知識(shí)點(diǎn)01導(dǎo)數(shù)的概念
設(shè)函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)自變量x從x0變到x1時(shí)，函數(shù)值y從f(x0)變到f(x1)，函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率為?y?x＝fx1?fx0x1?x0＝fx+?x?f(x0)?x.
當(dāng)x1趨于x0，即Δx趨于0時(shí)，如果平均變化率趨于一個(gè)固定的值，那么這個(gè)值就是函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0的瞬時(shí)變化率，在數(shù)學(xué)中，稱瞬時(shí)變化率為函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，通常用符號(hào)f′(x0)表示，記作f′(x0)＝limx1→x0fx1?f(x0)x1?x0=lim?x→fx0+?x?f(x0)x1?x0
【即學(xué)即練1】（2024高二課堂練習(xí)）設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足eq \(lim,\s\d6(x→0)) eq \f(f?1?－f?1－2x?,2x)＝－1，則f′(1)為( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【即學(xué)即練2】（2024高二課堂練習(xí)）已知f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝k，求下列各式的值：
（1） ；
（2）
【即學(xué)即練3】（2024高二課堂練習(xí)）已知函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且滿足eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(f?3?－f?3＋Δx?,Δx)＝2，則函數(shù)y＝f(x)在x＝3處的導(dǎo)數(shù)為( )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
知識(shí)點(diǎn)02 割線的定義
函數(shù)y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均變化率為?y?x，它是過A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))兩點(diǎn)的直線的斜率，這條直線稱為曲線y＝f(x)在點(diǎn)A處的一條割線．
【即學(xué)即練4】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）過曲線上兩點(diǎn)和作曲線的割線，當(dāng)時(shí)割線的斜率為（ ）
A．B．3C．1D．
【即學(xué)即練5】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的圖像如圖所示．

