1．空間幾何體的直觀圖
(1)直觀圖的概念
直觀圖是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形.畫立體圖形的直觀圖，實際上是把不完全
在同一平面內的點的集合，用同一平面內的點表示.因此，直觀圖往往與立體圖形的真實形狀不完全相同.
在立體幾何中，立體圖形的直觀圖通常是在平行投影下得到的平面圖形.
(2)斜二測畫法及其步驟
利用平行投影，人們獲得了畫直觀圖的斜二測畫法.利用這種畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，其
步驟是：
①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫成對應的x'軸和y'
軸，兩軸相交于點O'，且使∠x'O'y'=(或)，它們確定的平面表示水平面.
②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別面成平行于x'軸或y'軸的線段.
③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，在直觀圖中長度
為原來的一半.
(3)旋轉體及其相關概念
斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的規(guī)則
畫幾何體的直觀圖時，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個與x軸、y軸都垂直的z軸，并且有
以下規(guī)則.
①已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'軸、y'軸或z'軸的線段.
②已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵?br>來的一半.
③連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標軸，就得到了空間圖形的直觀圖.
2．平面圖形的面積與其直觀圖的面積間的關系
(1)以三角形為例，則有.如圖所示，，它的直觀圖的面積
.
(2)平面多邊形的面積與其直觀圖的面積間的關系：=.即若記一個平面多邊形的面積為，由斜二測畫法得到的直觀圖的面積為，則有=.
【題型1 斜二測畫法】
【方法點撥】
根據(jù)斜二測畫法畫直觀圖的規(guī)則和步驟，進行求解即可.
【例1】（2023·高一課時練習）如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形是一個邊長為1的正方形，則原圖形的形狀是（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)斜二測畫法規(guī)律，平行于y軸的線段長度是原長的一半即可判斷.
【解答過程】在直觀圖中，其一條對角線在y軸上且長度為2，
所以在原圖形中其中一條對角線必在y軸上，且長度為22，
故選：A．
【變式1-1】（2022秋·陜西渭南·高一期末）如圖，△A'B'C'是△ABC的直觀圖，其中B'O'=C'O'=1，A'O'=32，那么△ABC是一個（ ）
A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．無法確定
【解題思路】將直觀圖還原為投影圖，分析幾何圖形的形狀.
【解答過程】
將直觀圖還原，則BO=CO=1，AO=23，所以△ABC是正三角形.
故選：A.
【變式1-2】（2022春·山西呂梁·高一期中）某幾何體底面的四邊形OABC直觀圖為如圖矩形O1A1B1C1，其中O1A1=6，O1C1=2，則該幾何體底面對角線AC的實際長度為（ ）
A．6B．46C．42D．210
【解題思路】通過直觀圖與原圖的關系得出A、C兩點的坐標，即可得出答案.
【解答過程】根據(jù)四邊形OABC直觀圖將其還有為平面圖形如圖：
根據(jù)直觀圖與原圖的關系可得：
OA=O1A1=6，OD=222+22=42，CD=O1C1=2，
則點A6,0，C-2,42，
∴AC=42-02+-2-62=46，
故選：B.
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）如圖，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二測畫法的直觀圖，其中O'C'=O'A'=2O'B'，則△ABC是（ ）
A．鈍角三角形B．等腰三角形，但不是直角三角形
C．等腰直角三角形D．等邊三角形
【解題思路】根據(jù)題意，將△A'B'C'還原成原圖，分析OC、OB、OA的關系，由三角形的性質即可得答案．
【解答過程】將其還原成原圖，設A'C'=2，則可得OB=2O'B'=1，
AC=A'C'=2，從而AB=BC=2，所以AB2+BC2=AC2，
即AB⊥BC，故△ABC是等腰直角三角形.
故選：C.
【題型2 畫平面圖形的直觀圖】
【方法點撥】
畫水平放置的平面多邊形的直觀圖的關鍵是確定多邊形的頂點位置.頂點位置可以分為兩類：一類是在軸上
或在與軸平行的線段上，這類頂點比較容易確定；另一類是不在軸上且不在與軸平行的線段上，這類頂點
一般通過作過此點且與軸平行或垂直的線段，將此點轉到與軸平行或垂直的線段上來確定.
