一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
1．（3分）（2022秋·安徽六安·高二期中）下列圖形所表示的幾何體中，不是棱錐的為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)棱錐的定義結(jié)合結(jié)合圖形分析可得答案.
【解答過程】棱錐的定義為：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.
根據(jù)棱錐的定義，B 、C 、D選項中的幾何圖形是棱錐，A選項中的幾何圖形是由兩個棱錐組合而成的，所以不是棱錐;
故選：A.
2．（3分）（2022秋·四川遂寧·高二期中）如圖是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)圓柱、圓錐與圓臺的定義，判斷選項中的圖形旋轉(zhuǎn)一周后所得到的幾何體的形狀，進而可得結(jié)果.
【解答過程】A中圖形旋轉(zhuǎn)得到兩個圓錐與一個圓柱，不合題意；
B中圖形旋轉(zhuǎn)得到兩個相同底面的圓錐，不合題意；
C中圖形旋轉(zhuǎn)得到相同底面的圓柱與圓錐，不合題意；
D中圖形旋轉(zhuǎn)得到一個圓臺與一個圓錐，合題意.
故選：D.
3．（3分）（2022·高一課時練習(xí)）下列命題中正確的個數(shù)是（ ）
①由五個面圍成的多面體只能是三棱柱；
②由若干個平面多邊形所圍成的幾何體是多面體；
③僅有一組對面平行的五面體是棱臺；
④有一面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐.
A．0B．1C．2D．3
【解題思路】舉反例說明①③不正確；②是多面體的定義，正確；由棱錐的結(jié)構(gòu)特征說明④錯誤.
【解答過程】解：①中，由五個面圍成的多面體可以是四棱錐，故①不正確；
②中，根據(jù)幾何體的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征可知，多面體是由若干個平面多邊形所圍成的幾何體，故②正確；
③中，僅有一組對面平行的五面體，可以是三棱柱，故③不正確；
④中，有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體不一定是棱錐，
如圖中的幾何體，滿足條件，但并不是棱錐，故④不正確.
故選：B.
4．（3分）（2022·高二課時練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
①圓臺可以由任意一個梯形繞其一邊旋轉(zhuǎn)形成；
②用任意一個與底面平行的平面截圓臺，截面是圓面；
③以半圓的直徑為軸旋轉(zhuǎn)半周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球；
④圓柱的任意兩條母線平行，圓錐的任意兩條母線相交，圓臺的任意兩條母線延長后相交．
A．①②B．②③C．①③D．②④
【解題思路】利用圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征分析判斷即可
【解答過程】圓臺是直角梯形繞其直角邊或等腰梯形繞其兩底邊的中點連線旋轉(zhuǎn)形成的，故錯；
②用任意一個與底面平行的平面截圓臺，截面是圓面，故正確；
球是以半圓的直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體，故③錯；
④圓柱的任意兩條母線平行，圓錐的任意兩條母線相交，圓臺的任意兩條母線延長后相交，故正確．
故選：D.
5．（3分）（2022秋·重慶萬州·高三階段練習(xí)）在古代，斗笠作為擋雨遮陽的器具，用竹篾夾油紙或竹葉棕絲等編織而成，其形狀可以看成一個圓錐體，在《詩經(jīng)》有“何蓑何笠”的句子，說明它很早就為人所用.已知某款斗笠如圖所示，它的母線長為22，側(cè)面展開圖是一個半圓，則該斗笠的底面半徑為（ ）
A．4B．42C．2D．2
【解題思路】側(cè)面展開圖一個半圓，則此半圓的弧長等于底面圓周長，由此求出底面半徑.
【解答過程】設(shè)底面半徑為r，底面圓周長2πr，
斗笠母線長l=22，側(cè)面展開圖一個半圓，則此半圓的弧長12×2π?l=l?π，
所以l?π=2πr?r=l2=2，
故選：C.
