北師大版 (2019)選擇性必修第二冊數(shù)學歸納法精品課后練習題-試卷下載-教習網

知識點01數(shù)學歸納法
(1)數(shù)學歸納法的定義
一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：
①(歸納奠基)證明當n取第一個值時命題成立；
②(歸納遞推)假設當時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立．
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法叫做數(shù)學歸納法．
(2)數(shù)學歸納法的證明形式
記P(n)是一個關于正整數(shù)n的命題．我們可以把用數(shù)學歸納法證明的形式改寫如下：
條件：① P(n0)為真；②若P(k)為真，則P(k＋1)也為真．
結論：P(n)為真．
注：在數(shù)學歸納法的兩步中，第一步驗證(或證明)了當n＝n0時結論成立，即命題P(n0)為真；第二步是證明一種遞推關系，實際上是要證明一個新命題：若P(k)為真，則P(k＋1)也為真．只要將這兩步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，從而完成證明．
(3)數(shù)學歸納法的框圖表示
2.“歸納—猜想—證明”的一般步驟
【即學即練1】（2024·吉林·東北師大附中模擬預測（理））用數(shù)學歸納法證明時，在第一步歸納奠基時，要驗證的等式是（）
A．B．C．D．
【解析】將代入等式，觀察左邊最后一項為，則第一步歸納奠基時，要驗證的等式即為，
故選：D
【即學即練2】1．（2024下·四川成都·高二成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學校考期中）用數(shù)學歸納法證明“≥( N*）”時，由到時，不等試左邊應添加的項是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)數(shù)學歸納法的證明過程求解.
【詳解】數(shù)學歸納法的證明過程如下：
當時，左邊，原不等式成立；
設當時，原不等式成立，即 …①成立，
則當時，左邊，
即要證明左邊也成立，即證，
由①知即證；
故選：D.
【即學即練3】（2024·全國·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明“凸n邊形的內角和等于(n－2)π”時，歸納奠基中n0的取值應為（）
A．1B．2C．3D．4
【解析】邊數(shù)最少的凸n邊形為三角形，故n0＝3.
故選：C
【即學即練4】（2023·全國·高二隨堂練習）用數(shù)學歸納法證明：．
【答案】證明見解析
【分析】利用數(shù)學歸納法進行證明，先證成立，再假設當時不等式成立，證得也成立，從而得證.
【詳解】當時，左式，右式，顯然等式成立，
假設當時，等式成立，即，
則當時，
，
故當時，等式也成立，
所以成立.
題型一：對數(shù)學歸納法的理解
數(shù)學歸納法的理解
（2024·江蘇·高二專題練習）用數(shù)學歸納法證明1＋a＋a2＝ (a≠1，n∈N*)，在驗證當n＝1時，左邊計算所得的式子是（）
A．1B．1＋a
C．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a4
【解析】當n＝1時，左邊的最高次數(shù)為1，
即最后一項為a，左邊是1＋a，
故選：B.
（2024·全國·高二專題練習）用數(shù)學歸納法證明時，第一步應驗證不等式（）
A．B．
C．D．
【解析】由題意得，當時，不等式為．
故選：B．
（2024·全國·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明“能被3整除”的第二步中，時，為了使用假設，應將變形為（）
A．B．
C．D．
【解析】假設時命題成立，即：被3整除．
當時，
故選：A．
（二）增加或減少項和項的個數(shù)問題
（2024·全國·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明：，第二步從到，等式左邊應添加的項是（）
A．B．C．D．
【解析】根據(jù)等式左邊的特點，各數(shù)是先遞增再遞減，
由于，左邊,
時，左邊，
比較兩式，從而等式左邊應添加的式子是，
故選：．
（2024·甘肅慶陽·高二期末（理））用數(shù)學歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時，不等式左邊增加了（）
A．B．
C．D．
【解析】當時，左端，
那么當時左端，
故由到時不等式左端的變化是增加了，兩項，同時減少了這一項，
即，
故選：．
（20242·福建師大附中高二期末）用數(shù)學歸納法證明時，假設時命題成立，則當時，左端增加的項為（）
A．B．C．D．
【解析】當時，不等式左邊等于，
當時，不等式左邊等于
當時，不等式的左邊比時增加.