(1)求割線PQ的斜率；
(2)當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，割線PQ的斜率會(huì)變大還是變?。?br>知識(shí)點(diǎn)03 切線的定義
當(dāng)Δx趨于零時(shí)，點(diǎn)B將沿著曲線y＝f(x)趨于點(diǎn)A，割線AB將繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)最后趨于直線l，直線l和曲線y＝f(x)在點(diǎn)A處“相切”，稱直線l為曲線y＝f(x)在點(diǎn)A處的切線．
【即學(xué)即練6】（2024高二課堂練習(xí)）下列說法正確的是（ ）．
A．曲線的切線和曲線有交點(diǎn)，這點(diǎn)一定是切點(diǎn)
B．過曲線上一點(diǎn)作曲線的切線，這點(diǎn)一定是切點(diǎn)
C．若不存在，則曲線在點(diǎn)處無切線
D．若曲線在點(diǎn)處有切線，則不一定存在
知識(shí)點(diǎn)04 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y＝f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率．
【即學(xué)即練7】（2024高二課堂練習(xí)）設(shè)f′(x0)＝0，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線( )
A．不存在 B．與x軸平行或重合
C．與x軸垂直 D．與x軸斜交
【即學(xué)即練8】（2024高二課堂練習(xí)）如圖所示，函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程為，則_____．
題型一：在某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義
例1.（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）設(shè)x（單位：km）表示從一條河流的某一處到其源頭的距離，y（單位：km）表示這一點(diǎn)的海拔高度，y與x的函數(shù)關(guān)系為．若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，試解釋它的實(shí)際意義．
變式1．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）在初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)中，路程s和時(shí)間t的關(guān)系為．
(1)求s關(guān)于t的瞬時(shí)變化率，并說明其物理意義；
(2)求運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度關(guān)于t的瞬時(shí)變化率，并說明其物理意義．
變式2．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）某水管的流水量y（單位：）與時(shí)間t（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系，其中．
(1)求在處的導(dǎo)數(shù)；
(2)的實(shí)際意義是什么？
(3)隨著a的取值變化，是否發(fā)生變化？為什么？
變式3．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知物體運(yùn)動(dòng)的路程（單位：）與時(shí)間（單位：）的函數(shù)關(guān)系為．求該函數(shù)在下列各點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，并解釋它們的實(shí)際意義：
(1)；
(2)；
(3)．
【方法技巧與總結(jié)】
結(jié)合實(shí)例，明確在實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的含義以及需要用導(dǎo)數(shù)概念來理解的量．
題型二：求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)
例2.（2024高二課堂練習(xí)）設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，且eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0－3Δx?－f?x0?,Δx)＝a，則f′(x0)＝________.
變式1.（2024高二課堂練習(xí)）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則等于（ ）
A．-2B．-1C．2D．1
變式2.（2024高二課堂練習(xí)）已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則 等于（ ）
A．B．C．D．
變式3.（2024高二課堂練習(xí)）對(duì)于函數(shù)y＝f(x)＝eq \f(1,x2)，其導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)值的點(diǎn)是________．
變式4.【多選】（2024高二課堂練習(xí)）設(shè)在處可導(dǎo)，下列式子中與相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
求函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法
(1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求?y?x＝fx+?x?f(x0)?x；
(3)當(dāng)Δx趨于0時(shí)，得f′(x0)．
題型三：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程
求曲線切線的斜率或傾斜角
例3.（2024高二課堂練習(xí)）曲線y＝在點(diǎn)(1，1)處切線的斜率為（ ）
A．1B．－1
C．D．－
變式1.（2024高二課堂練習(xí)）設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率是________.
變式2.（2024高二課堂練習(xí)）曲線f(x)＝eq \f(9,x)在點(diǎn)(3,3)處的切線的傾斜角α等于( )
A．45° B．60° C．135° D．120°
變式3.（2024高二課堂練習(xí)）已知曲線y＝eq \f(1,2)x2－2上一點(diǎn)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)))，則在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為( )
A．30° B．45°
C．135° D．165°
（二）求在曲線一點(diǎn)處的切線方程
例4.（2024高二課堂練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線方程為______．
變式1.（2024高二課堂練習(xí)）已知曲線f(x)＝x3在點(diǎn)(a，a3)(a≠0)處的切線與x軸，直線x＝a圍成的三角形的面積為eq \f(1,6)，則a＝________.
變式2.（2024高二課堂練習(xí)）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積等于（ ）
A．1B．2C．4D．6
（三）求過一點(diǎn)的切線方程
例5.（2024高二課堂練習(xí)）已知曲線方程為,求:
（1）點(diǎn)處的切線方程
（2）過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程.
變式1.（2024高二課堂練習(xí)）求函數(shù)y＝f(x)＝x3－3x2＋x的圖象上過原點(diǎn)的切線方程．
（四）已知切線（斜率）求參數(shù)
例6.（2024高二課堂練習(xí)）若拋物線f(x)＝4x2在點(diǎn)(x0，f(x0))處切線的斜率為8，則x0＝________.
