1．向量的數(shù)量積
(1)向量數(shù)量積的物理背景
在物理課中我們學(xué)過功的概念：如果一個物體在力的作用下產(chǎn)生位移，那么力所做的功W=||||，其中是與的夾角.
我們知道力和位移都是矢量，而功是一個標(biāo)量(數(shù)量).這說明兩個矢量也可以進(jìn)行運算，并且這個運算明顯不同于向量的數(shù)乘運算，因為數(shù)乘運算的結(jié)果是一個向量，而這個運算的結(jié)果是數(shù)量.
(2)向量的夾角
已知兩個非零向量,，如圖所示，O是平面上的任意一點，作=，=，則∠AOB= (0≤≤
π)叫做向量與的夾角，也常用表示.

(3)兩個向量數(shù)量積的定義
已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量||||叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即=||||.
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0=0.
(4)向量的投影
如圖，設(shè)，是兩個非零向量，=，=，我們考慮如下的變換：過的起點A和終點B，
分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.

2．向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律
(1)向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)，是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則
①==.
②=0.
③當(dāng)與同向時，=；當(dāng)與反向時，=-.
特別地，==或=.
④|a|，當(dāng)且僅當(dāng)向量，共線，即∥時，等號成立.
⑤=.
(2)向量數(shù)量積的運算律
由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運算律成立：
對于向量，，和實數(shù)，有
①交換律：=；
②數(shù)乘結(jié)合律：()= ()=()；
③分配律：(+)=+.
3．向量數(shù)量積的常用結(jié)論
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，當(dāng)且僅當(dāng)與同向共線時右邊等號成立，與反向共線時左邊等
號成立.
以上結(jié)論可作為公式使用.
【題型1 向量的投影】
【方法點撥】
根據(jù)向量的投影的定義，結(jié)合具體條件，進(jìn)行求解即可.
【例1】（2022·安徽·校聯(lián)考二模）已知單位向量a,b滿足a+b=3，則a在b上的投影向量為（ ）
A．a(chǎn)B．12aC．12bD．b
【變式1-1】（2022春·湖北·高二階段練習(xí)）已知|a|=3,|b|=5，設(shè)a,b的夾角為120°，則b在a上的投影向量是（ ）
A．56aB．536aC．-56aD．-536a
【變式1-2】（2022春·遼寧沈陽·高三階段練習(xí)）已知平面向量a,b滿足|a|=2,a?b=4，則b在a方向上的投影向量為（ ）
A．12aB．12bC．a(chǎn)D．b
【變式1-3】（2022·高一課時練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD=120°，AB=CD，則向量CD在向量AB上的投影向量為（ ）
A．-32ABB．-12ABC．12ABD．32AB
【題型2 向量數(shù)量積的計算】
【方法點撥】
解決向量數(shù)量積的計算問題，要充分利用圖形特點及其含有的特殊向量，這里的特殊向量主要指具有特殊
夾角或已知長度的向量.對于以圖形為背景的向量數(shù)量積的題目，解題時要充分把握圖形的特征.
【例2】（2022·四川·高三統(tǒng)考對口高考）已知向量a與向量b的夾角為60°，a=4，b=5，則a?b=（ ）
A．20B．10C．53D．52
【變式2-1】（2022春·吉林四平·高三期末）已知向量a，b滿足|a=2，b|=3，且a與b的夾角為π6，則a+b?2a-b=（ ）
A．6B．8C．10D．14
【變式2-2】（2022·四川自貢·統(tǒng)考一模）在△ABC中，∠C=90°，CB=3，點M在邊AB上，且滿足BM=2MA，則CM?CB=（ ）
A．43B．3C．6D．8
【變式2-3】（2022春·江蘇徐州·高三學(xué)業(yè)考試）如圖，在邊長為3的正△ABC中，D，E分別在AC，AB上，且AEEB=CDDA=12，則DE?BC=（ ）
A．93-12B．92-12C．-92D．92
【題型3 求向量的夾角（夾角的余弦值）】
【方法點撥】
求兩非零向量的夾角或其余弦值一般利用夾角公式=求解.
【例3】（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）已知向量m，n滿足m=n=2，且m?n=-22，則m，n夾角為（ ）