故選：D
（2024·全國·高二專題練習）利用數(shù)學歸納法證明不等式的過程中，由到，左邊增加了（）
A．1項B．k項C．項D．項
【解析】由題意知當時，左邊為，當時，左邊為，增加的部分為，共項．
故選：D
【方法技巧與總結】
數(shù)學歸納法的三個關鍵點
(1)驗證是基礎：找準起點，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗證的初始值不一定是1.
(2)遞推是關鍵：數(shù)學歸納法的實質在于遞推，要正確分析式子中項數(shù)的變化，弄清式子兩邊的構成規(guī)律．
(3)利用假設是核心：在第二步證明n＝k＋1時，一定要利用歸納假設．
題型二：證明恒等式
（2023·全國·高二課堂例題）用數(shù)學歸納法證明：當時，．
【答案】證明見解析
【分析】按數(shù)學歸納法的步驟來即可，第一步驗證時的情況，第二步假設成立，然后驗證時的情況即可.
【詳解】第一步：當時，等式左邊，等式右邊，等式成立．
第二步：假設當時等式成立，即，
那么，當時，有．
這就是說，當時等式也成立．
綜上所述，對任何，等式都成立．
（2024·全國·高二專題練習）用數(shù)學歸納法證明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n.
【解析】證明：①當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，等式成立．
②假設n＝k(k≥1，k∈N*)時，等式成立，
即1＋5＋9＋＋(4k－3)＝k(2k－1)．
則當n＝k＋1時，
左邊＝1＋5＋9＋＋(4k－3)＋(4k＋1)
＝k(2k－1)＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝(2k＋1)(k＋1)
＝[2(k＋1)－1](k＋1)，
∴當n＝k＋1時，等式成立．
由①②知，對一切n∈N*，等式成立．
（2024·全國·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明：（,）．
【解析】證明：①當時，，，等式成立；
②假設時，，
則時，
，
即時，等式成立，
綜合①②可知，（，）．
（2024·廣西河池·高二階段練習（理））用數(shù)學歸納法證明：（n為正整數(shù)）．
【解析】證明：①當時，左邊，右邊，等式成立．
②假設當時，等式成立，
即，
那么當時，
．
故當時，等式也成立．
綜上可知等式對任意正整數(shù)n都成立．
（2024上·上?！じ叨虾Ｖ袑W?？计谀┯脭?shù)學歸納法證明：對于任意正整數(shù)都有：.
【答案】證明見解析
【分析】先驗證時成立，再假設時成立，最后計算時成立即可.
【詳解】當時，，結論成立；
假設①當時，，
②則當時，
，結論成立；
綜合由①②知，對于任意正整數(shù)都有：.
（2023·全國·高二隨堂練習）用數(shù)學歸納法證明：．
【答案】證明見解析
【分析】按數(shù)學歸納法的步驟證明即可，即驗證時等式成立，且假設時等式成立，證明時等式成立即可.
【詳解】當時，等式左邊，等式中間，等式右邊，即等式左邊=等式中間=等式右邊，等式成立；
假設時等式成立，
即有成立，
我們分兩步來證明當時，等式成立，即分別證明此時等式左邊=等式中間，等式中間=等式右邊即可，
第一步：由假設可知，當時，
有
成立，
即當時，等式左邊=等式中間成立；
第二步：由假設，所以此時有成立，
從而可知，當時，有
成立，
即當時，等式中間=等式右邊成立；
結合以上兩步有：若當時等式成立，則當時等式成立；
綜上所述：由數(shù)學歸納法可得.
【方法技巧與總結】
用數(shù)學歸納法證明等式的策略
應用數(shù)學歸納法證明等式時需要確定兩個式子的結構，即：
(1)n＝n0時，等式的結構．
(2)n＝k到n＝k＋1時，兩個式子的結構：n＝k＋1時的代數(shù)式比n＝k時的代數(shù)式增加(或減少)的項．
這時一定要弄清三點：
①代數(shù)式從哪一項(哪一個數(shù))開始，即第一項．
②代數(shù)式相鄰兩項之間的變化規(guī)律．
③代數(shù)式中最后一項(最后一個數(shù))與n的關系．
題型三：證明不等式
（2024·全國·高二專題練習）用數(shù)學歸納法證明1+++…+≤+n(n∈N*).
