1．二面角
(1) 二面角的定義
①半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常叫做半平面.
②二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個
半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的表示
①棱為AB，面分別為，的二面角記作二面角-AB-，如果棱記作l，那么這個二面角記作二面角
-l-，如圖(1).
②若在，內(nèi)分別取不在棱上的點P，Q，這個二面角可記作二面角P-AB-Q，如果棱記作l，那么這
個二面角記作二面角P-l-Q，如圖(2).

(3)二面角的平面角
①自然語言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線 OA 和
OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②圖形語言
③符號語言
∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
(4)二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.平面
角是直角的二面角叫做直二面角.
②當二面角的兩個半平面重合時，規(guī)定二面角的大小是；當二面角的兩個半平面合成一個平面時，
規(guī)定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范圍是.
2．面面垂直的定義及判定定理
(1)平面與平面垂直的定義
一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.平面與垂
直，記作⊥.
(2)兩個平面互相垂直的畫法
如圖，畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直.
(3)平面與平面垂直的判定定理
①自然語言
如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.
②圖形語言
③符號語言
.
該定理可簡記為“若線面垂直，則面面垂直”.
3．平面與平面垂直的性質(zhì)定理
(1)平面與平面垂直的性質(zhì)定理
①自然語言
兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.
②圖形語言
③符號語言
.
(2)性質(zhì)定理的作用
①證明線面垂直、線線垂直；
②構(gòu)造面的垂線.
4．直線、平面位置關(guān)系中的相關(guān)結(jié)論及其轉(zhuǎn)化
(1)判定直線與直線垂直的方法
①定義法：兩條直線所成的角為，則這兩條直線互相垂直.
②利用直線與平面垂直的性質(zhì)來判定.
③若一條直線垂直于兩平行直線中的一條，則該直線也垂直于另一條.
(2)判定直線與平面垂直的方法
①定義法：一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則該直線與這個平面垂直.
②利用直線與平面垂直的判定定理來判定.
③利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理來判定.
④如果兩平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面，即a∥b，a⊥b⊥.
⑤如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么該直線也垂直于另一個平面，即∥，a⊥
a⊥.
(3)平面與平面垂直的其他性質(zhì)與結(jié)論
①如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi).
②如果兩個平面互相垂直，那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面.
③如果兩個平面互相垂直，那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在另一個平面內(nèi).
④如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面.
⑤三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直.
(4)線、面垂直位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化
(5)平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化
【題型1 求二面角】
【方法點撥】
求二面角的關(guān)鍵是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂線法來作平面角，即
過二面角的一個半平面內(nèi)不在棱上的一點作另一個半平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找
到二面角的平面角或其補角.
【例1】（2022秋·貴州遵義·高二期末）如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，點H為線段PB上一點（不含端點），平面AHC⊥平面PAB．
(1)證明：PB⊥AC；
(2)若AB=AC=1，四棱椎P－ABCD的體積為13，求二面角P－BC－A的余弦值．
【解題思路】（1）利用面面垂直性質(zhì)定理與線面垂直性質(zhì)定理，結(jié)合公理2，可得線面垂直，可得答案；
（2）根據(jù)二面角的平面角定義作圖，利用等面積法以及棱錐體積公式，求得邊長，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，可得答案.
【解答過程】（1）∵PA⊥平面ABCD，且C∈平面ABCD，∴過點C所有垂直于PA的直線都在平面ABCD內(nèi)，
∵平面AHC⊥平面ABP，且C∈平面AHC，∴存在一條過C的直線l⊥平面ABP，且l?平面AHC，
∵PA?平面ABP，∴l(xiāng)⊥PA，則l?平面ABCD，∵平面ABCD∩平面AHC=AC，∴l(xiāng)與AC為同一條直線，
即AC⊥平面ABP，∵PB?平面ABP，∴AC⊥PB.
（2）在平面ABCD內(nèi)，過A作AE⊥BC，且AE∩BC=E，連接PE，作圖如下：
∵PA⊥平面ABCD，且BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，同理可得PA⊥AE，
∵AE⊥BC，AE∩PA=A，AE,PA?平面PAE，∴BC⊥平面PAE，
∵PE?平面PAE，∴∠PEA為二面角P-BC-A的平面角，
在Rt△ABC中，S△ABC=12?AB?AC=12?AE?BC，且BC=AB2+AC2=2，則AE=22，
在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD的面積S=AB?AC=1，則其體積V=13?PA?S=13，解得PA=1，
在Rt△PAE中，cs∠PEA=PAPE=PAPA2+AE2=63，
故二面角P-BC-A的余弦值為63.
