1．（3分）（2022秋·福建泉州·高二期末）關于平面向量a,b,c，下列說法正確的是（ ）
A．若a?c=b?c，則a=bB．(a+b)?c=a?c+b?c
C．若a2=b2，則a?c=b?cD．(a?b)?c=(b?c)?a
【解題思路】利用向量垂直及數(shù)量積的定義可判斷A，根據(jù)平面向量數(shù)乘的分配律即可判斷B，利用數(shù)量積的定義可判斷CD．
【解答過程】對于A，若c和a，b都垂直，顯然a，b至少在模的方面沒有特定關系，所以命題不成立；
對于B，這是平面向量數(shù)乘的分配律，顯然成立；
對于C，若a2=b2，則a=b，a?c=a?ccsa,c,b?c=b?ccsb,c，
而csa,c與csb,c不一定相等，所以命題不成立；
對于D，a?b?c與a?b?c分別是一個和c，a共線的向量，顯然命題a?b?c=a?b?c不一定成立．
故選：B．
2．（3分）（2022春·山東·高三階段練習）設非零向量a，b滿足a=2b，a+b=3b，則向量a在b方向上的投影向量（ ）
A．-bB．bC．-aD．a
【解題思路】設a,b的夾角為α，求出csα=-12即得解.
【解答過程】解：設a,b的夾角為α，
由a+b=3b得a2+b2+2a·b=3b2,∴4b2+b2+4b2csα=3b2,∴csα=-12.
所以向量a在b方向上的投影向量為|a|csα?b|b|=2|b|×-12×b|b|=-b.
故選：A.
3．（3分）（2022春·青海西寧·高三期中）已知向量a，b滿足a=1，b=3，且a，b的夾角為30°，則a-2b=（ ）
A．3B．7C．7D．3
【解題思路】計算出a?b=32，再根據(jù)a-2b=a-2b2計算出結果.
【解答過程】由題意得：a?b=a?bcs30°=3×32=32，
所以a-2b=a-2b2=a2-4a?b+4b2=1-6+4×3=7.
故選：C.
4．（3分）（2022秋·河南商丘·高一期末）已知a→=1，b→=2，c→=4，a→,b→的夾角θ=π3，則a→-c→?b→-c→的最大值為（ ）
A．17+47B．12+85C．18-25D．20-37
【解題思路】設a→+b→，c→的夾角為α，進而由題知a→+b→=7，a→-c→?b→-c→=17-47csα，再結合三角函數(shù)性質求解即可.
【解答過程】解：設a→+b→，c→的夾角為α.
因為a→=1，b→=2，a→,b→的夾角θ=π3，
所以a→+b→2=1+2a→?b→+4=5+2×2×csπ3=7，即a→+b→=7，
所以a→-c→?b→-c→=a→?b→-a→+b→?c→+c→2=2×csπ3-a→+b→?c→csα+16 =17-47csα≤17+47.
當且僅當csα=-1時等號成立.
故選：A.
5．（3分）（2022春·山東青島·高二階段練習）已知向量c=a+tb(t∈R)，若a=1，b=2，當且僅當t=-14時，c取得最小值，則向量a與b的夾角為（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【解題思路】設向量a與b的夾角為θ，結合已知條件計算c2=a+tb2=a+tb2進而可得c，再由二次函數(shù)的性質可得c取得最小值的條件，結合θ的范圍即可求解.
【解答過程】因為c=a+tb，a=1，b=2，設向量a與b的夾角為θ，
所以c2=a+tb2=a+tb2=a2+t2b2+2tabcsθ
=4t2+4tcsθ+1=4t+csθ22+1-cs2θ，
所以c=4t+csθ22+1-cs2θ，
又因為當且僅當t=-14時，c最小，即-14+csθ2=0，
所以csθ=12，因為0≤θ≤π，所以θ=π3，
故選：B.