【解析】(1)當n＝1時，左邊右邊，
即當n＝1時，原不等式成立，
(2)假設當n=k(k∈N*)時，原不等式成立，
即1+++…+≤+ k，
則當n=k+1時，
1+++…++++…+右邊，即原不等式成立，
(2)假設當n=k(k≥2，k∈N*)時，原不等式成立，即，
則當n=k+1時，
左邊=
=右邊，
因此，當n=k+1時，原不等式成立，
綜合(1)和(2)知，對一切n≥2，n∈N*，原不等式都成立.
【方法技巧與總結】
用數(shù)學歸納法證明不等式的四個關鍵
(1)驗證第一個n的值時，要注意n0不一定為1，若n>k(k為正整數(shù))，則n0＝k＋1.
(2)證明不等式的第二步中，從n＝k到n＝k＋1的推導過程中，一定要用歸納假設，不應用歸納假設的證明不是數(shù)學歸納法，因為缺少歸納假設．
(3)用數(shù)學歸納法證明與n有關的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小．對第二類形式往往要先對n取前k個值的情況分別驗證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個k值開始都成立的結論，常用數(shù)學歸納法證明．
(4)用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵是由n＝k時成立，得n＝k＋1時成立，主要方法有比較法、放縮法等．
題型四：證明整除問題
（2023·全國·高二隨堂練習）用數(shù)學歸納法證明：能被整除（）
【答案】答案見解析
【分析】按照數(shù)學歸納法的證明方法進行證明
【詳解】當時，，
故能被整除，
假設當時，結論成立，即能被整除，
則當時，
，
由于和均能被整除，
故能被整除，
綜上：能被整除（）.
（2024·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明：可以被7整除.
【答案】證明見解析．
【分析】用數(shù)學歸納法證明．
【詳解】證明：（1）時，，能被7整除，
（2）假設時，命題成立，即能被7整除，設（是正整數(shù)），
則時，，是正整數(shù)，所以能被7整除，
所以時，命題成立，
綜上，原命題成立，（是正整數(shù)）可以被7整除．
【例4-1】（2024·全國·高二課時練習）證明：當時，能被64整除．
【解析】（1）當時，能被64整除．
（2）假設當時，能被64整除，
則當時，．
故也能被64整除．
綜合（1）（2）可知當時，能被64整除．
變式1：（2024·四川·樂山市教育科學研究所三模（文））將①，，②，③，之一填入空格中（只填番號），并完成該題.
已知是數(shù)列前n項和，___________.
(1)求的通項公式；
(2)證明：對一切，能被3整除.
【解析】(1)若選①：
因為
所以，
兩式相減得，
所以是隔項等差數(shù)列，
且，
所以為奇數(shù)，
為偶數(shù)，
所以.
若選②：，
所以，
兩式相減得，，
所以，
所以.
若選③：
因為①，
所以②，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
所以，
因為，所以，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以，
所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以，
所以的通項公式.
(2)
當時，，能夠被3整除；
假設當時，能被3整除，則有,所以，
則當時，，所以當時能被3整除.
綜上所述，對一切，能被3整除.
變式2：（2024·上海市進才中學高二階段練習）用數(shù)學歸納法證明能被31整除時，從k到添加的項數(shù)共有（）項
A．7B．6C．5D．4
【解析】當時，則
當時，則
∴從k到添加的項數(shù)共有5項
故選：C.
變式3：（2024·全國·高二課時練習）若存在正整數(shù)，使得能被整除，則的最大值為________．
【解析】由，
可得，
由此可猜想的最大值為.
下面用數(shù)學歸納法證明：
（1）當時，顯然成立；
（2）假設當時，能被36整除，
當時，，
由假設可得能被36整除，
又由是2的倍數(shù)，所以能被36整除，
即當時，能被36整除，
由（1）（2）可知，對于一切正整數(shù)都有能被36整除，
所以的最大值為36.
故答案為：.
題型五：證明幾何問題
（2024·全國·高二課堂例題）在平面上畫n條直線，且任何2條直線都相交，其中任何3條直線不共點.問：這n條直線將平面分成多少個部分？
【答案】
【分析】先通過，2，3，4，5的結果歸納出，再用數(shù)學歸納法證明即可.
【詳解】記n條直線把平面分成個部分，我們通過，2，3，4，5，畫出圖形觀察的情況（如圖）

從圖中可以看出，
，
，
，
，
.
由此猜想.
接下來用數(shù)學歸納法證明這個猜想.
（1）當，2時，結論均成立.
（2）假設當時結論成立，即.
