知識點01數(shù)列的有關(guān)概念及表示方法
1．數(shù)列的有關(guān)概念
(1)數(shù)列：按一定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列．
(2)數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)叫作這個數(shù)列的項．
2．數(shù)列的表示方法
數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…或簡記為數(shù)列{an}，其中a1是數(shù)列的第1項，也叫數(shù)列的首項；an是數(shù)列的第n項，也叫數(shù)列的通項．
注：（1）數(shù)列是按一定“順序”排列的一列數(shù)，一個數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān)，這有別于集合中元素的無序性．因此，若組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個數(shù)列．數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)，這也是數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別．
如：數(shù)列1，2，3，4，5和數(shù)列5，3，2，4，1為兩個不同的數(shù)列，因為二者的元素順序不同，而集合{1，2，3，4，5}與這兩個數(shù)列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有無序性．
(1)數(shù)列的項是指這個數(shù)列中的某一個確定的數(shù)，是一個函數(shù)值，也就是相當于f(n)，而項數(shù)是指這個數(shù)在數(shù)列中的位置序號，它是自變量的值，相當于f(n)中的n.
【即學(xué)即練1】現(xiàn)有下列說法：
①元素有三個以上的數(shù)集就是一個數(shù)列；
②數(shù)列1，1，1，1，…是無窮數(shù)列；
③每個數(shù)列都有通項公式；
④根據(jù)一個數(shù)列的前若干項，只能寫出唯一的通項公式；
⑤數(shù)列可以看著是一個定義在正整數(shù)集上的函數(shù)．
其中正確的有（ ）．
A．0個B．1個C．2個D．3個
【即學(xué)即練2】下列說法：①數(shù)列，，，與，，，是相同數(shù)列；②數(shù)列，，，可表示為；③數(shù)列，，，，…的一個通項公式為；④數(shù)列，，，，…是常數(shù)列；⑤數(shù)列是嚴格遞增數(shù)列，其中正確的是______．（填編號）
知識點02數(shù)列的分類
注：有窮數(shù)列與無窮數(shù)列的表示方法：
(1)有窮數(shù)列一般表示為a1，a2，a3，…，am；無窮數(shù)列一般表示為a1，a2，a3，…，am，….
(2)對于有窮數(shù)列，要把末項(即最后一項)寫出來，對于無窮數(shù)列，不存在最后一項，要用“…”結(jié)尾.
【即學(xué)即練3】下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（ ）
A．同一數(shù)列的任意兩項均不可能相同
B．數(shù)列，，與數(shù)列，，是同一個數(shù)列
C．數(shù)列1，3，5，7可表示為
D．數(shù)列2，5，2，5，…，2，5，…是無窮數(shù)列
知識點03數(shù)列的表示法
1．列表法
列出表格來表示數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系．見下表：
2．圖象法
在平面直角坐標系中，數(shù)列的圖象是一系列橫坐標為正整數(shù)的孤立的點(n，an)．
3．通項公式法
如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式．即,不是每一個數(shù)列都有通項公式,也不是每一個數(shù)列都有一個個通項公式.數(shù)列的通項公式實際上是一個以正整數(shù)集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}為定義域的函數(shù)的表達式．
注：(1)數(shù)列的通項公式必須適合數(shù)列中的任意一項．
(2)已知通項公式an＝f(n)，那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出這個數(shù)列的各項．
(3)一個數(shù)列的通項公式可以有不同的形式，如an＝(－1)n可以寫成an＝(－1)n＋2，還可以寫成an＝?1，n=2k?1，1，n=2k(k∈N*)，這些通項公式雖然形式上不同，但都表示同一數(shù)列．
(4)并不是所有的數(shù)列都有通項公式，就像并不是所有的函數(shù)都能用解析式表示一樣．
(5)通項公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學(xué)過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)．
4．遞推公式法
如果已知數(shù)列的第1項(或前幾項)，且從第2項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．
5.常見數(shù)列的通項
(1)1，2，3，4，…的一個通項公式為an＝n.
(2)2，4，6，8，…的一個通項公式為an＝2n.
(3)3，5，7，9，…的一個通項公式為an＝2n＋1.
(4)2，4，8，16，…的一個通項公式為an＝2n.
(5)－1，1，－1，1，…的一個通項公式為an＝(－1)n.
(6)1，0，1，0，…的一個通項公式為an＝eq \f(1＋（－1）n－1,2).
(7)a，b，a，b，…的一個通項公式為an＝eq \f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2).
(8)9，99，999，…的一個通項公式為an＝10n－1.
