高考數(shù)學第二輪復習專題練習專題6.10 平面向量的應用（重難點題型檢測）（教師版）-試卷下載-教習網(wǎng)

1．（3分）（2022·全國·高一專題練習）以A4,1，B1,5，C-3,2，D(0,-2)為頂點的四邊形的形狀是（）
A．梯形B．平行四邊形C．矩形D．正方形
【解題思路】利用向量的坐標表示可得AB=DC，再結(jié)合向量垂直及模長相等即得.
【解答過程】∵A4,1，B1,5，C-3,2，D(0,-2)，
∴AB=(-3,4),DC=(-3,4)，
∴AB=DC，即四邊形ABCD為平行四邊形，又BC=(-4,-3)，
∴AB?BC=(-4,-3)?(-3,4)=0，即AB⊥BC，
則四邊形ABCD為矩形，又AB=BC=5
則四邊形ABCD為正方形.
故選：D.
2．（3分）（2022春·寧夏銀川·高一期中）在四邊形ABCD中，若AB+CD=0,AC?BD=0，則四邊形為（）
A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．菱形
【解題思路】依據(jù)向量相等的幾何意義和向量數(shù)量積的幾何意義去判斷四邊形的形狀.
【解答過程】由AB+CD=0，可得AB=DC，即AB//CD，則四邊形ABCD為平行四邊形；
又由AC?BD=0，可得AC⊥BD，則平行四邊形四邊形ABCD為菱形
故選：D.
3．（3分）（2021春·山東·高一階段練習）若平面上的三個力F1,F2,F3作用于一點，且處于平衡狀態(tài)．已知F1=1N,F3=3N，F(xiàn)1與F3的夾角為150°，則力F2的大小為（）．
A．7B．7C．102D．1
【解題思路】根據(jù)三力平衡得到F1+F3=-F2，然后通過平方將向量式數(shù)量化得到F12+2F1?F3cs150°+F32=F22，代入數(shù)據(jù)即可得到答案.
【解答過程】根據(jù)三力平衡得F1+F3+F2=0，即F1+F3=-F2，
兩邊同平方得F12+2F1?F3+F32=F22，
即F12+2F1?F3cs150°+F32=F22
即12+2×1×3?-32+32=F22,
解得F2=1，
故選：D.
4．（3分）（2022春·遼寧錦州·高一期末）已知△ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，點D在BC邊上且BD=13BC，則AD長度為（）
A．3B．32C．33D．233
【解題思路】利用向量數(shù)量積去求AD長度即可.
【解答過程】△ABC中，點D在BC邊上且BD=13BC，
則AD=AB+BD=AB+13AC-AB=13AC+23AB，
又AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
則AD=13AC+23AB2=19AC2+49AB2+49AC?AB
=19×4+49×1+49×1×2×12=233，即AD長度為233，
故選：D.
5．（3分）（2023·全國·高三專題練習）△ABC中，若AB=AC=5，BC=6，點E滿足CE=215CA+15CB，直線CE與直線AB相交于點D，則cs∠ADE=（）
A．1010B．31010C．-1010D．-31010
【解題思路】本題首先可構(gòu)建直角坐標系，根據(jù)題意得出B0,0、C6,0、A3,4，然后根據(jù)A、B、D三點共線以及C、E、D三點共線得出CD=25CA+35CB，再然后根據(jù)向量的運算法則得出DC=245,-85、BA=3,4，最后根據(jù)cs∠ADE=BA??DC?BA??DC?即可得出結(jié)果.
【解答過程】如圖所示，以B點為原點，BC為x軸構(gòu)建直角坐標系，
因為AB=AC=5，BC=6，所以B0,0，C6,0，A3,4，
設(shè)CD=xCA+yCB，
因為A、B、D三點共線，所以x>0，y>0，x+y=1，
因為CE=215CA+15CB，C、E、D三點共線，所以215x=15y，
聯(lián)立215x=15yx+y=1，解得x=25，y=35，CD=25CA+35CB，
因為CB=-6,0，CA=-3,4，所以CD=-245,85，DC=245,-85，
因為BA=3,4，
所以cs∠ADE=BA?DCBA?DC=725-3255×2452+-852=85×64025=1010，
故選：A.