那么，當時，第k+1條直線與前面的k條直線都相交，有k個交點，
這k個交點將這條直線分成k+1段，且每一段將原有的平面部分分成兩個部分，
所以，結論也成立.
根據(jù)（1）和（2）可知，對，都有，
即.
（2024上·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明：凸邊形的內角和．
【答案】證明見解析
【分析】驗證當時，結論成立；假設當時，結論成立，分析可知凸邊形邊形可以在以為邊的與凸邊形拼接而成，即可得出成立，這說明當時，結論成立，再由歸納原理可證得結論成立.
【詳解】證明：當時，三角形的內角和為，即，結論成立；
假設當時，結論成立，即，
假設凸邊形，如下圖所示：
則凸邊形邊形可以在以為邊的與凸邊形拼接而成，
所以，，
這說明當時，結論成立，
故凸邊形的內角和.
（2024·高二課時練習）平面內有條直線，其中任何2條不平行，任何3條不過同一點，求證：它們交點的個數(shù).
【答案】證明見解析.
【分析】利用數(shù)學歸納法的證明步驟，即可證明結論．
【詳解】證明：（1）當時，兩條直線的交點只有一個，又，
當時，命題成立．
（2）假設，且時，命題成立，即平面內滿足題設的任何條直線交點個數(shù)，
那么，當時，任取一條直線，除以外其他條直線交點個數(shù)為，與其他條直線交點個數(shù)為，從而條直線共有個交點，
即，
這表明，當時，命題成立．
由（1）、（2）可知，對命題都成立．
（2024·高二課時練習）平面內有n(n≥2)個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，記這n個圓的交點個數(shù)為f(n)，猜想f(n)的表達式，并用數(shù)學歸納法證明．
【答案】猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)，證明見解析.
【分析】當n＝2時，f（2）＝2＝1×2，n＝3時，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4時，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，……，由此歸納出f(n)＝n(n－1)(n≥2)，然后利用數(shù)學歸納法證明即可
【詳解】n＝2時，f（2）＝2＝1×2，
n＝3時，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，
n＝4時，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，
n＝5時，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，
猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．
下面用數(shù)學歸納法給出證明：
①當n＝2時，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立．
②假設當n＝k(k≥2，k∈N*)，時猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，
則n＝k＋1時，其中圓O與其余k個圓各有兩個交點，而由假設知這k個圓有f(k)個交點，
所以這k＋1個圓的交點個數(shù)f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]，
即n＝k＋1時猜想也成立．
由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．
（2024下·河北唐山·高二統(tǒng)考期中）如圖，類似于中國結的一種刺繡圖案，這些圖案由小正方形構成，其數(shù)目越多，圖案越美麗，若按照前4個圖中小正方形的擺放規(guī)律，設第個圖案所包含的小正方形個數(shù)記為．
（1）利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出與的關系，并通過你所得到的關系式，求出的表達式；
（2）計算：，，的值，
猜想的結果，并用數(shù)學歸納法證明．
【答案】（1），（2）答案見解析
【分析】（1）由圖知計算出，，，根據(jù)規(guī)律歸納猜想與的關系，使用累加法猜想出；
（2）根據(jù)的計算猜想，
再用數(shù)學歸納法證明即可.
【詳解】（1）由圖知，，，，
，，，
歸納猜想：，
，
，
，
以上各式相加得
，
所以.
（2），
，，
猜想，
證明，當時，，，
所以時猜想成立，
當時猜想成立，即
，
則時，
，
所以當時，猜想成立，由①②可知，對任意，都有
.
題型六：證明數(shù)列問題
（2023上·高二課時練習）已知數(shù)列滿足，，試用數(shù)學歸納法證明．
【答案】證明見解析
【分析】先驗證時，等式成立，再假設當時等式成立，可得出，然后結合已知條件，驗證當時等式也成立，由此可證明出結論成立.
【詳解】①當時，左邊，
右邊，左邊右邊，原等式成立；
②假設當時等式成立，即有，
那么，當時，，
，
，
，
，
所以當時，等式也成立，
由①②知，對任意，都有.
【例5-1】（2024·全國·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明，首項為，公比為q的等比數(shù)列的通項公式是，前n項和公式是．
【解析】由題意，等比數(shù)列的首項為，公比為，
①當時，，顯然滿足；
②假設時，成立，
則當時，成立，
由①②可知，對于任意，都有成立.
證明：前項和公式，
③當時，成立；
④假設時，成立，
則當時，成立，
由③④可知，對于任意，都有成立.