【即學(xué)即練4】數(shù)列，，，，的第14項是_________．
【即學(xué)即練5】一定數(shù)目的點在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，這樣的數(shù)被稱為三角形數(shù).如圖，根據(jù)前三個點陣圖形的規(guī)律，第四個點陣表示的三角形數(shù)是（ ）
A．1B．6C．10D．20
【即學(xué)即練6】已知數(shù)列的通項公式．
（1）______（選填“是”或“不是”）數(shù)列中的項；
（2）這個數(shù)列第______項起各項都為負數(shù)．
【即學(xué)即練7】（1）數(shù)列，，，，…的一個通項公式為=______；
（2）數(shù)列，，，，…的一個通項公式為=______；
（3）數(shù)列1，11，111，1111，…的一個通項公式為=______．
【即學(xué)即練8】已知數(shù)列的首項為，且滿足，則此數(shù)列的第3項是（ ）
A．4B．12C．24D．32
題型一：數(shù)列的概念與分類
例1．【多選】（2023下·高二課時練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．數(shù)列可以用圖象來表示
B．數(shù)列的通項公式不唯一
C．數(shù)列中的項不能相等
D．數(shù)列可以用一群孤立的點表示
變式1.【多選】（2024上·陜西寶雞·高二?？计谀┫铝薪Y(jié)論中正確的是（ ）
A．數(shù)列的項數(shù)是無限的
B．數(shù)列通項公式的表達式不是唯一的
C．數(shù)列1，3，5，7可表示為
D．數(shù)列1，3，5，7與數(shù)列7，5，3，1不是同一數(shù)列
變式2.（2023下·黑龍江雞西·高二雞西市第四中學(xué)?？计谥校┫铝薪Y(jié)論中，正確的是（ ）
A．數(shù)列可以看作是一個定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)
B．數(shù)列的項數(shù)一定是無限的
C．數(shù)列的通項公式的形式是唯一的
D．數(shù)列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通項公式
變式3．（2023下·高二課時練習(xí)）下列說法中，正確的是（ ）
A．數(shù)列可表示為集合
B．數(shù)列，，，與數(shù)列是相同的數(shù)列
C．數(shù)列的第項為
D．數(shù)列，可記為
例2.（2023下·高二課時練習(xí)）數(shù)列的通項公式是，，則它的圖象是（ ）
A．直線B．直線上孤立的點
C．拋物線D．拋物線上孤立的點
例3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）下列各式哪些是數(shù)列？若是數(shù)列，哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？
（1）{0，1，2，3，4}；
（2）0，1，2，3，4；
（3）所有無理數(shù)；
（4）1，－1，1，－1，1，－1，…；
（5）6，6，6，6，6
變式1.（2023·高二課時練習(xí)）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（ ）
A．同一數(shù)列的任意兩項均不可能相同
B．數(shù)列，，與數(shù)列，，是同一個數(shù)列
C．數(shù)列1，3，5，7可表示為
D．數(shù)列2，5，2，5，…，2，5，…是無窮數(shù)列
【方法技巧與總結(jié)】
正確理解數(shù)列及相關(guān)概念，注意以下幾點：
(1)數(shù)列與數(shù)集不同，數(shù)集具有互異性和無序性，而數(shù)列中各項可以相同，但與順序有關(guān)；
(2)數(shù)列a1，a2，…，an，…可以記為{an}，但不能記作{a1，a2，…，an，…}.
題型二：判斷或者寫出數(shù)列的項
根據(jù)規(guī)律填寫數(shù)列中的某項
例4．（2024上·山西長治·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)列，，，，…中，根據(jù)前5項的規(guī)律寫出的第12個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
變式1．（2023上·湖南長沙·高一長沙市南雅中學(xué)?？奸_學(xué)考試）按一定規(guī)律排列的數(shù)據(jù)依次為，，，，…按此規(guī)律排列，則第30個數(shù)是 ．
變式2．（2023上·高二課前預(yù)習(xí)）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，由數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列指的是這樣一個數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，….則該數(shù)列的第10項為（ ）
A．34B．55C．68D．89
例5．（2023上·湖北武漢·高二武漢外國語學(xué)校（武漢實驗外國語學(xué)校）?？茧A段練習(xí)）根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，寫出下列點數(shù)構(gòu)成數(shù)列的第5項的點數(shù)（ ）

A．32B．35C．36D．42
變式1．（2023下·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）根據(jù)下列5個圖形及相應(yīng)點的個數(shù)的變化規(guī)律，可以得出第8個圖有 個點.

根據(jù)通項公式寫出項
例6．（2023下·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式是，則 .