6．（3分）（2022秋·湖南長沙·高三階段練習）在△ABC中，滿足AB⊥AC，M是BC的中點，若O是線段AM上任意一點，且AB=AC=2，則OA?OB+OC的最小值為（）
A．0B．-32C．-12D．2
【解題思路】由已知可得△ABC為等腰直角三角形，建立直角坐標系，利用坐標法可得向量的數(shù)量積，進而可得最值.
【解答過程】由AB⊥AC，AB=AC=2，
∴△ABC為等腰直角三角形，
以A為原點，AB，AC為x軸和y軸建立直角坐標系，
如圖所示，
∴A0,0，B2,0，C0,2，
∵M是BC的中點，M22,22，
O是線段AM上任意一點，
∴可設(shè)Ox,x，0≤x≤22，
∴OB=2-x,-x，OC=-x,-x+2，OA=-x,-x，
∴OB+OC=2-2x,2-2x，
∴OA?OB+OC=-x2-2x+-x2-2x=4x2-22x=4x-242-12，
故當x=24時，OA?OB+OC的最小值為-12，
故選：C．
7．（3分）（2023·全國·高三專題練習）已知四邊形ABCD是矩形，AB=2AD，DF=λDC，BE=μBC，λ+μ=1，AE⊥AF，則EFAD=（）
A．533B．539C．653D．659
【解題思路】方法一：根據(jù)題意，建立平面直角坐標系，設(shè)AB=2AD=2，進而利用坐標法求解即可；
解法二：用BC,AB為基底表示向量AE，AF，再根據(jù)AE⊥AF得AE?AF=0得λ=-13，μ=43，再根據(jù)EF2=AE2+AF2計算得EF2=659AD2，進而得答案.
【解答過程】解：解法一如圖，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系，設(shè)AB=2AD=2，則A0,0，B2,0，D0,1，C2,1.
∴AB=2,0，AD=0,1，BC=0,1，DC=2,0.
∴DF=λDC=2λ,0，BE=μBC=0,μ.
∴AE=AB+BE=2,μ，AF=AD+DF=2λ,1.
∵AE⊥AF，
∴AE?AF=0，即2×2λ+μ×1=0.
又λ+μ=1，
所以λ=-13，μ=43.
∴EF=AF-AE=-83,-13.
∴EF=-832+-132=653.
∵AD=1，∴EFAD=653.
故選：C.
解法二：∵AE=AB+BE=AB+μBC=AB+1-λBC，
AF=AD+DF=AD+λDC=BC+λAB，
∴AE?AF=AB+1-λBC?BC+λAB=1+λ1-λAB?BC+1-λBC2+λAB2=1-λ BC2+4λBC2=1+3λBC2.
∵AE⊥AF，∴1+3λ=0，得λ=-13.∴μ=43，
EF2=AE2+AF2
=AB+43BC2+BC-13AB2=AB2+169BC2+BC2+19AB2=659AD2.
∴EFAD=659= 653.
故選：C.
8．（3分）（2022春·北京海淀·高一階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60°,AB=2,AD=3,E為線段CD的中點，F(xiàn)為線段AB上一動點（包括端點），且EF=λDA+μCB，則下列說法錯誤的是（）
A．BC=52
B．若F為線段AB的中點，則λ+μ=1
C．FC?FD的最小值為154
D．μ的最大值比最小值大85
【解題思路】建立平面直角坐標系，作出輔助線，利用相似求出邊長，求出點的坐標，進而利用向量解決四個選項.