變式1：（2024·全國·高二課時練習）已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且滿足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N*.
證明an＜an＋1＜2(n∈N*)．
【解析】①當n＝1時，a1＝1，a2＝a1(4－a1)＝，
∴a1＜a2＜2，命題正確．
②假設n＝k時，有ak＜ak＋1＜2，則n＝k＋1時，
ak＋1－ak＋2＝ak(4－ak)－ak＋1(4－ak＋1)
＝2(ak－ak＋1)－(ak－ak＋1)·(ak＋ak＋1)
＝(ak－ak＋1)(4－ak－ak＋1)．
而ak－ak＋1＜0，4－ak－ak＋1＞0，
∴ak＋1－ak＋2＜0.
又ak＋2＝ak＋1(4－ak＋1)＝[4－(ak＋1－2)2]＜2，
∴n＝k＋1時命題正確．
由①②知，對一切n∈N*都有ak＜ak＋1＜2.
【多選】（2024上·河北邯鄲·高二?？茧A段練習）已知正項數(shù)列中，，且，則下列說法正確的是（）
A．數(shù)列是遞增數(shù)列B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)數(shù)列單調性的判斷方法即可判斷選項A；利用特殊值法可判斷選項B；利用數(shù)學歸納法可判斷選項C；
先根據(jù)已知條件得，，再對進行化簡，即可判斷選項D.
【詳解】由是正項數(shù)列，得.
由，得，即.
對于選項A：因為，則，
所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故選項A正確；
對于選項B，因為，且，則，
所以，與矛盾，故選項B錯誤；
對于選項C：當時，則成立；
假設當時，有成立；
令，則，
而，
則，
即成立.
所以恒成立，故選項C正確；
對于選項D：因為，則，
所以
.
因為，且，
則；；；.
因為數(shù)列是遞增數(shù)列
則，
所以，故選項D正確.
故選：ACD.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用數(shù)列的遞推關系式判斷數(shù)列的單調性，數(shù)列的項及求和.解題關鍵在于對數(shù)列基本知識的掌握和靈活使用.難點在于選項C利用數(shù)學歸納法判斷；選項D對遞推關系式進行變形，利用裂項相消進行求和；借助數(shù)列的單調性得，即可判斷.
題型七：證明猜想
【例6-1】（2024·上?！ど贤飧街懈叨A段練習）觀察下面等式：寫出由這些等式歸納的一般規(guī)律，用數(shù)學歸納法證明．
【解析】一般規(guī)律：，
證明：（1）時，左=右，等式成立；
（2）假設時，等式成立，即，
則當時，，
等式也成立，
由（1）（2）得當時等式都成立．
變式1：（2024·全國·高二課時練習）已知數(shù)列中，，其中，且．從條件①與條件②，且中選擇一個，結合上面的已知條件，完成下面的問題．
(1)求，，，并猜想的通項公式；
(2)證明（1）中的猜想．
【解析】（1）選條件①，
由題意可得，同理可得，，
猜想()．
選條件②，
由題意可得，∵，，∴，，
∴，同理可得，
猜想（）．
（2）顯然當時，猜想成立，
假設當時，猜想成立，即（），
當時，由，可得=
（），
即當時，猜想成立，
綜上所述，（）．
變式2：（2024·廣西百色·高二期末（理））已知數(shù)列的前項和為，其中且.
(1)試求：，的值，并猜想數(shù)列的通項公式；
(2)用數(shù)學歸納法加以證明.
【解析】(1)因為且.
所以，解得，
因為，
所以，解得.
由，猜想：.
(2)①當時，等式成立；
②假設當時猜想成立，即
那么，當時，由題設，得，，
所以，，
則.
因此，，
所以.
這就證明了當時命題成立.
由①②可知：命題對任何都成立.
變式3：（2024·河南南陽·高二期末）設正項數(shù)列的首項為4，滿足．
(1)求，，并根據(jù)前3項的規(guī)律猜想該數(shù)列的通項公式；
(2)用數(shù)學歸納法證明你的猜想．
【解析】(1)由可得，又，則，，
則，猜想；
(2)由（1）得，當時，，
①當時，猜想顯然成立；
②假設當時成立，即；
當時，，猜想成立，
由①②知猜想恒成立，即.