【例2】（2023·高一課時練習）如圖，等腰梯形ABCD上底AD=1cm，下底BC=3cm，高為1cm．用斜二測畫法畫出該梯形的直觀圖.
【解題思路】在等腰梯形ABCD中建立平面直角坐標系，再利用“斜二測”畫法確定另兩個頂點位置即可畫出其直觀圖.
【解答過程】在等腰梯形ABCD中，過D作DO⊥AB于O，以直線CB，OD分別為x，y軸建立平面直角坐標系，如圖，
其中OD=1cm,OC=1cm,OB=2cm,AD=1cm,AD//BC，
在平面內取點O'，過O'作直線O'x',O'y'，使∠x'O'y'=45°，如圖，
在直線O'y'上取點D'，使O'D'=12OD=12cm，過D'作線段A'D'//O'x'，使D'A'=DA=1cm，
在直線O'x'上取點C',B'，使O'C'=OC=1cm,O'B'=OB=2cm，
連接C'D',A'B'，抹去輔助線得等腰梯形ABCD的直觀圖，如圖梯形A'B'C'D'.
【變式2-1】（2023·高一課時練習）用斜二測法畫出如圖邊長為2的等邊三角形的直觀圖，并求直觀圖面積．
【解題思路】先在直角坐標系中得出各邊的數(shù)值，再按“斜二測”畫法作圖，得出相關關系，再求出直觀圖的高度，求出面積.
【解答過程】畫法:(1)如圖 (1),在等邊三角形ABC中,取BC所在直線為x軸,BC的垂直平分線為y軸,兩軸相交于點O.在圖 (2)中,畫相應的x'軸與y'軸,兩軸相交于點O',使∠x'O'y'=45°.
(2)在圖 (2)中,以O'為中點,在x'軸上取B'C'=BC,在y'軸上取O'A'=12OA.
(3)連接A'B',A'C',并擦去輔助線x'軸和y'軸,便獲得等邊三角形ABC水平放置的直觀圖A'B'C'(圖 (3)).
由題意在平面直角坐標系中，三角形ABC是邊長為2的正三角形
∴AB=BC=2，BC邊上的高為h=3，
在三角形A'O'C'中，∠A'O'C'=45°，
∴B'C'=BC=2,A'O'=12AO=32,
B'C'邊上的高h'=A'O'sin∠A'O'C'=32×22=64，
故S△A'B'C'=12B'C'?h'=12×2×64=64 ，
故直觀圖△A'B'C'面積64cm2.
【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習）用斜二測畫法畫出如圖所示的五邊形的直觀圖.(不寫作法，保留作圖痕跡)
【解題思路】根據(jù)斜二測畫法作圖即可.
【解答過程】
①如圖(1)，將A點和原點O重合，AB和x軸重合，AE與y軸重合.通過C分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為H、I，通過D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為F、G；
②如圖(2)，作坐標系x'O'y'，x'軸和y'軸夾角為45°，在x'軸上取點，使得：A'與O'重合，A'F'=AF，A'B'=AB，A'H'=AH；
③如圖(2)，在y'軸上取點，使得：A'I'=12AI，A'E'=12AE，A'G'=12AG；
④如圖(2)，過H'作y'軸平行線，過I'作x'軸平行線，兩平行線交于C'；過F'作y'軸平行線，過G'作x'軸平行線，兩平行線交于D'；
⑤如圖(2)，依次連接B'、C'、D'、E'即可完成作圖．
【變式2-3】（2022·全國·高一專題練習）用斜二測畫法畫出下列水平放置的平面圖形的直觀圖：
(1)邊長為3cm的正三角形；
(2)邊長為4cm的正方形；
(3)邊長為2cm的正八邊形．
【解題思路】（1）根據(jù)斜二測畫法，作出平面圖形，建立平面直角坐標系，畫出對應斜二測坐標系，確定多邊形各頂點在直觀圖中對應的頂點，連線可得直觀圖；
（2）根據(jù)斜二測畫法，作出平面圖形，建立平面直角坐標系，畫出對應斜二測坐標系，確定多邊形各頂點在直觀圖中對應的頂點，連線可得直觀圖；
（3）根據(jù)斜二測畫法，作出平面圖形，建立平面直角坐標系，畫出對應斜二測坐標系，確定多邊形各頂點在直觀圖中對應的頂點，連線可得直觀圖.