【解答過程】以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立空間直角坐標系，過點C作CG⊥x軸于點G，作CH⊥y軸于點H，過點B作BM⊥CH交HC的延長線于點M，則△CDH～△BCM，
因為AB⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60°，
所以∠CDH=60°，設(shè)HD=x，則CH=3x，則BM=AH=3+x，CM=2-3x，
則DHCM=CHBM，即x2-3x=3x3+x，解得：x=34或x=0（舍去），
則A0,0,B2,0,D0,3,C34,534，E38,938，
BC=BM2+CM2=7516+2516=52，A說法正確；
若F為線段AB的中點，則F1,0，
所以EF=58,-938,DA=0,-3,CB=54,-534，
則58=54μ-938=-3λ-534μ，解得：λ=12μ=12，則λ+μ=1，B說法正確；
設(shè)Fm,0,0≤m≤2，
則FC?FD=34-m,534?-m,3=m2-34m+154=m-382+23164，
故當m=38時，F(xiàn)C?FD取得最小值，故最小值為23164，C選項說法錯誤；
EF=m-38,-938，則m-38=54μ-938=-3λ-534μ，
因為0≤m≤2，則m-38∈-38,138，所以54μ∈-38,138，
解得：μ∈-310,1310，1310--310=85，
所以μ的最大值比最小值大85，D說法正確.
故選：C.
二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）
9．（4分）（2022春·廣東佛山·高一期末）一物體受到3個力的作用，其中重力G的大小為4N，水平拉力F1的大小為3N，另一力F2未知，則（）
A．當該物體處于平衡狀態(tài)時，F(xiàn)2=5N
B．當F2與F1方向相反，且F2=5N時，物體所受合力大小為0
C．當物體所受合力為F1時，F(xiàn)2=4N
D．當F2=2N時，3N≤F1+F2+G≤7N
【解題思路】根據(jù)向量的加法法則作圖可判斷AB；根據(jù)題意分析G與F2的合力大小可判斷C；由F2與AD共線時合力取得最值可判斷D.
【解答過程】A選項：由題知，F(xiàn)2的大小等于重力G與水平拉力F1的合力大小，由圖知F2=5N，故A正確；
B選項：如圖，物體所受合力應等于向量AD與F2的和向量的大小，顯然B錯誤；
C選項；當物體所受合力為F1時，說明G與F2的合力為0，所以F2=4N，C正確；
D選項：由上知，重力G與水平拉力F1的合力為AD，AD=5N，易知當F2與AD同向時合力最大，最大值為7N，反向時合力最小，最小值為3N，
即3N≤F1+F2+G≤7N，故D正確.
故選：ACD.
10．（4分）（2022秋·廣東佛山·高二期中）已知點A-2,1，B3,-2，C5,185，D1,6，則以下四個結(jié)論正確的是（）
A．AB//CDB．AB⊥AD
C．AC=BDD．AC⊥BD
【解題思路】根據(jù)點A-2,1，B3,-2，C5,185，D1,6，得到AB,CD,AC,AD,BD的坐標，然后逐項判斷.
【解答過程】因為點A-2,1，B3,-2，C5,185，D1,6，
所以AB=5,-3,CD=-4,125,AC=7,135,AD=3,5,BD=-2,8，
因為5×125=-3-4 ，所以AB//CD，故正確；
因為 5×3+-3×5=0，所以AB⊥AD，故正確；
因為AC=72+1352=13945,BD=82+-22=68，所以AC≠BD，故錯誤；
因為7×-2+135×8≠0，所以AC⊥BD不成立，故錯誤.
故選：AB.
11．（4分）（2022·全國·高一專題練習）在△ABC中，D，E分別是線段BC上的兩個三等分點（D，E兩點分別靠近B，C點），則下列說法正確的是（）
A．AB+AC=AD+AE
B．若F為AE的中點，則BF=14AC-34AB
C．若AB?AC=0，AB=1，AC=2，則AD?AE=109
D．若AB+AC=3AB-AC，且AB=AC，則∠CAB=60°
【解題思路】取BC的中點M，則M也是DE的中點，根據(jù)向量的加法運算即可判斷A；根據(jù)平面向量基本定理及線性運算即可判斷B；根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律即可判斷C；根據(jù)平面向量基本定理及線性運算結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可判斷D.