（2023上·高二課時練習）設數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且．記．如果對于所有的正整數(shù)均有．
(1)求，，，，；
(2)猜想的通項公式，并加以證明．
【答案】(1)，，，，
(2)，證明見解析
【分析】（1）利用代入法進行求解即可；
（2）根據(jù)前五項的特點進行猜想，然后利用數(shù)學歸納法進行證明即可.
【詳解】（1）因為數(shù)列的各項均為正整數(shù)，
所以數(shù)列是遞增數(shù)列，
因為，，
所以舍去，
同理可得：舍去，舍去，舍去，
所以，，，，；
（2）猜想：，證明過程如下：
當時，顯然成立，
假設當時成立，即，
當時，，
解得：，或，
因為數(shù)列的各項均為正整數(shù)，
所以數(shù)列是遞增數(shù)列，
顯然，
所以，舍去，
所以當時，成立，
綜上所述：
【方法技巧與總結】
1．“歸納—猜想—證明”的解題步驟
2．“歸納—猜想—證明”解決的主要問題
(1)已知數(shù)列的遞推公式，求通項公式或前n項和．
(2)由一些恒等式，不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在．
(3)給出一些簡單命題(n＝1，2，3……)，猜想并證明對任意正整數(shù)n都成立的一般性命題．
提醒：①計算特例時，不僅僅是簡單的算數(shù)過程，有時要通過計算過程發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律；②猜想必須準確，絕對不能猜錯，否則將徒勞無功．③如果猜想出來的結論與正整數(shù)n有關，一般用數(shù)學歸納法證明．
一、單選題
1．（2024上·湖南長沙·高二階段練習）設，那么等于（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)的表達式得，即可相減求解.
【詳解】由題意可得,
所以，
故選：D
2．（2024下·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期中）用數(shù)學歸納法證明不等式：，從到時，不等式左邊需要增加的項為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)歸納法即可得到答案.
【詳解】解：根據(jù)數(shù)學歸納法可知：
當時，
當時，
相比從到，可知多增加的項為
故選：D
3．（2024下·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明，第一步應驗證（）
A．當時，不等式成立B．當時，不等式成立
C．當時，不等式成立D．當時，不等式成立
【答案】C
【分析】利用數(shù)學歸納法的定義可得出結論.
【詳解】由題意知的最小值為，所以第一步應驗證當時，不等式成立，
故選：C.
4．（2024上·新疆伊犁·高二?？计谀├脭?shù)學歸納法證明時，第一步應證明（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】觀察為項連續(xù)正整數(shù)之和的規(guī)律，可得.
【詳解】由題意，，
即從起連續(xù)項正整數(shù)之和.
則為從起連續(xù)3個正整數(shù)之和，
故第一步應證明.
故選：B.
5．（2024下·北京豐臺·高二統(tǒng)考期中）用數(shù)學歸納法證明“對任意的，”，由到時，等式左邊應當增加的項為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分別寫出和時，左邊的式子，兩式作差，即可得出結果.
【詳解】由題意可得，當時，等式左邊等于，共項求和；
當時，等式左邊等于，共項求和；
所以由的假設到證明時,等式左邊應添加的式子是.
故選：B.
6．（2024下·上?！じ叨谥校┯脭?shù)學歸納法證明“當為正奇數(shù)時，能被整除”，第二步歸納假設應寫成（）
A．假設正確，再推正確
B．假設正確，再推正確
C．假設正確，再推正確
D．假設正確，再推正確
【答案】B
【分析】注意為正奇數(shù)，觀察第一步取到1，即可推出第二步的假設．
【詳解】解：根據(jù)數(shù)學歸納法的證明步驟，注意為奇數(shù)，
所以第二步歸納假設應寫成：假設正確，再推正確；
故選：B．
【點睛】本題是基礎題，不僅注意第二步的假設，還要使n＝2k﹣1能取到1，是解好本題的關鍵
7．（2024上·江蘇·高二專題練習）利用數(shù)學歸納法證明不等式（，）的過程中，由到時，左邊增加了（）
A．1項B．k項C．項D．項
【答案】D
【分析】利用數(shù)學歸納法，分別寫出和的式子，作差能夠得到增加的項.
【詳解】當時，左邊，
當時，左邊，
左邊增加的項為，共項.
故選：D
8．（2024下·北京豐臺·高二統(tǒng)考期中）用數(shù)學歸納法證明“對任意的，”，第一步應該驗證的等式是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由數(shù)學歸納法相關步驟可得答案.
