知識點01復(fù)合函數(shù)的概念
一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果給定x的一個值，就得到了u的值，進(jìn)而確定了y的值，那么y可以表示成x的函數(shù)，稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝φ(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(φ(x))，其中u為中間變量．
【即學(xué)即練1】【多選】（2024高二課堂練習(xí)）下列所給函數(shù)為復(fù)合函數(shù)的是( )
A．y＝ln (x－2) B．y＝ln x＋x－2 C．y＝(x－2)ln x D．y＝ln 2x
【解析】函數(shù)y＝ln (x－2)是由函數(shù)y＝ln u和u＝g(x)＝x－2復(fù)合而成的，A符合；函數(shù)y＝ln 2x是由函數(shù)y＝ln u和u＝2x復(fù)合而成的，D符合，B與C不符合復(fù)合函數(shù)的定義．故選AD.
答案：AD
【即學(xué)即練2】【多選】（2024高二課堂練習(xí)）下列哪些函數(shù)是復(fù)合函數(shù)( )
A．y＝xln x B．y＝(3x＋6)2
C．y＝esin x D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))
【解析】A不是復(fù)合函數(shù)；BCD都是復(fù)合函數(shù)．故選BCD
知識點02復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
復(fù)合函數(shù)y＝f(φ(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝φ(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′．即y對x的導(dǎo)數(shù)是y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積．
注： (1)復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)．
(2)中學(xué)階段不涉及較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題，只研究y＝f(ax＋b)型復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，不難得到y(tǒng) ′＝(ax＋b) ′·f ′(ax＋b)＝af ′(ax＋b)．
【即學(xué)即練3】（2024高二課堂練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)y＝eq \f(1,?1－3x?4)；
(2)y＝cs(x2)；
(3)y＝lg2(2x＋1)；
(4)y＝e3x＋2.
【解析】(1)令u＝1－3x，則y＝eq \f(1,u4)＝u－4，
所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.
所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝12u－5＝eq \f(12,?1－3x?5).
(2)令u＝x2，則y＝cs u，
所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin(x2).
(3)設(shè)y＝lg2u，u＝2x＋1，
則y′x＝y(tǒng)′uu′x＝eq \f(2,uln 2)＝eq \f(2,?2x＋1?ln 2).
(4)設(shè)y＝eu，u＝3x＋2，
則y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.
題型一：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
例1.（2024高二課堂練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)y＝eq \f(1,\r(1－2x))；
(2)y＝5lg2(1－x)；
(3)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
【解析】(1)y＝，
設(shè)y＝，u＝1－2x，
則y′x＝
＝·(－2)
＝.
(2)函數(shù)y＝5lg2(1－x)可看作函數(shù)y＝5lg2u和u＝1－x的復(fù)合函數(shù)，
所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝5(lg2u)′·(1－x)′
＝eq \f(－5,uln 2)＝eq \f(5,?x－1?ln 2).
(3)設(shè)y＝sin u，u＝2x＋eq \f(π,3)，
則y′x＝(sin u)′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))′＝cs u·2＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
變式1.（2024高二課堂練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【解析】（1）因為，所以
（2）因為，所以
（3）因為，所以
（4）因為，所以
（5）因為，所以
（6）因為，所以
變式2.（2024高二課堂練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于 （ ）
A．B．C．D．
【解析】y＝f（a﹣bx）＝（a﹣bx）3，
∴y′＝3（a﹣bx）2×（﹣b）＝﹣3b（a﹣bx）2．
故選C．
【方法技巧與總結(jié)】
復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的步驟
題型二：利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求值
例2.（2024上·重慶·高二重慶一中?？计谀┤艉瘮?shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由導(dǎo)數(shù)運算法則計算即可得.
【詳解】，則.
故選：B.
變式1.（2023下·遼寧阜新·高二?？计谀┮阎瘮?shù)，則= .
【答案】
【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并求，再根據(jù)函數(shù)的解析式，即可求解.
【詳解】，
則，得，
所以，
故.
故答案為：
變式2.（2024高二課堂練習(xí)）已知函數(shù)在上可導(dǎo)，函數(shù)，則等于（ ）
A．B．0C．1D．2
【解析】∵，∴，
∴.
故選：B.
變式3.（2024高二課堂練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)＝cs(eq \r(3)x＋φ)(0

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5 簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

版本： 北師大版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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