【解答過程】解：對于A，取BC的中點M，則M也是DE的中點，
則有AM=12AB+AC=12AD+AE，所以AB+AC=AD+AE，故A正確；
對于B，若F為AE的中點，則BF=BA+AF=-AB+12AE=-AB+1213AB+23AC=-56AB+13AC，故B錯誤；
對于C，因為D，E分別為線段BC上的兩個三等分點，所以AD?AE=AB+BD?AC+CE=AB+13BCAC-13BC=AB+13AC-AB，AC-13AC-AB=23AB+13AC?23AC+13AB=29AB2+29AC2+59AB，AC=29×1+4+0=109，故C正確；
對于D，由A選項得，AB+AC=2AM，
由AB-AC=CB，因為AB+AC=3AB-AC，
所以AM=32CB，即AMCM=3，
因為AB=AC，所以AM⊥BC，AM平分∠BAC，
在Rt△AMC中，tan∠ACB=AMCM=3，所以∠ACB=60°，
所以△ABC為等邊三角形，所以∠CAB=60°，故選：D.
故選：ACD.
12．（4分）（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知扇形OAB的半徑為1，∠AOB=π2，點C、D分別為線段OA、OB上的動點，且CD=1，點E為AB?上的任意一點，則下列結(jié)論正確的是（）
A．OE?AB的最小值為0B．EA?EB的最小值為1-2
C．EC?ED的最大值為1D．EC?ED的最小值為0
【解題思路】以O(shè)為原點建立如圖所示的直角坐標系，得B0，1，A1，0，設(shè)∠EOA=θ，則Ecsθ，sinθθ∈0,π2，求出AB?OE=2sinθ-π4，利用θ的范圍可判斷A；
求出EA、EB的坐標，由EA?EB=1-2sinθ+π4，利用θ的范圍可判斷B；設(shè)Ct,0t∈0,1，可得D0,1-t2，求出EC、ED，由EC?ED =1-sinθ+φ，利用 t、φ、θ，的范圍可判斷CD.
【解答過程】
以O(shè)為原點建立如圖所示的直角坐標系，所以B0，1，A1，0，
設(shè)∠EOA=θ，則Ecsθ，sinθθ∈0,π2，OE=csθ，sinθ，
AB=-1，1，所以AB?OE=sinθ-csθ=2sinθ-π4，
因為θ∈0,π2，所以θ-π4∈-π4,π4，所以sinθ-π4∈-22,22，
所以AB?OE∈-1,1，OE?AB的最小值為-1，故A錯誤；
EA=1-csθ,-sinθ，EB=-csθ,1-sinθ，
所以EA?EB=-csθ+cs2θ-sinθ+sin2θ=1-2sinθ+π4，
因為θ∈0,π2，所以θ+π4∈π4,3π4，所以sinθ+π4∈22,1，
所以1-2sinθ+π4∈1-2,0，EA?EB∈1-2,0，
EA?EB的最小值為1-2，故B正確；
設(shè)Ct,0t∈0,1，又CD=1，所以O(shè)D=1-t2，可得D0,1-t2，
EC=t-csθ,-sinθ，ED=-csθ,1-t2-sinθ，
所以EC?ED=tcsθ+cs2θ-1-t2sinθ+sin2θ=1-tcsθ+1-t2sinθ
=1-sinθ+φ，其中csφ=1-t2,sinφ=t，
又t∈0,1，所以csφ,sinφ∈0,1，所以φ∈0,π2，φ+θ∈0,π，
sinφ+θ∈0,1，-sinφ+θ∈-1,0，所以EC?ED∈0,1，
EC?ED的最小值為0，故CD正確.
故選：BCD.
三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）
13．（4分）（2022春·貴州·高二期末）如圖，作用于同一點O的三個力F1 ，F(xiàn)2 ，F(xiàn)3 處于平衡狀態(tài)，已知|F1|=1，|F2|=2，F(xiàn)1與F2的夾角為34π，則F3的大小為 1 .
【解題思路】利用共點力的平衡條件，得到F1+F2+F3=0，移項，解出即可.
【解答過程】F1,F2,F3三個力處于平衡狀態(tài)，F(xiàn)1+F2+F3=0，即F3=-(F1+F2)，
則|F3|=|F1+F2|=(F1+F2)2=F12+2?F1?F2+F22
=1+2×1×2×cs3π4+2=1，
故答案為：1.
