1．空間幾何體的有關(guān)概念
(1)空間幾何體的定義
對(duì)于空間中的物體，如果只考慮其形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來(lái)的空間
圖形就叫做空間幾何體.
例如，一個(gè)牛奶包裝箱可以抽象出長(zhǎng)方體.
(2)定理的實(shí)質(zhì)
多面體及其相關(guān)概念
①多面體：一般地，由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.
②多面體的面：圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，如圖中面BCC'B'等.
③多面體的棱：兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，如圖中棱AA'，棱BB'等.
④多面體的頂點(diǎn)：棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)，如圖中頂點(diǎn)A，B，A'等.
(3)旋轉(zhuǎn)體及其相關(guān)概念
①旋轉(zhuǎn)體：一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉
的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.
圖為一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，它可以看成由平面曲線OAA'O'繞OO'所在的直線旋轉(zhuǎn)而形成的.
②旋轉(zhuǎn)體的軸：平面曲線旋轉(zhuǎn)時(shí)所圍繞的定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.如圖中直線OO'是該旋轉(zhuǎn)體的軸.
2．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征
3．圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征
棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體，棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體，棱臺(tái)與圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體.
4．簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征
(1)簡(jiǎn)單組合體的定義
由柱體、錐體、臺(tái)體、球等簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體.
(2)簡(jiǎn)單組合體的構(gòu)成形式
①由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成，如圖(1)所示.
②由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成，如圖(2)所示.
(3)常見(jiàn)的幾種組合體
①多面體與多面體的組合體：圖(1)中幾何體由一個(gè)四棱柱挖去一個(gè)三棱柱得到.
②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體：圖(2)中幾何體由一個(gè)三棱柱挖去一個(gè)圓柱得到.
③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體：圖(3)中幾何體由一個(gè)球和一個(gè)圓柱組合而成.
5．正方體的截面形狀的探究
通過(guò)嘗試、歸納，有如下結(jié)論.
(1)截面可以是三角形：等邊三角形、等腰三角形、銳角三角形.截面不可能是直角三角形、鈍角三角形.
(2)截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面為四邊形時(shí)，這個(gè)四
邊形中至少有一組對(duì)邊平行.
(3)截面可以是五邊形，且此時(shí)五邊形必有兩組分別平行的邊，同時(shí)有兩個(gè)角相等.截面五邊形不可能是
正五邊形.
(4)截面可以是六邊形，且此時(shí)六邊形必有三組分別平行的邊.截面六邊形可以是正六邊形.
對(duì)應(yīng)截面圖形如圖中各圖形所示
【題型1 簡(jiǎn)單幾何體的識(shí)別】
【方法點(diǎn)撥】
(1)掌握簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征；
(2)判斷是多面體還是旋轉(zhuǎn)體；
(3)得到幾何體的名稱.
【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）以下各幾何體中， 是棱柱的是 （ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2022春·湖南株洲·高二開(kāi)學(xué)考試）下列幾何體中為臺(tái)體的是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2022秋·青海海南·高二階段練習(xí)）觀察下圖中的四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是（ ）
A．（1）是棱臺(tái)B．（2）是圓臺(tái)
C．（3）是棱錐D．（4）不是棱柱
【變式1-3】（2022春·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高一期末）下列幾何體中是棱錐的有（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【題型2 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征】
【方法點(diǎn)撥】
結(jié)合具體條件，根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行分析求解.
【例2】（2022秋·上海黃浦·高三階段練習(xí)）下列命題是真命題的是（ ）
A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱
B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱
C．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐
D．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共項(xiàng)點(diǎn)的三角形的幾何體叫棱錐
【變式2-1】（2022·吉林·高一期中）下列命題中，正確的是（ ）
A．底面是正方形的四棱柱是正方體
B．棱錐的高線可能在幾何體之外
C．有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱
D．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐
【變式2-2】（2022秋·陜西漢中·高一期末）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．兩個(gè)平面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺(tái)
B．棱柱的側(cè)面可以是三角形
C．直棱柱的底面是正多邊形
D．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形
【變式2-3】（2022秋·湖南懷化·高二期中）以下四個(gè)命題中，真命題為（ ）
A．側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐
B．底面是矩形的四棱柱是長(zhǎng)方體
C．正三棱錐是正四面體
D．棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)
【題型3 旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征】
【方法點(diǎn)撥】
通過(guò)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行分析，即可得解.
【例3】（2022秋·安徽合肥·高二階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是
A．通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)可以做出無(wú)數(shù)條母線
B．直角三角形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐
C．圓柱的上底面下底面互相平行
D．五棱錐只有五條棱
【變式3-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）有下列命題，其中錯(cuò)誤命題個(gè)數(shù)是（ ）
①圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體；②過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面是等腰三角形；③以直角三角形一邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；④平行于母線的平面截圓錐，截面是等腰三角形.