6．（3分）（2022·全國·高一期中）如圖，正三棱錐A-BCD中，∠BAD=20°，側(cè)棱長為2，過點C的平面與側(cè)棱AB,AD相交于B1,D1，則△CB1D1的周長的最小值為（ ）
A．22B．23C．4D．2
【解題思路】將正三棱錐A-BCD沿AC剪開，要使△CB1D1的周長的最小則有CD1+D1B1+B1C'=CC'，結(jié)合已知條件及正三棱錐的性質(zhì)知△CAC'是等邊三角形，即可知周長的最小值.
【解答過程】將正三棱錐A-BCD沿AC剪開可得如下圖形，
∵∠BAD=20°，即∠CAC'=π3，又△CB1D1的周長為CD1+D1B1+B1C'，
∴要使△CB1D1的周長的最小，則C,D1,B1,C'共線，即CD1+D1B1+B1C'=CC'，
又正三棱錐A-BCD側(cè)棱長為2，△CAC'是等邊三角形，
∴(CD1+D1B1+B1C')min=2.
故選：D.
7．（3分）（2022秋·上海浦東新·高二期中）如圖，圓錐O的軸截面是一個面積為1的等腰直角三角形，C為弧AB上的一點，∠CPB=45°，E為線段PB上的動點，則CE+OE的最小值為（ ）
A．2B．3C．2D．22+52-2
【解題思路】將空間圖形進行翻折變化到同一平面，根據(jù)兩點之間線段最短即可求解.
【解答過程】
將△PBC翻折到平面PAB內(nèi)，得到如圖所示平面四邊形OBC'P，
因為S△PAB=12PA?PB=1,所以PA=PB=2,
所以O(shè)P=OA=OB=1,所以∠BPO=45°,
又因為∠CPB=45°，所以翻折后的圖形中∠OPC'=90°,
根據(jù)兩點之間線段最短可知，CE+OE的最小值為OC=OP2+PC2=3,
故選:B.
8．（3分）（2022秋·上海虹口·高二期末）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1，則該半正多面體共有面的個數(shù)及棱長分別為（ ）
A．26，2-1B．24 ，2-2C．26，2-2D．24 ，2-1
【解題思路】將該多面體分為三層，分別數(shù)出每一層的面數(shù)，求和即可得正多面體的面數(shù)；設(shè)正多面體的棱長為a，作出該幾何體的截面，為正八邊形，利用多面體棱長與正方體的棱長的關(guān)系列方程即可求解
【解答過程】可以將該多面體分為三層，上層8個面，中層8個面，下層8個面，上下底各1個面，
所以共有8+8+8+1+1=26個面，
設(shè)正多面體的棱長為a，作出該幾何體的截面如圖，截面圖為正八邊形，
由圖可得CD=1-a2，CE=a，
因為△CDE為等腰直角三角形，所以CE=2CD，即a=2×1-a2，
解得：a=12+1=2-1，所以該多面體的棱長為2-1，
故選：A.
二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）
9．（4分）（2022春·甘肅蘭州·高一期末）下列說法不正確的是（ ）
A．圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺
B．繞直角三角形任一邊旋轉(zhuǎn)所得幾何體為圓錐
C．用任何一個平面截球面，得到的截面都是圓
D．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱
【解題思路】根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征判斷即可.
【解答過程】AC選項根據(jù)圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征即可得到是正確的；
B選項需要繞直角三角形的直角邊旋轉(zhuǎn)得到的才是圓錐，故B錯；
D選項有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱，如下圖：
故選：BD.
10．（4分）（2022春·湖北襄陽·高一階段練習(xí)）下列說法正確的是
A．以直角三角形的一條邊所在直線為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐
B．以等腰三角形底邊上的中線所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐
C．經(jīng)過圓錐任意兩條母線的截面是等腰三角形
D．圓錐側(cè)面的母線長有可能大于圓錐底面圓的直徑
【解題思路】根據(jù)圓錐的概念及性質(zhì)，各選項逐一判斷即可得到答案.
【解答過程】A不正確，直角三角形繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐；
B正確，以等腰三角形底邊上的中線所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；
C正確，因為圓錐的母線長都相等，所以經(jīng)過圓錐任意兩條母線的截面是等腰三角形；
D正確，如圖所示，圓錐側(cè)面的母線長l有可能大于圓錐底面圓半徑r的2倍（即直徑）.