【詳解】因，則第一步應驗證當時，是否成立.
故選：B
9．（2024上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學?？计谀┯脭?shù)學歸納法證明：（）的過程中，從到時，比共增加了（）
A．1項B．項C．項D．項
【答案】D
【分析】分別計算出和的項數(shù)，進而作差即得結論．
【詳解】因為，
所以，共項，
則共項，
所以比共增加了項，
故選：D
10．（2024上·江蘇連云港·高二校考階段練習）意大利數(shù)學家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準晶體結構”、化學等領域都有著廣泛的應用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前2024項的和為（）
A．1348B．675C．1349D．1350
【答案】C
【分析】由已知條件寫出數(shù)列的前若干項，觀察發(fā)現(xiàn)此數(shù)列周期為3，從而可求得答案.
【詳解】依題意，若，等價于為偶數(shù)，若，等價于為奇數(shù)，
顯然，
猜想：，當時，成立；
假設當時，成立，則為奇數(shù)，為偶數(shù)；
當時，則為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，
故符合猜想，因此，
，所以數(shù)列的前2024項的和為.
故選：C
【點睛】方法點睛：本題主要考查數(shù)列的周期性以及應用，考查了遞推關系求數(shù)列各項的和，利用遞推關系求數(shù)列中的項或求數(shù)列的和：
（1）項的序號較小時，逐步遞推求出即可；
（2）項的序數(shù)較大時，考慮證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列，或者是周期數(shù)列.
二、多選題
11．（2024·上海寶山·統(tǒng)考二模）用數(shù)學歸納法證明對任意的自然數(shù)都成立，則以下滿足條件的的值中正確的為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】CD
【分析】先驗證四個選項中符合要求的的值，再用數(shù)學歸納法進行充分性證明.
【詳解】當時，，不合要求，舍去
當時，，不合要求，舍去；
當時，，符合題意，
當時，，符合題意，
下證：當時，成立，
當時，成立，
假設當時，均有，解得：
當時，有，
因為，
所以成立，
由數(shù)學歸納法可知：對任意的自然數(shù)都成立，
故選：CD
12．（2024下·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習）用數(shù)學歸納法證明不等式的過程中，下列說法正確的是（）
A．使不等式成立的第一個自然數(shù)
B．使不等式成立的第一個自然數(shù)
C．推導時，不等式的左邊增加的式子是
D．推導時，不等式的左邊增加的式子是
【答案】BC
【分析】根據(jù)數(shù)學歸納法逐項分析判斷.
【詳解】當時，可得；當時，可得；
即使不等式成立的第一個自然數(shù)，故A錯誤，B正確；
當時，可得；
當時，可得；
兩式相減得：，
所以推導時，不等式的左邊增加的式子是，故C正確，D錯誤；
故選：BC.
13．（2024下·高二課時練習）設是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：“當成立時，總可推出成立”，那么下列命題不成立的是（）
A．若成立，則當時，均有成立
B．若成立，則當時，均有成立
C．若成立，則當時，均有成立
D．若成立，則當時，均有成立
【答案】ABC
【分析】根據(jù)題設結論逐項分析判斷.
【詳解】對于A，若成立，由題意只可得出當時，均有成立，故A錯誤；
對于B，若成立，則當時均有成立，故B錯誤；
對于C：因為不滿足題設條件，故不能得出相應結論，故C錯誤；
對于D：若成立，則當時，均有成立，故D正確；
故選：ABC.
14．（2024·高二單元測試）以下四個命題，其中滿足“假設當時命題成立，則當時命題也成立”，但不滿足“當（是題中給定的n的初始值）時命題成立”的是（）
A．
B．
C．凸n邊形的內角和為
D．凸n邊形的對角線條數(shù)
【答案】BC
【分析】A將初始值代入判斷是否滿足要求；B、C應用數(shù)學歸納法判斷是否滿足要求；D在成立的條件下判斷是否成立即可判斷.
【詳解】A：，顯然時有，故當n為給定的初始值時命題成立，故不滿足要求；
B：假設當時命題成立，即，當時有，故當時命題也成立，當時，等號左邊為2，右邊為，，所以當時命題不成立，故滿足要求；
C：假設當時命題成立，即，當時有，故當時命題也成立，當時內角和為命題不成立，故滿足要求；
D：假設當時命題成立，即，當時有，故不滿足要求.
故選：BC.