14．（4分）（2023·全國·高三專題練習）已知兩點E,F分別是四邊形ABCD的邊AD,BC的中點，且AB=3，CD=2，∠ABC=45°，∠BCD=75°，則線段EF的長為是 192 .
【解題思路】作AH//CD，交BC于點H，可知∠BAH=60°；利用向量線性運算可得到2EF=AB+DC，根據(jù)EF2=14AB+DC2，由向量數(shù)量積的定義和運算律可求解得到EF.
【解答過程】作AH//CD，交BC于點H，則∠BHA=∠BCD=75°，
∴∠BAH=180°-45°-75°=60°，則cs=cs=cs∠BAH=12；
∵EF=EA+AB+BF，EF=ED+DC+CF，
又EA=-ED，BF=-CF，∴2EF=EA+AB+BF+ED+DC+CF=AB+DC，
∴EF2=14AB+DC2=14AB2+14DC2+12AB?DCcs =94+1+32=194，
∴EF=192，
故答案為：192.
15．（4分）（2022·高二課時練習）如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=6，∠BAC=60°，BC=2BM，AC=3AN，線段AM，BN相交于點P，則∠MPN的余弦值為 1313 .
【解題思路】依次算出BN?AM、|AM|、BN，然后可得答案.
【解答過程】由已知，AB=2，AN=2，∠BAC=60°，得BN=2，
又由AM=12(AB+AC)得|AM|=12|AB|2+2|AB||AC|cs60°+|AC|2=13，
因為BN=13AC-AB，
所以BN?AM=(13AC-AB)?12(AB+AC)=16|AC|2-12|AB|2-13|AB||AC|cs60°=2，
所以cs∠MPN=cs?BN,AM?=BN?AM|BN||AM|=1313，
故答案為：1313.
16．（4分）（2022秋·天津·高三階段練習）如圖，在△ABC中，B=π3，AB=2，點M滿足AM=13AC，BM?AC=43，O為BM中點，點N在線段BC上移動（包括端點），則OA?ON的最小值是 -2936 .
【解題思路】本題采用建系法，設(shè)C(t,0)，利用向量共線得到Mt+23,233，再寫出BM=t+23,233，AC=(t-1,-3)，從而得到方程(t+2)(t-1)3-2=43，解出t即可求出O坐標為O56,33，再設(shè)Nn,0，0≤n≤3，寫出OA=16,233，ON=n-56,-33，則OA?ON的函數(shù)表達式，利用函數(shù)單調(diào)性即可求出最值.
【解答過程】以B為原點，BC所在直線為x軸建立如圖所示直角坐標系，
設(shè)C(t,0)，t>0，∵AB=2,B=π3,∴A(1,3)，
設(shè)M(x,y)，∴AM=(x-1,y-3)，AC=(t-1,-3)，
∵AM=13AC，∴x-1=13(t-1)，x=t+23，
y-3=13×(-3)，y=233，∴Mt+23,233，
∴BM=t+23,233，AC=(t-1,-3)，
∵BM?AC=43，即(t+2)(t-1)3-2=43，解得t=3，
∴M53,233，因為O為BM中點，∴O56,33，
設(shè)Nn,0，0≤n≤3，∴OA=16,233，ON=n-56,-33,
∴OA?ON=16n-56-23=16n-2936,∵0≤n≤3
所以當n=0時16n-2936min=-2936，即(OA?ON)min=-2936，
故答案為：-2936.
四．解答題（共6小題，滿分44分）
17．（6分）（2022·高一課時練習）如圖所示，四邊形ABCD中，AB→=DC→，N，M是AD，BC上的點，且CN→=MA→.求證：DN→=MB→.
【解題思路】可得四邊形ABCD是平行四邊形，同理可證，四邊形CNAM是平行四邊形，即可得證.
【解答過程】因為AB→=DC→，所以|AB→|=|DC→|且AB∥CD，
所以四邊形ABCD是平行四邊形.所以|DA→|=|CB→|且DA∥CB.
