基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測
知識點1　復(fù)合函數(shù)的概念一般地,對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果給定x的一個值,就得到了u的值,進而確定了y的值,那么y可以表示成x的函數(shù),稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)的復(fù)合函數(shù),記作　　　　,其中u為　　　　　.?
過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
2.函數(shù)y=lg2(x+1)是復(fù)合函數(shù)嗎?是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的?
提示 是,函數(shù)y=lg2(x+1)是由y=lg2u及u=x+1這兩個函數(shù)復(fù)合而成的.
知識點2　復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)y=f(φ(x))對x的導(dǎo)數(shù)為y'x=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x),其中u=φ(x).名師點睛求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需處理好以下環(huán)節(jié):(1)中間變量的選擇應(yīng)是基本初等函數(shù)結(jié)構(gòu);(2)關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次;(3)一般是從最外層開始,由外及里,一層層地求導(dǎo);(4)善于把一部分表達(dá)式作為一個整體;(5)最后要把中間變量換成關(guān)于自變量的函數(shù).
過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)函數(shù)y=e-x的導(dǎo)數(shù)為y'=e-x.(　　)(2)函數(shù)f(x)=sin 4x的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=cs 4x.(　　)(3)已知f(x)=ln(2x+1),則f'(x)= . (　　)2.復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)),用中間變量y=f(u),u=g(x)代換后求導(dǎo)的順序是什么?
提示 根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則y'x=y'u·u'x,求導(dǎo)的順序是從外向內(nèi)逐層求導(dǎo).
探究點一　求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
【例1】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=(4-3x)2;(2)y=cs(2x- );(3)y=ln(4x-1);(4)y= .分析先分析每個復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,再按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進行求導(dǎo).
解 (1)設(shè)y=u2,u=4-3x,則yu'=2u,ux'=-3,于是yx'=yu'·ux'=-6(4-3x)=18x-24,即y'=18x-24.
規(guī)律方法　1.解答此類問題常犯兩個錯誤:(1)不能正確區(qū)分所給函數(shù)是否為復(fù)合函數(shù);(2)若是復(fù)合函數(shù),不能正確判斷它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成.2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的步驟:
變式訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=103x-2;(2)y=ln(ex+x2);(3)y=2sin(3x- );(4)y= .
探究點二　復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)的運算法則的綜合應(yīng)用
【例2】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
規(guī)律方法　此類問題出錯的主要原因一般有兩個:一是基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式記憶有誤;二是求導(dǎo)法則掌握不到位,尤其是對于積與商的求導(dǎo)法則中的符號混淆.對于復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo),一般遵循先化簡再求導(dǎo)的原則,但要注意化簡過程中變換的等價性.
變式訓(xùn)練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=(2x-1)3;(2)y=sin 2x+cs 2x;(3)y=(ln x)2.
解 (1)設(shè)y=u3,u=2x-1,則yu'=3u2,ux'=2,于是yx'=yu'·ux'=6(2x-1)2,即y'=6(2x-1)2.(2)y'=(sin 2x)'+(cs 2x)'=2cs 2x-2sin 2x.
探究點三　與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的切線問題
【例3】 (1)曲線y=ln(2x-1)上的點到直線2x-y+3=0的最短距離是(　　)
(2)設(shè)曲線y=eax在點(0,1)處的切線與直線x+2y+1=0垂直,則a=　　　　　.?
解析 令y=f(x),則曲線y=eax在點(0,1)處的切線的斜率為f'(0),又因為切線與直線x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因為f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
變式探究將本例(2)中的問題改為“求曲線y=eax在點(0,1)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積”.
解 由題意可知,切線方程為y-1=2x,即2x-y+1=0.令x=0得y=1;
規(guī)律方法　導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的解題策略本題正確地求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是前提,審題時應(yīng)注意所給點是不是切點,挖掘題目隱含條件,求出參數(shù).解決已知經(jīng)過一定點的切線問題,尋求切點是解決問題的關(guān)鍵.
1.知識清單:(1)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)的運算法則的綜合應(yīng)用.(3)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用.2.方法歸納:復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):不能正確地區(qū)分所給函數(shù)是否為復(fù)合函數(shù).
1.函數(shù)y=(x2-1)n的復(fù)合過程正確的是(　　)A.y=un,u=x2-1B.y=(u2-1)n,u=x2C.y=tn,t=(x2-1)nD.y=(t-1)n,t=x2-1
解析 f'(x)=2xe1-mx+x2·e1-mx·(-m)+m=2xe1-mx-mx2e1-mx+m,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f'(1)=2e1-m-me1-m+m=2,所以(e1-m-1)(2-m)=0,所以e1-m-1=0或2-m=0,所以m=1或m=2.
2.函數(shù)y=(2x+1)3的導(dǎo)數(shù)為(　　)A.y'=3(2x+1)3B.y'=3(2x+1)2C.y'=6(2x+1)2D.y'=6(2x+1)3
解析 y=(2x+1)3,則y'=3(2x+1)2×2=6(2x+1)2.故選C.
3.函數(shù)f(x)=x2+sin 2x,則f'(x)=(　　)A.2x+cs 2xB.2x+2cs xC.2x+2(cs2x-sin2x)D.2x-2(cs2x-sin2x)
解析 ∵f(x)=x2+sin 2x,∴f'(x)=(x2)'+(sin 2x)'=2x+2cs 2x=2x+2(cs2x-sin2x).故選C.
4.過函數(shù)f(x)= e2x-x圖象上一個動點作切線,則切線傾斜角的取值范圍為(　　)

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