【變式1-1】（2023·高一課時練習）已知PA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，異面直線PB與CD所成的角為45°．
(1)二面角B-PC-D的大小；
(2)直線PB與平面PCD所成的角的大?。?br>【解題思路】（1）作BE⊥PC于E，連接ED，由已知推導出∠BED就是二面角B-PC-D的平面角，由此根據(jù)余弦定理得出cs∠BED，即可得出答案；
（2）還原棱錐為正方體ABCD-PB1C1D1，作BF⊥CB1于F，連接PF，即可推導出∠BPF就是直線PB與平面PCD所成的角，即可求出答案.
【解答過程】（1）∵ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠PBA就是異面直線PB與CD所成的角，即∠PBA=45°，
∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB，
∴PA=AB，
作BE⊥PC于E，連接ED，
在△ECB與△ECD中，BC=CD，CE=CE，∠ECB=∠ECD，
∴△ECB?△ECD，
∴∠CED=∠CEB=90°，
∴∠BED就是二面角B-PC-D的平面角，
設AB=a，則BD=PB=2a，PC=3a，
則BE=DE=PB?BCPC=63a，
則cs∠BED=BE2+DE2-BD22×BE×DE=-12，即∠BED=120°，
∴二面角B-PC-D的大小為120°；
（2）還原棱錐為正方體ABCD-PB1C1D1，作BF⊥CB1于F，
∵平面PB1C1D1⊥平面BB1C1C，
∴BF⊥B1P，
∴BF⊥平面PB1CD，
連接PF，則∠BPF就是直線PB與平面PCD所成的角，
BF=22a，PB=2a，
∴sin∠BPF=12，即∠BPF=30°，
∴直線PB與平面PCD所成的角為30°.
【變式1-2】（2023春·江蘇常州·高三開學考試）如圖，在邊長為4的等邊三角形ABC中，平行于BC的直線分別交線段AB,AC于點M,N.將△AMN沿著MN折起至△A1MN，使得二面角A1-MN-B是直二面角.
(1)若平面A1MN∩平面A1BC=l，求證：l//BC；
(2)若三棱錐A1-AMN的體積為1，求二面角N-A1M-B的正弦值.
【解題思路】（1）利用線線平行證明線面平行，再利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行.
（2）由已知求證得M,N分別為AB,AC中點，利用二面角的定義，作輔助線，利用幾何法求二面角的正弦值.
【解答過程】（1）證明：∵BC//MN，BC?平面A1MN，MN?平面A1MN，
∴BC//平面A1MN，又∵BC?平面A1BC，平面A1BC∩平面A1MN=l，
∴l(xiāng)//BC；
（2）設AM=x，過A1作A1D⊥MN于點D，如圖所示，
∵二面角A1-MN-B為直二面角，∴A1D⊥平面ABC，
∴VA1-AMN=13?34x2?32x=1，解得x=2，∴M,N分別為AB,AC中點，
過B作BE⊥MN于點E，因為A1D⊥BE，A1D∩MN=D，A1D,MN?平面A1MN，
∴BE⊥平面A1MN，∴BE⊥ A1F，
過E作EF⊥A1M于點F，連接BF，因為EF∩BE=E，
所以A1F⊥平面BEF，所以A1F⊥BF
∴∠BFE即為二面角N-A1M-B的平面角α的補角，
且BE=2sin60°=3，EM=1，EF=1?sin60°=32，∴BF=3+34=152，
∴sinα=sin∠BFE=3152=3?215=255.
二面角N-A1M-B的正弦值為255.
【變式1-3】（2022秋·湖南郴州·高二階段練習）已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長為2的等邊三角形，PA⊥平面ABC，∠PCA=45°，點M為線段PC上一動點.
(1)當點M為PC中點時，證明：BM⊥AC；
(2)當平面ABC與平面ABM所成二面角為60°時，試確定點M的位置.