6．（3分）（2022春·河北張家口·高三期中）已知△ABC中，AB=AC=2,A=2π3，設點M，N滿足AM=λAB,AN=(1-λ)AC，λ∈R，若BN?CM=6，則λ=（ ）
A．2B．3C．2或3D．-2或3
【解題思路】首先用基底AB,AC表示BN,CM，代入數(shù)量積公式，即可求解.
【解答過程】BN=AN-AB=1-λAC-AB,CM=AM-AC=λAB-AC,
所以BN?CM=1-λAC-ABλAB-AC
=1-λ?λ?AB?AC-1-λ?AC2-λ?AB2+AB?AC
=1-λ?λ?22?-12-41-λ-4λ+22?-12
=2λ2-2λ-6,
即2λ2-2λ-6=6?λ2-λ-6=0
解得：λ=-2或λ=3.
故選：D.
7．（3分）（2022·全國·高三專題練習）已知向量a,b,c滿足a=1,2a+b=0,2c-a=c-b，則向量c-b與a夾角的最大值是（ ）
A．π12B．π6C．π4D．π3
【解題思路】根據(jù)題意化簡得到(c-b)2-8a?c-b+12=0，得到a?c-b=(c-b)2+128，結合向量的夾角公式和基本不等式，即可求解.
【解答過程】由題意知2c-a=c-b，可得2c-b+b-a=c-b，
又由b=-2a，可得2c-b-3a=c-b，
則4(c-b)2-6a?c-b+9a2=(c-b)2，
即(c-b)2-8a?c-b+12=0，即a?c-b=(c-b)2+128，
所以csa,(c-b)=a?c-bac-b=(c-b)2+128c-b≥212(c-b)28c-b=32，
當且僅當(c-b)2=12時，等號成立，
所以向量c-b與a夾角的最大值是π6.
故選：B.
8．（3分）（2022秋·浙江·高一期中）已知平面向量a,b滿足|a|=2，|b|=3，且|xa+(1-2x)b|(x∈R)的最小值32，則|a+yb|(y∈R)的最小值為（ ）
A．32B．1C．2D．1或2
【解題思路】設f(x)=|xa+(1-2x)b|2，a?b=t，則f(x)=(16-4t)x2+(2t-12)x+3，由f(x)的最小值為34，得4×(16-4t)×3-(2t-12)24×(16-4t)=34，且16-4t>0，解得t=0或t=3，然后分2種情況考慮|a+yb|(y∈R)的最小值，即可得到本題答案.
【解答過程】設f(x)=|xa+(1-2x)b|2，a?b=t，
則f(x)=a2?x2+2x(1-2x)a?b+(1-2x)2b2
=4x2+2x(1-2x)t+31-4x+4x2
=(16-4t)x2+(2t-12)x+3，
因為|xa+(1-2x)b|(x∈R)的最小值32，
所以f(x)的最小值為34，
則4×(16-4t)×3-(2t-12)24×(16-4t)=34，且16-4t>0，
解得t=0或t=3，
當t=0，即a?b=0時，
|a+yb|=4+2ya?b+3y2=4+3y2≥2，
所以|a+yb|(y∈R)的最小值為2；
當t=3，即a?b=3時，
|a+yb|=4+2ya?b+3y2=3y2+6y+4=3(y+1)2+1≥1，
所以|a+yb|(y∈R)的最小值為1，
綜上，|a+yb|(y∈R)的最小值為1.
故選：B.
二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）
9．（4分）（2022·遼寧·校聯(lián)考二模）下列關于向量a，b，c的運算，一定成立的有（ ）．
A．a+b?c=a?c+b?cB．a-b≤a+b
C．a?b≤a?bD．a?b?c=a?b?c
【解題思路】由數(shù)量積的運算律，向量模的幾何意義，數(shù)量積的定義判斷各選項．
【解答過程】A是向量數(shù)量積中乘法與加法的分配律，A正確；
B．設OA=a，OB=b，則a-b=BA，O,A,B三點不共線時，OA+OB>AB，
所以a-b

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