【解答過程】(1)
解：如圖①所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊的高線AO所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，
畫對應的x'軸、y'軸，使∠x'O'y'=45°，
在x'軸上截取O'B'=O'C'=OB=OC=1.5cm，在y'軸上截取O'A'=12OA，
連接A'B'、A'C'、B'C'，則△A'B'C'即為等邊△ABC的直觀圖，如圖③所示.
(2)
解：如圖④所示，以AB、AD邊所在的直線分別為x軸、y軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，
畫對應的x'軸、y'軸，使∠x'A'y'=45°，
在x'軸上截取A'B'=AB=4cm，在y'軸上截取A'D'=12AD=2cm，
作D'C'//x'軸，且D'C'=4cm，連接B'C'，
則平行四邊形A'B'C'D'即為正方形ABCD的直觀圖，如圖⑥所示.
(3)
解：如圖⑦所示，畫正八邊形OABCDEFG，以點O為坐標原點，OA、OE所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系xOy，
設點B、G在x軸上的射影點分別為M、N，
畫對應的x'軸、y'軸，使∠x'O'y'=45°，
在x'軸上截取O'A'=OA=2cm，A'M'=AM，O'N'=ON，
在y'軸上截取O'E'=12OE，作E'D'//x'軸且E'D'=2cm，
作M'B'//y'軸，且M'B'=12MB，作N'G'//y'軸，且N'G'=12NG，
作B'C'//y'軸，且B'C'=1cm，作G'F'//y'軸，且G'F'=1cm，
連接O'A'、A'B'、B'C'、C'D'、D'E'、E'F'、F'G'、G'O'，
則八邊形O'A'B'C'D'E'F'G'為正八邊形OABCDEFG的直觀圖，如圖⑨所示.
【題型3 畫空間幾何體的直觀圖】
【方法點撥】
(1)對于一些常見簡單幾何體(柱體、錐體、臺體、球) 的直觀圖，應該記住它們的大致形狀，以便快速準確
地畫出.
(2)畫空間幾何體的直觀圖比畫平面圖形的直觀圖增加了一個z軸，表示豎直方向.
(3)平行于z軸(或在z軸上)的線段，方向與長度都與原來保持一致.
【例3】（2022·高一課時練習）用斜二測畫法畫長、寬、高分別是8cm，6cm，3cm的長方體ABCD-A'B'C'D'的直觀圖．
【解題思路】由斜二測畫法的規(guī)則畫出直觀圖即可.
【解答過程】解：根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知，底面矩形的直觀圖為平行四邊形．
①畫出水平放置的長、寬分別是8 cm、6 cm的矩形ABCD的直觀圖．
②作Az垂直于AB，在Az軸上截取AA'=3cm．
分別過點B、C、D作BB'//AA'，CC'//AA'，DD'//AA'，且BB'=CC'=DD'=AA'=3cm．
③連接A'B'、B'C'、C'D'、D'A'，并擦去輔助線，將被遮擋的部分改為虛線，即得長方體的直觀圖，如圖2所示．
【變式3-1】（2022·高一課時練習）畫出一個正六棱柱的直觀圖，底面為邊長為3的正六邊形，高為5．
【解題思路】根據(jù)斜二測畫法的要求和步驟，作圖即可.
【解答過程】（1）畫軸.如圖，畫x,y,z軸，三軸相交于O，使得∠xOy=45°,∠xOz=90° .