變式1.（2024高二課堂練習(xí)）曲線y＝x＋上任意一點(diǎn)P處的切線斜率為k，則k的取值范圍是（ ）
A．(－∞，－1)B．(－1，1)
C．(－∞，1)D．(1，＋∞)
變式2.（2024高二課堂練習(xí)）直線l：y＝x＋a(a≠0)和曲線C：f(x)＝x3－x2＋1相切，則a的值為________，切點(diǎn)坐標(biāo)為________．
變式3.（2024高二課堂練習(xí)）已知曲線y＝f(x)＝2x2＋a在點(diǎn)P處的切線方程為8x－y－15＝0，則實(shí)數(shù)a的值為________．
（五）求切點(diǎn)坐標(biāo)
例7.（2024高二課堂練習(xí)）已知曲線f(x)＝eq \f(1,2)x2＋x的一條切線的斜率是3，則該切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
變式1.（2024高二課堂練習(xí)）【多選】已知曲線在點(diǎn)P處的切線平行于直線，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
變式2.（2024高二課堂練習(xí)）已知曲線在點(diǎn)P處的切線方程為，則切點(diǎn)P的坐標(biāo)為______.
（六）兩曲線的公切線問題例8.（2024高二課堂練習(xí)）點(diǎn)P在曲線f(x)＝x2＋1上，且曲線在點(diǎn)P處的切線與曲線y＝－2x2－1相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【方法技巧與總結(jié)】
求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟
(1)求斜率：求出曲線在點(diǎn)(x0，f(x0))處切線的斜率f′(x0)；
(2)寫方程：用點(diǎn)斜式y(tǒng)－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)寫出切線方程；
(3)變形式：將點(diǎn)斜式變?yōu)橐话闶剑?br>一、單選題
1．（2024上·湖北武漢·高二武漢外國(guó)語學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語學(xué)校）校考期末）函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，若，則（ ）
A．2B．3C．D．
2．（2023上·湖北武漢·高二武漢市東湖中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)在處可導(dǎo)，則等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2023下·河北邯鄲·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)存在導(dǎo)數(shù)，且滿足，則曲線在處的切線傾斜角為（ ）
A．30°B．135°C．45°D．120°
4．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）若非常數(shù)函數(shù)f(x)在x＝x0處存在導(dǎo)數(shù)，則（ ）
A．與x0，h都有關(guān)B．僅與x0有關(guān)，而與h無關(guān)
C．僅與h有關(guān)，而與x0無關(guān)D．以上答案都不對(duì)
5．（2023下·陜西渭南·高二?？计谥校┤艉瘮?shù)在處的瞬時(shí)變化率為，且，則（ ）
A．2B．4C．D．
6．（2022上·江西宜春·高二校考期末）已知，且．若在處的切線與直線垂直，則（ ）
A．B．C．D．0
7．（2024上·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則實(shí)數(shù)（ ）
A．2B．5C．D．
二、多選題
8．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）已知函數(shù)滿足，，則下列關(guān)于的圖象描述正確的是（ ）
A．的圖象在處的切線斜率大于
B．的圖象在處的切線斜率小于
C．的圖象在處位于軸上方
D．的圖象在處位于軸下方
9．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列各點(diǎn)中，在曲線上，且在該點(diǎn)處的切線傾斜角為的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)?？计谀┮阎赗上連續(xù)且可導(dǎo)，且，下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)與極限的說法中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
11．（2023上·上海閔行·高三校考期中）已知函數(shù)，若，則 .
12．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知曲線，y＝g(x)＝，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ，過兩曲線的交點(diǎn)作兩條曲線的切線，則曲線f(x)在交點(diǎn)處的切線方程為 ．
13．（2023下·北京豐臺(tái)·高二統(tǒng)考期中）如圖，直線是曲線在點(diǎn)處的切線，則 ．

14．（2023上·上海青浦·高三校考期中）已知，曲線經(jīng)過點(diǎn)且在該點(diǎn)處的切線方程為，則 .
四、解答題
15．（2023上·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)寫出；
(2)求出；
(3)求出；
(4)寫出，，
16．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求函數(shù)在處切線的斜率．
17．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，求曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S．
18．（2023下·安徽滁州·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)；
(2)過點(diǎn)作的切線，求切線方程．
19．（2018·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在曲線上，若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，求點(diǎn)的坐標(biāo).
20．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）在曲線E：上求出滿足下列條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
(1)在點(diǎn)P處曲線E的切線平行于直線；
(2)在點(diǎn)P處曲線E的切線的傾斜角是135°．
21．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；
(2)過點(diǎn)作函數(shù)的圖象的切線，求切線方程．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．
1.理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義．(數(shù)學(xué)抽象)
2．會(huì)求導(dǎo)數(shù)及理解導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象)
3．會(huì)求曲線的切線方程．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)

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2.1 導(dǎo)數(shù)的概念

版本： 北師大版 (2019)

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