同理可證，四邊形CNAM是平行四邊形，
所以|CM→|=|NA→|，所以|MB→|=|DN→|，DN∥MB，即DN→與MB→的模相等且方向相同，
所以DN→=MB→.
18．（6分）（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，若D是△ABC內(nèi)的一點，且AB2-AC2=DB2-DC2，求證：AD⊥BC.
【解題思路】設(shè)AB→=a→，AC→=b→，AD→=e→，DB→=c→，DC→=d→，根據(jù)向量加法得a→=e→+c→，b→=e→+d→，
計算a→2﹣b→2結(jié)合條件可得e→·c→=e→·d→，即可證明.
【解答過程】設(shè)AB→=a→，AC→=b→，AD→=e→，DB→=c→，DC→=d→，
則a→=e→+c→，b→=e→+d→，
所以a→2﹣b→2=(e→+c→)2-(e→+d→)2=c→2+2e·c→-2e→·d→-d→2，
由條件知：a→2=c→2﹣d→2+b→2，
所以e→·c→=e→·d→，即e→·(c→-d→)=0，
即AD→?CB→=0，
所以AD⊥BC.
19．（8分）（2022·全國·高一專題練習）如圖，長江某地南北兩岸平行，江面的寬度d＝1 km，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸．假設(shè)游船在靜水中的航行速度v1的大小為v1=10 km/h，水流速度v2的大小為v2=4 km/h，設(shè)v1和v2的夾角為θ，北岸A'在A的正北方向．
(1)當θ=120°時，判斷游船航行到北岸時的位置是在圖中A'的左側(cè)還是右側(cè)，并說明理由．
(2)當csθ多大時，游船能到達A'處？需航行多長時間？
【解題思路】(1)θ=120°時，游船水平方向的速度大小為v1cs(180°-θ)-v2然后確定方向即可．
(2)若游船能到A'處，則有v2=v1cs(180°-θ)，求出csθ，然后求出時間t即可；
【解答過程】(1)
θ=120°時，游船水平方向的速度大小為v1cs(180°-θ)-v2=1 km/h，方向水平向左，故最終到達北岸時游船在A'點的左側(cè)；
(2)
若游船能到A'處，則有v2=v1cs(180°-θ)，
則有csθ=-cs(180°-θ)=v2v1=-25，
此時游船垂直江岸方向的速度v=v1sinθ=221 km/h，
時間t=dv=2142 h.
20．（8分）（2022秋·廣東廣州·高三階段練習）如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=1，AC=3，點D在線段BC上，且BD=12DC．
(1)求AD的長；
(2)求cs∠DAC．
【解題思路】（1）用a、b表示AD，再根據(jù)a、b的長度和夾角可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)夾角公式可求出結(jié)果.
【解答過程】（1）
設(shè)AB=a，AC=b，
則AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13AC-AB=23AB+13AC=23a+13b．
AD2=AD2=23a+13b2=49a2+2×29×a?b+19b2
=49×1+2×29×1×3×cs120°+19×9=79．故AD=73．
（2）
因為cs∠DAC=AD?ACAD?AC=23a+13b?b73×3=23a?b+13b27
=23×1×3×-12+13×327=277．
所以cs∠DAC=277.