A．π6B．π4C．3π4D．5π6
【變式3-1】（2022春·云南曲靖·高三階段練習(xí)）已知|a|=1,|b|=2,a?b=-12，則csa,a-2b=（ ）
A．0B．21111C．21313D．21919
【變式3-2】（2022·全國·模擬預(yù)測）已知向量a，b滿足a=1，a+2b=7，a-b=192，則a,b=（ ）
A．π2B．3π4C．π3D．2π3
【變式3-3】（2022秋·山東聊城·高一期中）已知|a|=2,|b|=2,e是與向量b方向相同的單位向量，向量a在向量b上的投影向量為-e，則a與b的夾角為（ ）
A．45°B．60°C．120°D．135°
【題型4 已知向量的夾角求參數(shù)】
【方法點撥】
根據(jù)題目條件，借助向量的夾角公式=，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
【例4】（2022秋·甘肅蘭州·高一期中）已知i,j為互相垂直的單位向量，a=-i+2j,b=3i-λ-4j，且a與a-b的夾角為銳角，則λ的取值范圍為（ ）
A．0,+∞B．0,10∪10,+∞
C．-∞,0D．-∞,-2∪-2,0
【變式4-1】（2022·高一單元測試）已知△ABC是正三角形,若a=AC-λAB與向量AC的夾角大于90°,則實數(shù)λ的取值范圍是( )
A．λ2
【變式4-2】（2022春·北京順義·高三期中）已知a和b是兩個互相垂直的單位向量，c=a+λbλ∈R，則λ=1是c和a夾角為π4的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【變式4-3】（2022秋·陜西渭南·高一期末）已知i,j分別是與x軸、y軸方向相同的單位向量，a=i-2j，b=i+λj，且a,b的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是（ ）
A．-2,23∪23,+∞B．-∞,-2∪-2,12
C．-∞,12D．12,+∞
【題型5 向量的?！?br>【方法點撥】
或是求向量的模及用向量求解圖形中線段長度的依據(jù).這種通過求自身的數(shù)
量積從而求模的思想是解決向量的模的問題的主要方法.此外，根據(jù)平面圖形求向量的模時，注意利用圖形
的性質(zhì)對向量的數(shù)量積或夾角等進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
【例5】（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，|a+2b|=3，則|2a-b|=（ ）
A．3B．10C．14D．4
【變式5-1】（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知平面向量a，b，c兩兩之間的夾角均相等，且a?b=-1，b?c=-2，c?a=-3，則a+b+c=（ ）
A．133B．393C．766D．236
【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量a，b滿足a=2b=22 ，a，b的夾角為π3，若c=13a+23b ，則c=（ ）
A．89B．83C．223D．263
【變式5-3】（2022春·寧夏石嘴山·高三階段練習(xí)）在邊長為4的等邊△ABC中，已知AD=23AB，點P在線段CD上，且AP=mAC+12AB，則AP=（ ）
A．1B．5C．7D．22
【題型6 向量數(shù)量積的最值問題】
【方法點撥】
先進(jìn)行數(shù)量積的有關(guān)運算，將數(shù)量積的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題或幾何量的最值問題，利用求函數(shù)
最值的基本方法求出相關(guān)的最大值或最小值，或利用圖形直觀求出相關(guān)的最值.
【例6】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，AG=2，點O在線段AG 上， 則OA?OB+OC+OD的最小值為（ ）
A．-3B．-2C．-1D．0
【變式6-1】（2022春·遼寧撫順·高三階段練習(xí)）窗花是貼在窗紙或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點，則PA?PB的最大值為（ ）
A．8+62B．8+82C．12+62D．12+82
【變式6-2】（2022·全國·高一假期作業(yè)）已知向量a、b，|a|=1，|b|=2，若對任意單位向量e，均有|a?e|+|b?e|≤6，則a?b的最大值為（ ）
A．12B．22C．1D．2
【變式6-3】（2022秋·浙江·高三階段練習(xí)）已知△ABC中，AB=5，AC=8，BC=7，PQ是以A為圓心的單位圓上的任意一條直徑，則BP?CQ的最大值是（ ）
A．12B．26C．872D．44

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