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式3-2】（2022秋·上海奉賢·高二期中）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．圓柱上下底面各取一點(diǎn)，它們的連線即為圓柱的母線
B．過(guò)球上任意兩點(diǎn)，有且僅有一個(gè)大圓
C．圓錐的軸截面是等腰三角形
D．用一個(gè)平面去截球，所得的圓即為大圓
【變式3-3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）有下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的直線距離是圓柱的母線長(zhǎng)；②圓錐頂點(diǎn)與底面所圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線長(zhǎng)；③圓柱的任意兩條母線所在直線是互相平行的.其中正確的命題是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【題型4 簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征】
【方法點(diǎn)撥】
掌握常見(jiàn)的幾種簡(jiǎn)單組合體，結(jié)合具體問(wèn)題，進(jìn)行求解即可.
【例4】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示的螺母可以看成一個(gè)組合體，對(duì)其結(jié)構(gòu)特征最接近的表述是（ ）
A．一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)棱柱B．一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)棱錐
C．一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)圓柱D．一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)圓臺(tái)
【變式4-1】（2022秋·河北滄州·高三階段練習(xí)）太陽(yáng)能發(fā)電是我國(guó)大力提倡的一種新能源發(fā)電形式.如圖所示，某型號(hào)的矩形太陽(yáng)能電池板用四根垂直于地面的立柱支撐，點(diǎn)A1，B1，C1，D1均在同一水平面內(nèi)，且其中三根立柱AA1，BB1，CC1的長(zhǎng)度分別為100cm，200cm，300cm，則立柱DD1的長(zhǎng)度是（ ）
A．100cmB．150cmC．200cmD．250cm
【變式4-2】（2022春·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖是一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的棱上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體：①有12個(gè)頂點(diǎn)；②有14個(gè)面；③表面積為3；④體積為56，正確的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
【變式4-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示是一位學(xué)生設(shè)計(jì)的獎(jiǎng)杯模型，獎(jiǎng)杯底托為空心的正四面體，且挖去的空心部分是恰好與四面體四個(gè)面都相切的球O1；頂部為球O2，其直徑與正四面體的棱長(zhǎng)a相等，若這樣設(shè)計(jì)獎(jiǎng)杯，則球O1與球O2的半徑之比r1:r2=（ ）
A．1:6B．1:6C．1:3D．1:3
【題型5 幾何體的截面問(wèn)題】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)對(duì)幾何體的截面形狀的研究，結(jié)合具體問(wèn)題，進(jìn)行求解即可.
【例5】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）圓柱內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐，過(guò)棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的截面圖是（ ）
A．B．
C．D．
【變式5-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）圖中的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①⑤
【變式5-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，則過(guò)這三點(diǎn)的截面圖的形狀是（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
【變式5-3】（2022秋·安徽合肥·高三期末）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M、N分別為A1B1、B1C1的中點(diǎn)，過(guò) M、N的平面所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（ ）
A．22B．25C．3102D．92
【題型6 平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的幾何體】
【方法點(diǎn)撥】
對(duì)于平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，首先要對(duì)原平面圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指睿话惴指畛删匦?、三角形、梯形或圓(半
圓或四分之一圓周)等基本圖形，然后結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的形成過(guò)程進(jìn)行分析.
【例6】（2022春·廣東珠?！じ咭浑A段練習(xí)）銅錢(qián)又稱方孔錢(qián)，是古代錢(qián)幣最常見(jiàn)的一種．如圖所示為清朝時(shí)的一枚“嘉慶通寶”，由一個(gè)圓和一個(gè)正方形組成，若繞旋轉(zhuǎn)軸（虛線）旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是（ ）

A．一個(gè)球
B．一個(gè)球挖去一個(gè)圓柱
C．一個(gè)圓柱
D．一個(gè)球挖去一個(gè)正方體
【變式6-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知長(zhǎng)方形ABCD中，AD=2，AB=4，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，現(xiàn)以AE所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將該長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的體積為（ ）
A．102πB．2823πC．10πD．82π
【變式6-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）能旋轉(zhuǎn)形成如圖所示的幾何體的平面圖形是（ ）
A．B．C．D．
【變式6-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對(duì)接形成的平面軸對(duì)稱圖形，若將它繞軸l旋轉(zhuǎn)180°后形成一個(gè)組合體，下面說(shuō)法不正確的是 ( )
A．該組合體可以分割成圓臺(tái)、圓柱、圓錐和兩個(gè)球體
B．該組合體仍然關(guān)于軸l對(duì)稱
C．該組合體中的圓錐和球只有一個(gè)公共點(diǎn)
D．該組合體中的球和半球只有一個(gè)公共點(diǎn)

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