【解題思路】（1）設E為AC的中點，連接ME,BE,證明AC⊥平面MBE，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；
（2）作出平面ABC與平面ABM所成二面角的平面角，利用平面角的度數(shù)求得相關(guān)線段的長，計算MC=35PC，即可確定定點M的位置.
【解答過程】（1）設E為AC的中點，連接ME,BE,
由于點M為PC中點，故ME∥PA,而PA⊥平面ABC，故ME⊥平面ABC，
AC?平面ABC，故ME⊥AC;
又底面ABC是等邊三角形，故BE⊥AC ,而ME∩BE=E,ME,BE?平面MBE，
所以AC⊥平面MBE，又BM?平面MBE，
故AC⊥BM即BM⊥AC .
（2）如圖，過點M作MN⊥AC,垂足為N,由于PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，
故PA⊥AC,且PA,MN?平面PAC,故PA∥MN,則MN⊥平面ABC，
而AB?平面ABC，故MN⊥AB,
作NF⊥AB,垂足為F,連接MF,MN∩NF=N,MN,NF?平面MNF，
故AB⊥平面MNF，MF?平面MNF,所以AB⊥MF,
又NF?平面ABC,MF?平面ABM,
即∠MFN為平面ABC與平面ABM所成二面角的平面角，即∠MFN=60°，
設NF=x，則MN=3x，因為∠PCA=45°，故NC=3x,MC=6x,
又底面ABC是等邊三角形，∠FAN=60°，故AN=xsin60°=233x，
而AC=2 ,故233x+3x=2,∴x=235，
則MC=6x=625，而CP=22,故MC=35CP,
即M點位于CP的35處，即MC=35CP.
【題型2 面面垂直判定定理的應用】
【方法點撥】
利用判定定理證明面面垂直的一般方法：先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線存在，則可通
過線面垂直來證明面面垂直；若這樣的垂線不存在，則需通過作輔助線來證明.
【例2】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點．
(1)證明：平面PBC⊥平面PCD；
(2)求四棱錐E-ABCD的體積；
【解題思路】（1）作出輔助線，由線面垂直得到線線垂直，由勾股定理得到各邊長，得到BE⊥PC和BE⊥AB，從而得到線面垂直，證明面面垂直；
（2）求出四棱錐P-ABCD的體積，進而由E為棱PC的中點得到四棱錐E-ABCD的體積.
【解答過程】（1）∵在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB,AC?平面ABCD，
∴PA⊥AB，
∵AP=2，AB=1，
∴PB=PA2+AB2=5，
AD⊥AB,AB//DC，且AD=DC=2,AB=1，
過點B作BM⊥CD于點M，連接AE，則DM=CM=1，BM=CD=2，
由勾股定理得：BC=BM2+CM2=5，
故PB=BC，
又點E為棱PC的中點，BE⊥PC，
由勾股定理得AC=AD2+DC2=22,PC=AC2+PA2=23，
∵△PAC為直角三角形，E為PC的中點，
∴AE=12PC=3，
∵BE=2,AB=1，
∴由AE2=BE2+AB2,得BE⊥AB，
又AB//CD,CD∩CP=C，
故BE⊥面PCD，又BE?面PBC，
所以平面PBC⊥平面PCD；
（2）四邊形ABCD的面積為12AB+CD?AD=12×1+2×2=3，
故VP-ABCD=13×3AP=13×3×2=2，
∵點E為棱PC的中點，
∴VE-ABCD=12VP-ABCD=12×2=1.
【變式2-1】如圖，四棱錐P-ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB=90°，PA=AD，DC=2AB，E為PC中點．
(1)求證：直線BE //平面PAD；
(2)平面PBC⊥平面PDC．
【解題思路】(1)取中點證明平行四邊形，應用線面平行判定定理證明即可；
(2)先證明線面垂直，再應用面面垂直判斷定理證明.
【解答過程】（1）取PD中點F，連接EF，AF，由E為PC中點，
∴EF//DC，EF=12DC，又AB//DC,AB=12DC，∴EF//AB,EF=AB，故四邊形ABEF為平行四邊形，
∴BE//AF，
又AF?平面PAD，BE?平面PAD，∴BE//平面PAD．
（2）由已知有BA⊥AP，BA⊥AD，AD∩AP=A，AD?平面APD，AP?平面APD，
∴BA⊥平面APD，又AF?平面APD，∴BA⊥AF，
AB∥CD，AF⊥DC，又PA=AD，
∴AF⊥PD，PD∩DC=D，DC?平面PDC, DP?平面PDC
∴AF⊥平面PDC，又BE∥AF，∴BE⊥平面PDC，
又BE?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDC．
【變式2-2】（2023春·河南·高三開學考試）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分別是AA1和B1C的中點.