21．（8分）（2022春·浙江臺州·高一期中）在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，AD⊥AB，CD=1，AD=2，AB=3，動點E、F分別在線段BC和DC上，AE和BD交于點M，且BE=λBC，DF=1-λDC，λ∈R．
(1)當AE?BC=0時，求λ的值；
(2)當λ=23時，求DMMB的值；
(3)求AF+12AE的取值范圍．
【解題思路】(1)在直角梯形ABCD中，根據(jù)幾何關(guān)系求出∠ABC和BC長度，當AE⊥BC時，求出BE長度，從而可得λ=BEBC；
(2)設(shè)AM=xAE，DM=yDB，以AB,AD為基底用兩種形式表示出AM，從而可得關(guān)于x、y的方程組，解方程組可得DMMB=y1-y；
(3)以AB,AD為基底表示出AE、AF，從而表示出AF+12AE，求出AF+12AE2的范圍即可求出AF+12AE的范圍．
【解答過程】(1)
在直角梯形ABCD中，易得∠ABC=π4，BC=22，
∵AE?BC=0，∴AE⊥BC，∴△ABE為等腰直角三角形，∴BE=322，
故λ=BEBC=34；
(2)
AE=AB+BE=AB+λBC=AB+λBA+AD+DC=AB-λAB+λAD+λ3AB
=1-23λAB+λAD，
當λ=23時，AE=59AB+23AD，
設(shè)AM=xAE，DM=yDB，
則AM=xAE=59xAB+23xAD，
AM=AD+DM=AD+yDB=AD+y(DA+AB)=yAB+1-yAD，
∵AB,AD不共線，∴59x=y23x=1-y，解得y1-y=56，即DMMB=56；
(3)
∵AF=AD+DF=AD+(1-λ)DC=AD+1-λ3AB，AE=λAD+1-23λAB，
∴AF+12AE=1+λ2AD+56-2λ3AB，
AF+12AE2=1+λ22?|AD|2+56-2λ32?|AB|2=41+λ22+956-2λ32
＝(λ+2)2+52-2λ2=5λ2-6λ+414，
由題意知，λ∈0,1，
∴當λ=35時，AE+AF取到最小值5×352-6×35+414＝13510，
當λ=0時，AE+AF取到最大值412，
∴AF+12AE的取值范圍是13510,412．
22．（8分）（2022春·江蘇常州·高一階段練習）在ΔABC中，滿足：AB⊥AC，M是BC的中點.
（1）若AB=AC，求向量AB+2AC與向量2AB+AC的夾角的余弦值；
（2）若O是線段AM上任意一點，且AB=AC=2，求OA?OB+OC?OA的最小值：
（3）若點P是∠BAC內(nèi)一點，且AP=2，AP?AC=2，AP?AB=1，求AB+AC+AP的最小值.
【解題思路】（1）利用向量的數(shù)量積公式得到csθ=(AB+2AC)·(2AB+AC)|AB+2AC|·|2AB+AC|，利用向量的數(shù)量積公式展開，求出向量AB+2AC與向量2AB+AC的夾角的余弦值；
（2）通過解三角形求出AM的長，設(shè)|OA|=x，則|OM|=1-x，利用向量的平行四邊形法則得到而OB+OC=2OM，利用向量的數(shù)量積公式將OA·OB+OC·OA表示成關(guān)于x的二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最值求出最小值；
（3）設(shè)∠CAP=α，將已知條件利用向量的數(shù)量積公式表示成關(guān)于α的三角函數(shù)，將|AB+AC+AP|平方轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的三角函數(shù)，然后利用基本不等式求出其最小值．
【解答過程】解：（1）設(shè)向量AB+2AC，與向量2AB+AC的夾角為θ
∴csθ=AB+2AC?2AB+ACAB+2AC?2AB+AC，
令AB=AC=a，∴csθ=2a2+2a25a?5a=45.
（2）∵AB=AC=2，∴AM=1，
設(shè)OA=x，則OM=1-x，而OB+OC=2OM，
∴OA?OB+OC?OA=OA?OB+OC=2OA?OM=2OAOMcsπ
=-2x1-x=2x2-2x=2x-122-12，
當且僅當x=12時，OA?OB+OC?OA的最小值是-12.
（3）設(shè)∠CAP=α?∠BAP=π2-α，
∵AP?AC=2，AP?AB=1，AP=2，
∴2?ACcsα=2?AC=1csα，
同理：2?ABcsπ2-α=1?AB=12sinα，
∴AB+AC+AP2
=AB2+AC2+AP2+2AB?AC+2AC?AP+2AB?AP
=1cs2α+14sin2α+4+2+4
=sin2α+cs2αcs2α+sin2α+cs2α4sin2α+10
=sin2αcs2α+cs2α4sin2α+454≥2sin2αcs2αcs2α4sin2α+454=1+454=494，
當且僅當sin2αcs2α=cs2α4sin2α?tanα=22時，
所以AB+AC+APmin=72.

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