1．（3分）（2023·高一課時練習）在復數(shù)范圍內，有下列命題：①-1的平方根只有i；②i是1的平方根；③若復數(shù)a+bia,b∈R是某一元二次方程的根，則a-bi一定是方程的另一個根；④若z為純虛數(shù)i，則z的平方根為虛數(shù)．上述命題中真命題的個數(shù)為（ ）
A．3B．2C．0D．1
【解題思路】對于①②，根據(jù)平方根的定義即可判斷；對于③，舉反例即可排除；對于④，利用平方根的定義與復數(shù)相等的性質求得z=i的平方根，從而得以判斷.
【解答過程】對于①，-1的平方根有兩個，分別為i和-i，故①錯誤；
對于②，1的平方根是-1和1，故②錯誤；
對于③，令a=1,b=0，則a+bi=1是方程x2+x-2=0的一個根，但方程x2+x-2=0的另一個根是x=-2，并非a-bi=1，
實際上，只有實系數(shù)方程的虛根才是共軛復數(shù)，故③錯誤；
對于④，設z=i的平方根為x+yix,y∈R，則x+yi2=i，即x2-y2+2xyi=i，
故x2-y2=02xy=1，解得x=22y=22或x=-22y=-22，
所以z=i的平方根為22+22i或-22-22i，顯然z的平方根是虛數(shù)，故④正確；
綜上：①②③錯誤，④正確，故真命題的個數(shù)為1.
故選：D.
2．（3分）（2022秋·云南·高三階段練習）已知復數(shù)z在復平面內對應的點為1,-2，則z-2z=（ ）
A．-1-6iB．-1+6i
C．1-6iD．1+6i
【解題思路】由復數(shù)的坐標表示，共軛復數(shù)定義可得答案.
【解答過程】由題意知z=1-2i，z=1+2i，則z-2z=1-2i-21+2i=-1-6i.
故選：A.
3．（3分）已知復數(shù)z=1+3i3-mim∈R是純虛數(shù)，則m=（ ）
A．3B．1C．-1D．-3
【解題思路】求出復數(shù)z的代數(shù)形式，再根據(jù)純虛數(shù)的概念列式計算.
【解答過程】z=1+3i3-mi=1+3i3+mi3-mi3+mi=3-3m+9+mi9+m2,
因為復數(shù)z是純虛數(shù)，
則3-3m=09+m≠0，解得m=1，
故選：B.
4．（3分）若復數(shù)z滿足z1+i=2i，則z+iz=（ ）
A．45B．42C．25D．22
【解題思路】利用復數(shù)的除法化簡復數(shù)z，利用共軛復數(shù)的定義以及復數(shù)的運算可得出z+iz，再利用復數(shù)的模長公式可求得結果.
【解答過程】因為z1+i=2i，則z=2i1+i=2i1-i1+i1-i=1+i，則z=1-i，
所以，z+iz=1+i+i1-i=2+2i，
因此，z+iz=22×2=22.
故選：D.
5．（3分）（2022秋·江蘇南通·高三階段練習）已知z=1+i1-i-i2022，則在復平面內，其共軛復數(shù)z所對應的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【解題思路】利用復數(shù)的運算化簡復數(shù)z，可得其共軛復數(shù)z，利用復數(shù)的幾何意義可得出結論.
【解答過程】因為i4=1，則i2022=i4×505+2=i2=-1，則z=1+i21-i1+i+1=2i2+1=1+i，
所以，z=1-i，因此，復數(shù)z所對應的點位于第四象限.
故選：D.
6．（3分）（2023春·福建泉州·高三階段練習）已知復數(shù)1-i是關于x的方程x2+px+q=0p,q∈R的一個根，則p+qi=（ ）
A．4B．5C．22D．23
【解題思路】將1-i代入方程，利用復數(shù)相等得到方程組解出p,q，再利用模長公式求解即可.
【解答過程】由題意可得1-i2+p1-i+q=0，
即1-2i+i2+p-pi+q=0，
所以p+q-p+2i=0，
所以p+q=0p+2=0，解得p=-2q=2，
所以p+qi=-2+2i=-22+22=22，
故選：C.
7．（3分）（2022春·北京西城·高一階段練習）在復平面內，O為原點，四邊形OABC是復平面內的平行四邊形，且A，B，C三點對應的復數(shù)分別為z1，z2，z3，若z1=1, z3=-2+i，則z2=（ ）
A．1+iB．1－iC．－1+iD．－1－i
【解題思路】根據(jù)復數(shù)加法的幾何意義及法則即可求解.
【解答過程】因為O為原點，四邊形OABC是復平面內的平行四邊形，
又因為z1=1, z3=-2+i，
所以由復數(shù)加法的幾何意義可得，
z2=z1+z3=1-2+i=-1+i.
故選：C.
8．（3分）（2023秋·上海·高二期末）設fx=ax2+bx+c（a、b、c∈R）.已知關于x的方程fx=x有純虛數(shù)根，則關于x的方程ffx=x的解的情況，下列描述正確的是（ ）
A．方程只有虛根解，其中兩個是純虛根
B．可能方程有四個實數(shù)根的解
C．可能有兩個實數(shù)根，兩個純虛數(shù)根
D．可能方程沒有純虛數(shù)根的解
【解題思路】根據(jù)給定條件，設x=mi(m∈R,m≠0)，再利用方程根的意義結合復數(shù)相等，推理計算判斷作答.
【解答過程】a,b,c∈R，f(x)=ax2+bx+c，關于x的方程f(x)=x有純虛數(shù)根，設純虛數(shù)根為x=mi(m∈R,m≠0)，
則有f(mi)=mi，即-am2+c+bmi=mi，即有c=am2,b=1，a≠0，f(x)=ax2+x+am2，
方程f(x)=x化為x2+m2=0，方程有兩個純虛數(shù)根為±m(xù)i，
方程f(f(x))=x化為：a2x4+2ax3+2(a2m2+1)x2+2am2x+a2m4+2m2=0，
整理得(a2x2+2ax+a2m2+2)(x2+m2)=0，于是得x2+m2=0或a2x2+2ax+a2m2+2=0，
因此方程f(f(x))=x有兩個純虛數(shù)根±m(xù)i，
而方程a2x2+2ax+a2m2+2=0中，Δ=4a2-4a2(a2m2+2)=-4a2(a2m2+1)

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