故選：BCD.
11．（4分）（2022春·廣東中山·高一期末）從正方體的8個頂點中任選4個不同頂點，然后將它們兩兩相連，可組成空間幾何體．這個空間幾何體可能是（ ）
A．每個面都是直角三角形的四面體；
B．每個面都是等邊三角形的四面體；
C．每個面都是全等的直角三角形的四面體；
D．有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體．
【解題思路】根據(jù)正方體的性質(zhì)和四面體的特征，結(jié)合圖形逐個分析判斷即可
【解答過程】對于A，每個面都是直角三角形的四面體，如：E﹣ABC，所以A正確；
對于B，每個面都是等邊三角形的四面體，如E﹣BGD，所以B正確；
對于C，若四面體的每個面都是全等的直角三角形，則必有直角邊等于斜邊，而這樣的直角三角形不存在，所以C錯誤；
對于D，有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體，如：A﹣BDE，所以D正確；
故選：ABD．
12．（4分）（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）已知棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的中心為O，用過點O的平面去截正方體，則（ ）
A．所得的截面可以是五邊形B．所得的截面可以是六邊形
C．該截面的面積可以為33D．所得的截面可以是非正方形的菱形
【解題思路】利用正方體的對稱性逐一判斷即可.
【解答過程】過正方體中心的平面截正方體所得的截面至少與四個面相交，所以可能是四邊形、五邊形、六邊形，
又根據(jù)正方體的對稱性，截面不會是五邊形，但可以是正六邊形和非正方形的菱形（如圖）故A錯誤，BD正確；
因為四邊形A1B1C1D1的面積為4，當(dāng)截面過中心O且平行與底面ABCD時，截面為矩形（此時也是正方形），且面積為433，所以在轉(zhuǎn)動過程一定存在截面面積為33，C正確．
故選：BCD．
三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）
13．（4分）（2023秋·上海靜安·高二期末）把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比為1:4，母線（原圓雉母線在圓臺中的部分）長為9，則原圓錐的母線長 12 ．
【解題思路】根據(jù)圓臺的幾何特征利用三角形相似即可求得結(jié)果.
【解答過程】由題意可得，幾何體如下圖所示：
取軸截面可知，圓臺的上、下底面半徑的比為CDAB=14，且CD//AB,BD=9，
設(shè)圓錐的母線長為l，根據(jù)相似比可得CDAB=EDEB=l-9l=14，解得l=12，
即原圓錐的母線長為12.
故答案為：12.
14．（4分）（2023秋·上海靜安·高二期末）在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是正方形ABCD、正方形BB1C1C的中心，則過點A，M，N的平面截正方體的截面面積為 32a2 ．
【解題思路】連接AC，B1C, AB1,找到過點A、M、N的平面截正方體的截面,確定其形狀，求得截面邊長，即可求得答案.
【解答過程】如圖連接AC，則AC過點M,連接B1C,則B1C經(jīng)過點N,連接AB1,
則過點A、M、N的平面截正方體的截面為等邊△ACB1，
因為正方體棱長為a，故△ACB1邊長為2a，面積為34?(2a)2=32a2，
故答案為：32a2.
15．（4分）（2022·高一課時練習(xí)）如圖，一個矩形邊長為1和2，繞它的長為2的邊旋轉(zhuǎn)一周后所得如圖的一開口容器（下表面密封），P是BC中點，現(xiàn)有一只螞蟻位于外壁A處，內(nèi)壁P處有一米粒，若這只螞蟻要先爬到上口邊沿再爬到點P處取得米粒，則它所需經(jīng)過的最短路程為 π2+9 ．
【解題思路】把圓柱的側(cè)面展開，再利用對稱性及兩點之間線段最短求解螞蟻需經(jīng)過的最短路程
【解答過程】該幾何體為圓柱，側(cè)面展開圖為矩形ABCD，其中AB=π，AD=2，將問題轉(zhuǎn)化為在CD上找一點Q，使AQ+PQ最短．
作P關(guān)于CD的對稱點E，連接AE，
令A(yù)E與CD交于點Q，則得AQ+PQ的最小值就是AE，其中BE=2+1=3，
所以AE=π2+9．
故答案為：π2+9.