(1)求證：平面BED⊥平面BCC1B1；
(2)求三棱錐E-BCD的體積.
【解題思路】（1）由線線垂直證線面垂直，再證面面垂直；
（2）由等體積法求體積，VE-BCD=VD-BCE=VA-BCE.
【解答過程】（1）連接B1D，因為A1B1=AB=AC=5，A1D=AD=3，
所以DB1=DC=52+32=34.
因為E是B1C的中點，所以DE⊥B1C.
因為BB1=BC=6，E是B1C的中點，所以BE⊥B1C.
因為BE∩DE=E，且BE、DE?平面BED，所以B1C⊥平面BED.
因為B1C?平面BCC1B1，所以平面BED⊥平面BCC1B1.
（2）因為AD∥BB1，BB1?平面BCE，AD?平面BCE，所以AD∥平面BCE，
所以VE-BCD=VD-BCE=VA-BCE，
S△BCE=12S△B1BC=12×12×6×6=9，
設G為BC的中點，
因為AB=AC，所以AG⊥BC，
由條件知AC=5，CG=3，所以AG=4，
所以VA-BCE=13S△BCE?AG=13×9×4=12，所以VE-BCD=12.
【變式2-3】（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分別為CD，PD的中點，AC與BM交于點E，AB=62，AD=6，K為PA上一點，PK=13PA．
(1)證明：K，E，M，N四點共面；
(2)求證：平面PAC⊥平面BMNK．
【解題思路】（1）根據(jù)三角形中等比例性質(zhì)證明KE∥PC，再證明MN∥PC，從而KE∥MN，所以K，E，M，N四點共面；
（2）先通過線面垂直性質(zhì)定理證明PA⊥BM，再由勾股定理證明AC⊥BM，最后由線面垂直證明面面垂直
【解答過程】（1）證明：連接KE
∵四邊形ABCD是矩形，M為CD的中點，
∴CM∥AB且CM=12AB，
∴CEAE=CMAB=12，
∵PK=13PA，
∴PK=12KA，
∴PKKA=CEAE，
∴KE∥PC，
∵M，N分別是CD，PD的中點，
∴MN∥PC，
∴KE∥MN，
∴K，E，M，N四點共面．
（2）證明：∵PA⊥底面ABCD且BM?平面ABCD，
∴PA⊥BM，
∵AB=62，AD=6，M為CD中點，
∴CM=32，AC=63，BM=36，
∴EM=13BM=6，CE=13AC=23，
∴CE2+EM2=MC2，
∴∠MEC=π2，∴AC⊥BM，
∵PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，∴BM⊥平面PAC，
∵BM?平面BMNK，
∴平面PAC⊥BMNK.
【題型3 面面垂直性質(zhì)定理的應用】
【方法點撥】
在運用面面垂直的性質(zhì)定理時，若沒有與交線垂直的直線，則一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平
面內(nèi)一點作交線的垂線，這樣就把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而轉(zhuǎn)化為線線垂直.
【例3】（2022春·云南文山·高一期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC,∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD,Q,M分別為AD,PC的中點.PA=PD=2,BC=12AD=1,CD=3.
(1)求證：直線BC⊥平面PQB；
(2)求三棱錐A-BMQ的體積.
【解題思路】（1）在梯形中證明BCDQ是矩形，得BC⊥BQ，然后由面面垂直的性質(zhì)定理得PQ與平面ABCD垂直，從而有PQ⊥BC，由此得證線面垂直．
（2）由棱錐的體積公式轉(zhuǎn)化計算：VA-BMQ=VM-AQB=12VP-AQB．
【解答過程】（1）因為AD∥BC,Q為AD的中點，BC=12AD，所以BC=QD，
又因為BC∥QD，所以四邊形BCDQ為平行四邊形，
因為∠ADC=90°，所以平行四邊形BCDQ是矩形，所以BC⊥BQ，
因為PA=PD,AQ=QD，所以PQ⊥AD，
又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ?平面PAD，
所以PQ⊥平面ABCD，因為BC?平面ABCD，所以PQ⊥BC，
又因為PQ∩BQ=Q,PQ?BQ?平面PQB，所以BC⊥平面PQB.
