高考數(shù)學第二輪復習專題練習專題6.7 平面向量基本定理及坐標表示（重難點題型精講）（教師版）-試卷下載-教習網(wǎng)

1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，
，使.若，不共線，我們把{，}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.
(2)定理的實質(zhì)
由平面向量基本定理知，可將任一向量在給出基底{，}的條件下進行分解——平面內(nèi)的任一向量都可以用平面內(nèi)任意不共線的兩個向量線性表示，這就是平面向量基本定理的實質(zhì).
2．平面向量的正交分解及坐標表示
(1)正交分解
不共線的兩個向量相互垂直是一種重要的情形，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐標表示
如圖，在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為，，取{，}作為基
底.對于平面內(nèi)的任意一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得=x+y.這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)①.其中x叫做在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標，①叫做向量的坐標表示.
顯然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)點的坐標與向量的坐標的關系
3．平面向量線性運算的坐標表示
(1)兩個向量和（差）的坐標表示
由于向量=(,)，=(,)等價于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(
+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).
這就是說，兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(差).
(2)向量數(shù)乘的坐標表示
由=(x,y)，可得=x+y，則=(x+y)=x+y，即=(x,y).
這就是說，實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.
4．平面向量數(shù)量積的坐標表示
(1)平面向量數(shù)量積的坐標表示
由于向量=(,)，=(,)等價于=+，=+，所以=(+)(+)=
+++.又=1，=1，==0，所以=+.
這就是說，兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和.
(2)平面向量長度（模）的坐標表示
若=(x,y)，則或.
其含義是：向量的長度(模)等于向量的橫、縱坐標平方和的算術(shù)平方根.
如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為(,)，(,)，那么=(-,-)，||=
.
5．平面向量位置關系的坐標表示
(1)共線的坐標表示
①兩向量共線的坐標表示
設=(,)，=(,)，其中≠0.我們知道，，共線的充要條件是存在實數(shù)，使=.如果用
坐標表示，可寫為(,)=(,)，即，消去，得-=0.這就是說，向量， (≠0)共線的充要條件是-=0.
②三點共線的坐標表示
若A(,)，B(,)，C(,)三點共線，則有=，
??????? 從而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-).
由此可知，當這些條件中有一個成立時，A,B,C三點共線.
(2)夾角的坐標表示
設，都是非零向量，=(,)，=(,)，是與的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標表示可得==.
(3)垂直的坐標表示
設=(,)，=(,)，則+=0.
即兩個向量垂直的充要條件是它們相應坐標乘積的和為0.
【題型1 用基底表示向量】
【方法點撥】
用基底表示向量的基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算對待求向量不斷地進行轉(zhuǎn)化，直至用基底
表示為止；另一種是通過列向量方程(組)，利用基底表示向量的唯一性求解.
【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，E為CD中點，AE與BD交于點F，若 AC=a，BD=b，則FE=（）
A．112a+14bB．34a+14bC．14a+112bD．14a+34b
【解題思路】根據(jù)給定條件，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，用a,b表示出FD,DE即可求解作答.
【解答過程】平行四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，如圖，
則OC=12AC=12a,OD=12BD=12b，而點E為CD的中點，
有DE=12DC=12(OC-OD)=14a-14b，由DE//AB得：|FD||BF|=|DE||AB|=12，
則有FD=13BD=13b，
所以FE=FD+DE=13b+14a-14b=14a+112b.
故選：C.
【變式1-1】（2022·浙江·模擬預測）在平行四邊形ABCD中，BE=12EC，DF=2FC，設AE=a，AF=b，則AC=（）
A．67a+37bB．37a+67b
C．34a+13bD．13a+34b
【解題思路】結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)及平面向量的基本定理即可求解.
【解答過程】因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以AC=AB+AD，BC=AD，DC=AB，
因為BE=12EC，DF=2FC，
所以BE=13BC，DF=23DC
所以AE=AB+BE=AB+13BC=AB+13AD，
AF=AD+DF=AD+23DC=AD+23AB,
因為AE=a，AF=b，
所以AB+13AD=aAD+23AB=b，解得 AB=97a-37bAD=97b-67a，
所以AC=AB+AD=97a-37b+97b-67a=37a+67b，
故選：B.
【變式1-2】（2022春·四川綿陽·高一期末）在△ABC中，點D在BC邊上，且BD=2DC.設AB=a，AC=b，則AD可用基底a，b表示為（）
A．12(a+b)B．23a+13b
C．13a+23bD．13(a+b)
【解題思路】根據(jù)向量的加減運算法則、數(shù)乘運算即可求解.
【解答過程】因為BD=2DC，所以BD=23BC.
所以AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)
=13AB+23AC=13a+23b，
故選：C.
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）在平行四邊形ABCD中，E是邊CD的中點，AE與BD交于點F．若AB=a，AD=b，則AF=（）
A．14a+34bB．23a+13bC．34a+14bD．13a+23b
【解題思路】設AF=λAE 0