗，則不同的安排方案共有（ ）
A．44種B．48種C．60種D．50種
【題型6 排列、組合的綜合問題】
【方法點撥】
解決先選后排問題,應(yīng)遵循三大原則：
(1)先特殊后一般；(2)先組合后排列；(3)先分類后分步.
【例6】（2022春·黑龍江哈爾濱·高二階段練習(xí)）4月1日，根據(jù)當(dāng)前疫情防控工作需要，定州市新冠肺炎疫情防控工作總指揮部發(fā)布通告，要求我市全域內(nèi)除特殊人員外，所有人員保持居家，不出小區(qū)（村）等待全員核酸檢測．為了保障廣大居民的生活需要，某小區(qū)征集了多名志愿者，現(xiàn)有5名志愿者承包A，B，C三棟居民樓，每位志愿者負(fù)責(zé)一棟樓，且每棟樓至少一名志愿者，則分派方法的種數(shù)為（ ）
A．90B．150C．180D．300
【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會共計有7大項?15個分項以及109個小項目，其中北京承辦所有冰上項目，延慶和張家口承辦所有的雪上項目北京成為奧運史上第一個舉辦過夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會的城市.現(xiàn)有4名同學(xué)要報名參加冰雪興趣小組，要求雪上項目和冰上項目都至少有1人參加，則不同的報名方案有（ ）
A．8B．14C．6D．20
【變式6-2】（2022秋·吉林長春·高二階段練習(xí)）消除貧困、改善民生、逐步實現(xiàn)共同富裕，是社會主義的本質(zhì)要求，是中國共產(chǎn)黨的重要使命．某中學(xué)積極參與脫貧攻堅戰(zhàn)，決定派6名教師到A、B、C、D、E五個貧困山區(qū)支教，每位教師去一個地方，每個地方至少安排一名教師前去支教學(xué)校考慮到教師甲的家鄉(xiāng)在山區(qū)A，決定派教師甲到山區(qū)A，同時考慮到教師乙與丙為同一學(xué)科，決定將教師乙與丙安排到不同山區(qū)，則不同安排方法共有（ ）
A．120種B．216種C．336種D．360種
【變式6-3】（2022秋·遼寧·高三階段練習(xí)）為了提高教學(xué)質(zhì)量，需要派5位教研員去某地重點高中進(jìn)行教學(xué)調(diào)研，現(xiàn)知該地有3所重點高中，每個教研員只能去1所學(xué)校調(diào)研，則下列說法錯誤的個數(shù)是（ ）
①不同的調(diào)研方案有243種
②若每所重點高中至少去一位教研員，則不同的調(diào)研安排方案有150種
③若每所重點高中至少去一位教研員，至多去兩位教研員，則不同調(diào)研安排方案有60種
④若每所重點高中至少去一位教研員且甲?乙兩位教研員不去同一所高中，則不同調(diào)研安排方案有114種
A．1個B．2個C．3個D．0個

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