（2）因為PA=PD=2,AD=2，
所以PQ=AQ=1，
由PQ⊥平面ABCD,M為PC中點，所以點M到平面ABCD的距離等于12PQ，
所以VA-BMQ=VM-AQB=12VP-AQB=12×13×(12×1×3)×1=312.
【變式3-1】（2023春·青海西寧·高三開學考試）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC為邊長為2的正三角形，D為BC的中點，AA1=2，且∠C1CB=60°，平面BB1C1C⊥平面ABC.
(1)證明：C1D⊥AB；
(2)求三棱錐B1-AA1C1的體積.
【解題思路】（1）在△C1CD中，利用余弦定理可求得C1D2，根據(jù)勾股定理可證得C1D⊥BC，由面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論；
（2）由面面平行性質(zhì)可知點A到平面A1B1C1的距離即為點D到平面A1B1C1的距離，利用體積橋VB1-AA1C1=VA-A1B1C1，結(jié)合棱錐體積公式可求得結(jié)果.
【解答過程】（1）∵D為BC中點，BC=2，∴CD=1，又CC1=AA1=2，∠C1CB=60°，
∴C1D2=CD2+CC12-2CD?CC1cs∠C1CB=3，∴C1D2+CD2=CC12，∴C1D⊥BC，
又平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC=BC，C1D?平面BB1C1C，
∴C1D⊥平面ABC，又AB?平面ABC，∴C1D⊥AB.
（2）由三棱柱結(jié)構(gòu)特征可知：平面ABC//平面A1B1C1，
∴點A到平面A1B1C1的距離即為點D到平面A1B1C1的距離C1D=3，
又S△A1B1C1=S△ABC=12×2×2×32=3，
∴VB1-AA1C1=VA-A1B1C1=13S△A1B1C1?C1D=13×3×3=1.
【變式3-2】（2023·四川南充·四川模擬預測）如圖， 在平行六面體 ABCD-A1B1C1D1中，N，E，F(xiàn)分別是AA1，AB，C1D1的中點， 側(cè)面DCC1D1⊥平面ABCD，∠ABB1=60°，AD=4，AB=DD1=8，∠DAB=120°．
(1)求證：NF//平面C1CE;
(2)試求三棱錐 N-C1EC體積．
【解題思路】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；
（2）根面面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合等體積計算即可.
【解答過程】（1）取CC1的中點為G，連接EG，GF，NE，CD1，A1B．
在△C1D1C和△AA1B中， 因為F，G，N，E分別是AA1，CC1，AB，C1D1的中點，
所以 FG//D1C，NE//A1B，且FG=12D1C，NE=12A1B，
又在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，A1B=D1C，A1B//D1C，所以FG=NE，F(xiàn)G/NE，
因此四邊形NEGF為平行四邊形，所以NF//EG，
又因NF?平面C1CE，EG?平面C1CE， 所以NF//平面C1CE．
（2）由（1）知 NF//平面C1CE知， 點N、F到平面C1EC的距離相等，
所以 VN-C1EC=VF-C1EC=VE-C1FC，
在三角形 CC1F中，CC1=8，C1F=4，∠CC1F=120°，
∴S△C1FC=12C1F?C1C?sin120°=83，
過點A作AM⊥CD于M，因側(cè)面DCC1D1⊥平面ABCD，
側(cè)面DCC1D1∩平面ABCD=CD，AM?平面ABCD，
所以 AM⊥平面DCC1D1， 因AB//DC， AB?平面C1CD1D，
CD?平面C1CD1D，所以AB//平面C1CD1D，
因此點A、E到平面C1EC的距離相等， 則AM的長為點E到平面C1EC的距離，AM=AD×sin60°=23，
所以VN-C1EC=VE-C1FC=13?S△C1CF?AM=13×83×23=16.