變式1．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）根據(jù)下面數(shù)列的通項公式，分別說出各數(shù)列的前5項．
(1)
(2)．
變式2．（2023上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)列中，若，則的值為（ ）
A．17B．23C．25D．41
變式3．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）寫出數(shù)列的前5項，并作出它的圖象：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
變式4．（2023上·甘肅酒泉·高二敦煌中學(xué)校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的一個通項公式為，且，則實數(shù)等于（ ）
A．1B．3C．D．
（三）判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項例7．（2023上·河北張家口·高三河北省尚義縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列，則是這個數(shù)列的（ ）
A．第21項B．第22項C．第23項D．第24項
變式1．【多選】（2023上·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列1，，，，…，，…，則下列說法正確的是（ ）
A．是它的第3項B．是它的第4項
C．是它的第9項D．是它的第16項
變式2．（2023下·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式是，那么（ ）
A．30是數(shù)列的一項
B．45是數(shù)列的一項
C．66是數(shù)列的一項
D．90是數(shù)列的一項
變式3．（2023上·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式是，則是該數(shù)列中的第 項．
變式4．（2023上·高二課時練習(xí)）根據(jù)通項公式，填寫下表：
【方法技巧與總結(jié)】
(1)利用數(shù)列的通項公式求某項的方法
數(shù)列的通項公式給出了第n項an與它的位置序號n之間的關(guān)系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項．
(2)判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法
先假定它是數(shù)列中的第n項，然后列出關(guān)于n的方程．若方程解為正整數(shù)則是數(shù)列的一項；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項．
題型三：根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出通項公式
例8．（2024上·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）若數(shù)列的前五項分別為，，，，，則下列最有可能是其通項公式的是（ ）
A．B．C．D．
變式1．（2023下·高二課時練習(xí)）數(shù)列的通項公式為（ ）
A．
B．
C．
D．
變式2．（2023上·高二課前預(yù)習(xí)）寫出數(shù)列的一個通項公式，使它的前幾項分別是下列各數(shù)：
(1)a，b，a，b，…；
(2)，，，，…；
(3)；
(4)，，，，…；
(5)，2，，8，，…；
(6)，33，，3 333，….
變式3．（2023下·高二課時練習(xí)）寫出下列數(shù)列的一個通項公式．
(1)
(2)
(3)0，，，，…；
(4)1，11，111，1 111，….
變式4．（2023上·高二課時練習(xí)）寫出下面數(shù)列的一個通項公式：
(1)，，，，，…；
(2)1，，，，，…；
(3)6，66，666，6666，66666，…；
(4)2，0，2，0，2，…．
例9．（2023下·高二課時練習(xí)）如圖所示是一系列有機物的結(jié)構(gòu)簡圖，途中的“小黑點”表示原子，兩黑點間的“短線”表示化學(xué)鍵，按圖中結(jié)構(gòu)第n個圖有化學(xué)鍵 個．(用含n的代數(shù)式表示)

變式1．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）根據(jù)下面圖形排列的規(guī)律，繼續(xù)畫下去，在括號里填上對應(yīng)的點數(shù)，并寫出點數(shù)的一個通項公式．
(1)
(2)
變式2．（2024·全國·模擬預(yù)測）公元前6世紀，希臘的畢達哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時，常常把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，用它們進行各式各樣的排列和分類，叫作“形數(shù)”．用3顆石子可以擺成一個正三角形，同樣用6顆石子或者10顆石子可以擺成更大的三角形．畢達哥拉斯學(xué)派把1，等叫作“三角數(shù)”或“三角形數(shù)”．同時他們還擺出了正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其他多邊形數(shù)．如圖所示即擺出的六邊形數(shù)，那么第20個六邊形數(shù)為（ ）
A．778B．779C．780D．781
【方法技巧與總結(jié)】
(1)據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分析，抓住以下幾方面的特征：
①分式中分子、分母的特征；
②相鄰項的變化特征；
③拆項后的特征；
④各項符號特征等，并對此進行歸納、聯(lián)想．
(2)觀察、分析數(shù)列中各項的特點是最重要的，觀察出項與序號之間的關(guān)系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉(zhuǎn)換而使問題得到解決，對于正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整．
題型四：由遞推公式求數(shù)列的指定項
例10．（2024上·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的首項為，遞推公式為，則 ．
變式1．（2024上·天津?qū)幒印じ叨y(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，，，則 .
變式2．（2024上·福建泉州·高三統(tǒng)考期末）數(shù)列中，，則 .
