1．空間幾何體的直觀圖
(1)直觀圖的概念
直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體獲得的圖形.畫立體圖形的直觀圖，實(shí)際上是把不完全
在同一平面內(nèi)的點(diǎn)的集合，用同一平面內(nèi)的點(diǎn)表示.因此，直觀圖往往與立體圖形的真實(shí)形狀不完全相同.
在立體幾何中，立體圖形的直觀圖通常是在平行投影下得到的平面圖形.
(2)斜二測(cè)畫法及其步驟
利用平行投影，人們獲得了畫直觀圖的斜二測(cè)畫法.利用這種畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，其
步驟是：
①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的x'軸和y'
軸，兩軸相交于點(diǎn)O'，且使∠x'O'y'=(或)，它們確定的平面表示水平面.
②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別面成平行于x'軸或y'軸的線段.
③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，在直觀圖中長度
為原來的一半.
(3)旋轉(zhuǎn)體及其相關(guān)概念
斜二測(cè)畫法畫空間幾何體的直觀圖的規(guī)則
畫幾何體的直觀圖時(shí)，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個(gè)與x軸、y軸都垂直的z軸，并且有
以下規(guī)則.
①已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'軸、y'軸或z'軸的線段.
②已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵?br>來的一半.
③連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.
2．平面圖形的面積與其直觀圖的面積間的關(guān)系
(1)以三角形為例，則有.如圖所示，，它的直觀圖的面積
.
(2)平面多邊形的面積與其直觀圖的面積間的關(guān)系：=.即若記一個(gè)平面多邊形的面積為，由斜二測(cè)畫法得到的直觀圖的面積為，則有=.
【題型1 斜二測(cè)畫法】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)斜二測(cè)畫法畫直觀圖的規(guī)則和步驟，進(jìn)行求解即可.
【例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形是一個(gè)邊長為1的正方形，則原圖形的形狀是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2022秋·陜西渭南·高一期末）如圖，△A'B'C'是△ABC的直觀圖，其中B'O'=C'O'=1，A'O'=32，那么△ABC是一個(gè)（ ）
A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．無法確定
【變式1-2】（2022春·山西呂梁·高一期中）某幾何體底面的四邊形OABC直觀圖為如圖矩形O1A1B1C1，其中O1A1=6，O1C1=2，則該幾何體底面對(duì)角線AC的實(shí)際長度為（ ）
A．6B．46C．42D．210
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二測(cè)畫法的直觀圖，其中O'C'=O'A'=2O'B'，則△ABC是（ ）
A．鈍角三角形B．等腰三角形，但不是直角三角形
C．等腰直角三角形D．等邊三角形
【題型2 畫平面圖形的直觀圖】
【方法點(diǎn)撥】
畫水平放置的平面多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形的頂點(diǎn)位置.頂點(diǎn)位置可以分為兩類：一類是在軸上
或在與軸平行的線段上，這類頂點(diǎn)比較容易確定；另一類是不在軸上且不在與軸平行的線段上，這類頂點(diǎn)
一般通過作過此點(diǎn)且與軸平行或垂直的線段，將此點(diǎn)轉(zhuǎn)到與軸平行或垂直的線段上來確定.
【例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，等腰梯形ABCD上底AD=1cm，下底BC=3cm，高為1cm．用斜二測(cè)畫法畫出該梯形的直觀圖.
【變式2-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用斜二測(cè)法畫出如圖邊長為2的等邊三角形的直觀圖，并求直觀圖面積．
【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）用斜二測(cè)畫法畫出如圖所示的五邊形的直觀圖.(不寫作法，保留作圖痕跡)
【變式2-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）用斜二測(cè)畫法畫出下列水平放置的平面圖形的直觀圖：
(1)邊長為3cm的正三角形；
(2)邊長為4cm的正方形；
(3)邊長為2cm的正八邊形．
【題型3 畫空間幾何體的直觀圖】
【方法點(diǎn)撥】
(1)對(duì)于一些常見簡單幾何體(柱體、錐體、臺(tái)體、球) 的直觀圖，應(yīng)該記住它們的大致形狀，以便快速準(zhǔn)確
地畫出.
(2)畫空間幾何體的直觀圖比畫平面圖形的直觀圖增加了一個(gè)z軸，表示豎直方向.
(3)平行于z軸(或在z軸上)的線段，方向與長度都與原來保持一致.
【例3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）用斜二測(cè)畫法畫長、寬、高分別是8cm，6cm，3cm的長方體ABCD-A'B'C'D'的直觀圖．
【變式3-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）畫出一個(gè)正六棱柱的直觀圖，底面為邊長為3的正六邊形，高為5．
【變式3-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知直三棱柱ABC-A1B1C1，的底面是等腰直角三角形，且AB=AC=4，側(cè)棱AA1=5．在給定的坐標(biāo)系中，用斜二測(cè)畫法畫出該三棱柱的直觀圖．（不要求寫出畫法，但要標(biāo)上字母，并保留作圖痕跡）
【變式3-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）畫出圖中簡單組合體的直觀圖（尺寸單位：cm）．
【題型4 平面圖形的面積與其直觀圖的面積的關(guān)系】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)斜二測(cè)畫法中平面圖形的面積與其直觀圖的面積的關(guān)系，結(jié)合具體條件，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
【例4】（2022秋·四川內(nèi)江·高二期中）如圖所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O'A'=6cm，C'D'=2cm，則原圖形OABC的面積是（ ）
A．242B．122C．12D．24
【變式4-1】（2022秋·四川·高二期中）如圖，Rt△O'A'B'是一個(gè)平面圖形的直觀圖，若O'B'=2，則這個(gè)平面圖形的面積是（ ）
A．1B．2C．22D．42
【變式4-2】（2022秋·安徽六安·高三階段練習(xí)）一個(gè)水平放置的平面圖形，用斜二測(cè)畫法畫出了它的直觀圖，如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長為2的正方形，則原平面圖形的面積為（ ）
A．2B．42C．8D．82
【變式4-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O'A'=3，O'C'=1，則原圖形是（ ）
A．面積為62的矩形B．面積為324的矩形
C．面積為62的菱形D．面積為324的菱形

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