【變式3-3】（2023·陜西寶雞·模擬預測）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面ABC，四邊形ABB1A1是邊長為2的菱形，△ABC為等邊三角形，∠A1AB=60°，E為BC的中點，D為CC1的中點，P為線段AC上的動點．
(1)若AB1//平面PDE，請確定點P在線段AC上的位置；
(2)若點P為AC的中點，求三棱錐C-PDE的體積．
【解題思路】（1）連接B1C與DE相交于F，連接PF，連接BC1交B1C于點M，由線面平行的性質(zhì)得到AB1//PF，再根據(jù)三角形相似得到ED//BC1，CF=FM，從而得到B1F=3CF，即可得到AP=3PC，從而得解；
（2）取AB的中點O，連接OC，OA1，即可得到OA1⊥AB，再由面面垂直的性質(zhì)得到OA1⊥平面ABC，求出A1O的長度，即可得到點C1到平面ABC的距離h，從而得到點D到平面ABC的距離，最后根據(jù)錐體的體積公式計算可得.
【解答過程】（1）解：如圖，連接B1C與DE相交于F，連接PF，連接BC1交B1C于點M，
∵AB1//平面PDE，平面AB1C∩平面PDE=PF，AB1?平面AB1C，
∴AB1//PF，
∵BE=CE，CD=DC1，
∴ED//BC1，CF=FM，又CM=B1M，所以B1F=3CF，
∵AB1//PF，B1F=3CF，
∴AP=3PC，
∴點P是線段AC上靠近點C的四等分點；
（2）解：如圖，取AB的中點O，連接OC，OA1，
∵四邊形ABB1A1為邊長為2的菱形，∠A1AB=60°，
∴A1B=2，△AA1B為等邊三角形，
∵OA=OB，△AA1B為等邊三角形，∴OA1⊥AB，
∵平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC=AB，OA1⊥AB，
OA1?平面ABB1A1，
∴OA1⊥平面ABC，
又由AB=2，P為AC的中點，E為BC的中點，可得PE=CE=CP=1，
∵四邊形ABB1A1為邊長為2的菱形，△ABC為等邊三角形，∠A1AB=60°，
∴A1O=3，
∵D為CC1的中點，平面ABC//平面A1B1C1，
∴點C1到平面ABC的距離h與點A1到平面ABC的距離相等，
∴h=3，
∵D為CC1的中點，∴點D到平面ABC的距離為32，
∴三棱錐D-PCE的體積為13×12×1×1×sin60°×32=18．
【題型4 垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化】
【方法點撥】
在有關(guān)垂直問題的證明過程中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化.因此，判定定理與性質(zhì)定
理的合理應用是證明垂直問題的關(guān)鍵.
【例4】（2023秋·四川內(nèi)江·高二期末）如圖，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，F(xiàn)A⊥AC，AB=2，EF=FA=1．
(1)求證：BE⊥平面DEF；
(2)求直線BD與平面BEF所成角的大?。?br>【解題思路】（1）設正方形ABCD的對角線AC與BD交于O，連接FO、EO，利用勾股定理逆定理推導出BE⊥DE，BE⊥EF，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）分析可知直線BD與平面BEF所成角為∠BDE，求出∠BDE的正弦值，即可求得∠BDE的大小.
【解答過程】（1）證明：設正方形ABCD的對角線AC與BD交于O，連接FO、EO，
因為平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF=AC，AF⊥AC，AF?平面ACEF，
∴AF⊥平面ABCD，
因為四邊形ABCD是邊長為2的正方形，則AC=2AB=2，
在直角梯形ACEF中，EF//AC，O為AC的中點，則AO=EF且AO//EF，
又因為AF=EF，AF⊥AC，故四邊形AFEO是邊長為1的正方形，所以，AF//EO，
所以，EO⊥平面ABCD，且EO=AF=1，
∵BD?平面ABCD，∴EO⊥BD，則BE=DE=EO2+OB2=2，
所以，BE2+DE2=BD2，∴BE⊥DE，
∵AF⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴AF⊥AB，
∵BF=AB2+AF2=3，∴EF2+BE2=BF2，∴BE⊥EF，
∵DE∩EF=E，DE、EF?平面DEF，∴BE⊥平面DEF.
（2）解：由（1）可知，BE⊥平面DEF，所以，直線BD與平面BEF所成角為∠BDE，
∵BE⊥DE，sin∠BDE=BEBD=22，
又因為0

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