16．（4分）（2022·高二課時練習(xí)）下列命題中，正確的是 ②③④ ．（填序號）
①以直角三角形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；
②以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體是圓柱；
③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；
④以等腰三角形的底邊上的高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將等腰三角形旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐；
⑤用一個平面去截圓柱，得到的截面是一個圓面或者矩形面．
【解題思路】對于①：舉反例：以直角三角形的斜邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體是兩個圓錐構(gòu)成的組合體.即可否定結(jié)論；
對于②：由圓柱的定義可以判斷；
對于③：由圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征可以判斷；
對于④：由圓錐的定義可以判斷；
對于⑤：舉反例：用不平行于底面的平面截圓柱，可以得到的橢圓形截面. 即可否定結(jié)論.
【解答過程】對于①：以直角三角形的斜邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體是兩個圓錐構(gòu)成的組合體.故①錯誤；
對于②：由圓柱的定義可以判斷②正確；
對于③：由圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征可以判斷③正確；
對于④：由圓錐的定義可以判斷④正確；
對于⑤：用不平行于底面的平面截圓柱，可以得到的橢圓形截面.故⑤錯誤.
故答案為：②③④.
四．解答題（共6小題，滿分44分）
17．（6分）（2022·全國·高一專題練習(xí)）指出如圖（1）（2）所示的圖形是由哪些簡單幾何體構(gòu)成的．
【解題思路】直接觀察圖形即可求解.
【解答過程】圖（1）是由一個三棱柱和一個四棱柱拼接而成的簡單組合體．
圖（2）是由一個圓錐和一個四棱柱拼接而成的簡單組合體．
18．（6分）（2022·全國·高一假期作業(yè)）如圖，將平面圖形ABCDEFG繞AG邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，作出由此形成的空間圖形，并指出該空間圖形是由哪些簡單空間圖形構(gòu)成的.
【解題思路】結(jié)合條件及旋轉(zhuǎn)體的概念即得.
【解答過程】形成的空間圖形如圖所示，該空間圖形自上而下依次由圓柱、圓臺、圓柱、圓臺構(gòu)成.
19．（8分）（2022·高二課時練習(xí)）如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得小圓錐SO'與圓錐SO底面的面積之比為1:16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓錐SO的母線長．
【解題思路】由圓錐平行于底面的截面的性質(zhì)計算．
【解答過程】解：因為截得小圓錐SO'與圓錐SO底面的面積之比為1:16，所以小圓錐SO'與圓錐SO底面半徑之比是1:4．
如圖，設(shè)SA的長為y，小圓錐底面與被截的圓錐底面半徑分別是x，4x，
根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得3y=x4x．解得y=12．所以圓錐SO的母線長為12cm．
20．（8分）（2022·高二課時練習(xí)）如圖在一個長方體的容器中，里面裝有一些水，現(xiàn)將容器繞著其底部的一條棱傾斜，在傾斜的過程中，判斷下面的說法是否正確，并說明理由．
(1)水面的形狀不斷變化，可能是矩形，也可能變成不是矩形的平行四邊形；
(2)水的形狀不斷變化，可能是棱柱，也可能變?yōu)槔忮F．
【解題思路】根據(jù)繞著棱旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的特點，將問題轉(zhuǎn)化為長方體被相應(yīng)平面所截形成的截面形狀.
【解答過程】(1)
不對.水面的形狀就是用一個與棱（長方體容器傾斜時固定不動的棱）平行的平面截長方體時截面的形狀，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四邊形.
(2)
不對.水的形狀就是用與棱（長方體容器傾斜時固定不動的棱）平行的平面將長方體截去一部分后，剩余部分的幾何體，此幾何體是棱柱，水比較少時，是三棱柱，水多時，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱錐.