變式3．（2024上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，（），則（ ）
A．2B．4C．8D．16
變式4．（2024上·重慶·高二統(tǒng)考期末）設(shè)，數(shù)列滿足，若，則 ．
【方法技巧與總結(jié)】
遞推公式反映的是相鄰兩項(或n項)之間的關(guān)系．對于通項公式，已知n的值即可得到相應(yīng)的項，而遞推公式則要已知首項(或前幾項)，才可依次求得其他的項．若項數(shù)很大，則應(yīng)考慮數(shù)列是否具有規(guī)律性．
一、單選題
1．（2023上·黑龍江佳木斯·高二?？计谀┮阎獢?shù)列滿足：，則等于（ ）
A．32B．64C．48D．128
2．（2023下·黑龍江綏化·高二?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列的一個通項公式為，且，則等于（ ）
A．B．C．5D．6
3．（2024上·吉林長春·高二長春市第二中學(xué)校聯(lián)考期末）數(shù)列，，，，的一個通項公式為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列，則是這個數(shù)列的（ ）
A．第20項B．第21項
C．第22項D．第23項
5．（2024上·廣東·高二校聯(lián)考期末）在數(shù)列中，若，則下列數(shù)不是中的項的是（ ）
A．-1B．-2C．3D．
6．（2023上·甘肅臨夏·高二臨夏中學(xué)?？计谥校┮粋€數(shù)列的通項為，則（ ）
A．B．C．D．4
7．（2024上·四川南充·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列，根據(jù)該數(shù)列的規(guī)律，則是該數(shù)列的（ ）．
A．第6項B．第7項C．第8項D．第9項
8．（2024上·河北保定·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的首項，且，則（ ）
A．3B．C．D．
9．（2023上·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校?？计谥校┮阎獢?shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為，若將數(shù)列，中相同的項按從小到大的順序排列后構(gòu)成數(shù)列，則484是數(shù)列中的第（ ）
A．12項B．13項C．14項D．15項
二、多選題
10．（2023上·湖南郴州·高二湖南省資興市立中學(xué)?？计谀┫铝杏嘘P(guān)數(shù)列的說法正確的是（ ）
A．數(shù)列，0，4與數(shù)列4，0，是同一個數(shù)列
B．數(shù)列的通項公式為,則110是該數(shù)列的第10項
C．在數(shù)列中第8個數(shù)是
D．數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個通項公式為
11．（2023上·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列，則下列說法正確的是（ ）
A．此數(shù)列的通項公式是B．是它的第項
C．此數(shù)列的通項公式是D．是它的第項
12．（2023上·吉林遼源·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，則-19是該數(shù)列中的第幾項的是（ ）
A．3B．4C．5D．6
13．（2023下·高二課時練習(xí)）(多選題)古希臘著名的畢達哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1，4，9，16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．如圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和，下列等式中，符合這一規(guī)律的表達式為（ ）

A．B．
C．D．
14．（2023上·湖南衡陽·高二?？计谀┮阎獢?shù)列的前5項依次如圖所示，則的通項公式可能為（ ）
A．B．
C．D．
15．（2023上·海南省直轄縣級單位·高二嘉積中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，若，則下列是數(shù)列的項的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
16．（2023上·貴州貴陽·高二?？茧A段練習(xí)）根據(jù)下列數(shù)列的特點，用適當?shù)臄?shù)填空：，， ，，， ，.
17．（2023下·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列{an}的通項公式是，()，則：
（1）這個數(shù)列的第4項是 ；
（2）65是這個數(shù)列的第 項．
18．（2023下·上海浦東新·高一上海市實驗學(xué)校?？计谀┦菙?shù)列的第 項.
19．（2023·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測）Farey序列是指把在0到1之間的所有分母不超過的最簡分數(shù)及0（視為）和1（視為：）按從小到大的順序排列起來所形成的數(shù)列，記作F－n，例如F－4就是．則F－7的項數(shù)為 ．
四、解答題
20．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）觀察以下各數(shù)列的特點，用適當?shù)臄?shù)填空，并對每一個數(shù)列各寫出一個通項公式：
(1)2，4，______，8，10，12；
(2)2，4，______，16，32，______，128，______；
(3)______，4，3，2，1，______，，______；
(4)______，4，9，16，25，______，49.
21．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）根據(jù)下列數(shù)列的通項公式，分別作出它們的圖象：
(1)
(2)
(3)
(4)
22．（2023上·高二課時練習(xí)）寫出下面數(shù)列的前5項：
(1)；
(2)．
23．（2023下·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列{an}中，，.
(1)寫出數(shù)列的前5項；
(2)猜想數(shù)列的通項公式；
(3)畫出數(shù)列的圖象．
24．（2023上·高二課前預(yù)習(xí)）根據(jù)所給數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式：
(1)，，，，…；
(2)，，，，…；
(3)0，1，0，1，…；
(4)9，99，999，9 999，….
課程標準
學(xué)習(xí)目標
1.通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實例，了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項公式)．
2．了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)．
1.了解數(shù)列的相關(guān)概念．(數(shù)學(xué)抽象)
2．了解數(shù)列的函數(shù)特性、數(shù)列的通項公式．(數(shù)學(xué)抽象)
3．能根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的通項公式．(邏輯推理、數(shù)學(xué)建模)
分類標準
類型
含義
按項數(shù)
有窮數(shù)列
項數(shù)有限的數(shù)列
無窮數(shù)列
項數(shù)無限的數(shù)列
按項的
變化趨勢
遞增數(shù)列
從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列，即恒有an＋1>an(n∈N*)
遞減數(shù)列
從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列，即恒有an＋1

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