三、填空題
15．（2024下·高二課時練習）已知，則．
【答案】
【分析】根據(jù)題意得到和的表達式，進而得到和的關系式，得到答案.
【詳解】由，
可得
則，
即.
故答案為：.
16．（2024下·廣西欽州·高二?？茧A段練習）用數(shù)學歸納法證明：時，在第二步證明從到成立時，左邊增加的項數(shù)是
【答案】
【分析】分別寫出和時不等式的左邊的式子，比較即可求得答案.
【詳解】由題意知時，左邊式子為，
時，左邊式子為，
故增加的項數(shù)為，
故答案為：
17．（2024下·安徽馬鞍山·高二統(tǒng)考期中）利用數(shù)學歸納法證明“”時，由到時，左邊應添加因式 .
【答案】
【分析】將時左邊的等式除以時左邊的等式即可得解.
【詳解】解：當時，左邊，
當時，左邊，
所以左邊應添加因式為.
故答案為：.
18．（2024下·上海浦東新·高一華師大二附中?？计谀┯脭?shù)學歸納法證明時，第一步應驗證不等式為．
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)學歸納法的概念，結合證明的不等式，即可求解.
【詳解】由不等式，
當時，可得，
所以用數(shù)學歸納法證明時，
第一步應驗證不等式為.
故答案為：.
19．（2024上·上海寶山·高二?？计谀┯脭?shù)學歸納法推斷時，正整數(shù)n的第一個取值應為．
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟，結合函數(shù)圖像可得時，恒成立.
【詳解】
根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟，首先要驗證當取第一個值時命題成立；
結合本題現(xiàn)將看成函數(shù)上的點，將看成上的點，
兩函數(shù)圖像有兩個交點，即，解得或，根據(jù)兩函數(shù)圖像分析，
時，恒成立，所以正整數(shù)n的第一個取值應為.
故答案為:
四、解答題
20．（2024·全國·高二隨堂練習）設，，且，用數(shù)學歸納法證明：．
【答案】證明見解析
【分析】利用數(shù)學歸納法的證明方法證明即可．
【詳解】當時，左邊，右邊，
因為，所以，故左邊右邊，原不等式成立；
假設當時，不等式成立，即，
則當時，，，
在不等式兩邊同乘以得
，
所以．即當時，不等式也成立．
綜上，對一切正整數(shù)，不等式都成立．
21．（2024·全國·高二隨堂練習）用數(shù)學歸納法證明：．
【答案】證明見解析.
【分析】應用數(shù)學歸納法，結合基本不等式證明不等關系.
【詳解】當，則成立，
若且時，成立，
令，則，
所以時不等式也成立，
綜上，恒成立.
22．（2024下·北京房山·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的通項公式為，記該數(shù)列的前n項和為．
(1)計算，，，的值；
(2)根據(jù)計算結果，猜想的表達式，并進行證明．
【答案】(1)，，，
(2)，證明見解析.
【分析】（1），從而可得出，
（2）猜想，然后根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟證明即可.
【詳解】（1）因為，
所以，，
，
.
（2）猜想，
下面用數(shù)學歸納法進行證明：
當時，，猜想正確，
假設當時，猜想也正確，
則有，
當時，，
所以時，猜想也正確，
綜上所述，.
23．（2024下·陜西西安·高二校考期中）設數(shù)列滿足，.
(1)計算，，猜想的通項公式并用數(shù)學歸納法加以證明；
(2)若數(shù)列的前項和為，證明：.
【答案】(1)，證明詳見解析
(2)證明詳見解析
【分析】（1）先求得，，然后猜想并利用數(shù)學歸納法進行證明.
（2）利用裂項求和法求得，進而證得不等式成立.
【詳解】（1）依題意，，，則，
所以，
猜想.
當時，成立，
假設當時，猜想成立，即，
則當時，
，猜想成立，
所以.
（2），
所以
.
24．（2024上·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明：
(1)；
(2) ．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟，先分析當時成立，再假設當時成立推導時也成立即可.
【詳解】（1）當時，成立；
假設當時成立，
則
，
即成立，
故當時也成立.
綜上有
（2）當時，成立；
假設當時成立，
則
，
故當時也成立.
故
課程標準
學習目標
了解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明數(shù)列中的一些簡單命題．
1.了解數(shù)學歸納法原理．(數(shù)學抽象)
2．能用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的數(shù)學問題．(邏輯推理、數(shù)學運算)

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