21．（8分）（2022秋·江西宜春·高二開學(xué)考試）如圖，正四棱臺的高是17cm，上、下底面邊長分別為4cm和16cm.
(1)求該棱臺的側(cè)棱長；
(2)求直線B1C1與BC的距離.
【解題思路】（1）過點A1、C1分別在平面AA1C1C內(nèi)作A1E⊥AC，C1F⊥AC，垂足分別為點E、F，利用勾股定理計算出AA1的長，即可得解；
（2）過點B1、C1分別在平面BB1C1C內(nèi)作B1M⊥BC，C1N⊥BC，垂足分別為點M、N，利用勾股定理計算出B1M的長，即可得解.
【解答過程】（1）解：過點A1、C1分別在平面AA1C1C內(nèi)作A1E⊥AC，C1F⊥AC，
垂足分別為點E、F，如下圖所示：
根據(jù)正四棱臺的性質(zhì)可知四邊形AA1C1C為等腰梯形，
因為四邊形ABCD為正方形，且AB=16，則AC=2AB=162，同理A1C1=42，
在等腰梯形AA1C1C內(nèi)，因為A1C1//EF，A1E⊥AC，C1F⊥AC，
所以，四邊形A1C1FE為矩形，所以，EF=A1C1=42，A1E=C1F，
∵AA1=CC1，A1E=C1F，∠AEA1=∠C1FC=90°，所以，Rt△AEA1≌Rt△CFC1，
所以，AE=CF=AC-EF2=62，
所以，該正四棱臺的側(cè)棱長為AA1=AE2+A1E2=19cm.
（2）解：過點B1、C1分別在平面BB1C1C內(nèi)作B1M⊥BC，C1N⊥BC，垂足分別為點M、N，
在等腰梯形BB1C1C中，B1C1//MN，B1M⊥BC，C1N⊥BC，
則四邊形B1C1NM為矩形，所以，MN=B1C1=4，B1M=C1N，
∵BB1=CC1=19，B1M=C1N，∠BMB1=∠C1NC=90°，所以，Rt△BMB1≌Rt△CNC1，
則BM=CN=BC-MN2=6，所以，B1M=BB12-BM2=192-62=513cm.
因此，直線B1C1與BC的距離為513cm.
22．（8分）（2022春·重慶永川·高一階段練習(xí)）已知在直角三角形ABC中，AC⊥BC，BC=2,tan∠ABC=22（如右圖所示）
（Ⅰ）若以AC為軸，直角三角形ABC旋轉(zhuǎn)一周，試說明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征并求所得幾何體的表面積.
（Ⅱ）一只螞蟻在問題（Ⅰ）形成的幾何體上從點B繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點B，求螞蟻爬行的最短距離.
【解題思路】（Ⅰ）若以AC為軸，直角三角形ABC旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為以BC=2為半徑，高AC=42的圓錐，由圓錐的表面積公式，即可求出結(jié)果．
（Ⅱ）利用側(cè)面展開圖，要使螞蟻爬行的最短距離，則沿點B的母線把圓錐側(cè)面展開為平面圖形（如圖）最短距離就是點B到點B1的距離，代入數(shù)值，即可求出結(jié)果．
【解答過程】解：（Ⅰ）在直角三角形ABC中，由BC=2,tan∠ABC=22
即tan∠ABC=ACBC=22，得AC=42，若以AC為軸旋轉(zhuǎn)一周，
形成的幾何體為以BC=2為半徑，高AC=42的圓錐，
則AB=22+422=6，其表面積為
S=π×22+12×2π×2×6=16π.
（Ⅱ）由問題（Ⅰ）的圓錐，要使螞蟻爬行的最短距離，則沿點B的母線把圓錐側(cè)面展開為平面圖形（如圖）最短距離就是點B到點B1的距離，
∠BAB1=2π×26=2π3，
在ΔABB1中，由余弦定理得：BB1=62+62-2×6×6×cs2π3=63.

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高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)專題6.4 排列與組合（重難點題型檢測）（教師版）

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高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)專題4.2 數(shù)列的概念（重難點題型檢測）（教師版）

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