（2）畫底面.在x軸上以O為中點截取線段FC，使FC=6cm,在y軸上以O為中點取線段GH,
使GH=332cm ,分別過點G,H作x軸的平行線，并在平行線上分別以G,H為中點截取AB=3cm,ED=3cm,
連接BC,CD,EF,FA,則六邊形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直觀圖.
（3）畫側棱.在z軸正半軸上取線段OO',使OO'=5cm，過A,B,C,D,E,F各點作z軸的平行線，
在這些平行線上分別截取5cm長的線段AA',BB',CC',DD',EE',FF' .
（4）成圖.順次連接A',B',C',D',E',F',并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），得到所要求作的正六棱柱的直觀圖.

【變式3-2】（2022·高一課時練習）已知直三棱柱ABC-A1B1C1，的底面是等腰直角三角形，且AB=AC=4，側棱AA1=5．在給定的坐標系中，用斜二測畫法畫出該三棱柱的直觀圖．（不要求寫出畫法，但要標上字母，并保留作圖痕跡）
【解題思路】根據(jù)斜二測畫法的原則，可畫出直觀圖.
【解答過程】如圖所示．
【變式3-3】（2022·全國·高一專題練習）畫出圖中簡單組合體的直觀圖（尺寸單位：cm）．
【解題思路】利用斜二測畫法求解.
【解答過程】如圖所示：
【題型4 平面圖形的面積與其直觀圖的面積的關系】
【方法點撥】
根據(jù)斜二測畫法中平面圖形的面積與其直觀圖的面積的關系，結合具體條件，進行轉化求解即可.
【例4】（2022秋·四川內江·高二期中）如圖所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O'A'=6cm，C'D'=2cm，則原圖形OABC的面積是（ ）
A．242B．122C．12D．24
【解題思路】根據(jù)斜二測畫法求出直觀圖的面積，進而即可得到原圖形的面積.
【解答過程】由斜二測畫法可知∠A'O'D'=∠D'O'C'=π4，
所以C'D'=C'O'=2cm，
所以SO'A'B'C'=O'A'×O'C'=12，
所以SOABC=SO'A'B'C'24=242,
故選：A.
【變式4-1】（2022秋·四川·高二期中）如圖，Rt△O'A'B'是一個平面圖形的直觀圖，若O'B'=2，則這個平面圖形的面積是（ ）
A．1B．2C．22D．42
【解題思路】結合斜二測法的轉化關系，求出平面圖形的底和高，即可求解.
【解答過程】由已知得Rt△O'A'B'中，直角邊O'B'=2，OA'=2，
則平面圖中該三角形，OB'對應底面邊長不變?yōu)?，三角形的高應為2OA'=4，
則平面三角形的面積為S=12×2×4=22.
故選：C.
【變式4-2】（2022秋·安徽六安·高三階段練習）一個水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出了它的直觀圖，如圖所示，此直觀圖恰好是一個邊長為2的正方形，則原平面圖形的面積為（ ）
A．2B．42C．8D．82
【解題思路】根據(jù)斜二測畫法的過程將直觀圖還原回原圖形，找到直觀圖中正方形的四個頂點在原圖形中對應的點，用直線段連結后得到原四邊形，再計算平行四邊形的面積即可．
【解答過程】還原直觀圖為原圖形如圖所示，
因為O'A'=2，所以O'B'=22，還原回原圖形后，
OA=O'A'=2，OB=2O'B'=42；
所以原圖形的面積為2×42=82．
故選：D.
【變式4-3】（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O'A'=3，O'C'=1，則原圖形是（ ）
A．面積為62的矩形B．面積為324的矩形
C．面積為62的菱形D．面積為324的菱形
【解題思路】根據(jù)題意利用斜二測畫法判斷原圖形的形狀，即可求出其面積.
【解答過程】∠D'O'A'=45°,O'C'=1，所以O'D'=2，
故在原圖中，OD=22，
OC=OD2+CD2=8+1=3，
所以四邊形OABC為菱形(如圖所示)，OA=3，
則面積為62.
故選：C.

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