知識點(diǎn)01向量的數(shù)量積
1.定義
已知兩個非零向量a與b，|a||b|cs θ稱為a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ，其中θ是a與b的夾角．零向量與任一向量的數(shù)量積為0．
2.幾何意義
b的長度|b|與a在b方向上的投影數(shù)量|a|cs θ的乘積；或a的長度|a|與b在a方向上的投影數(shù)量|b|cs θ的乘積．
3.性質(zhì)
(1)若e是單位向量，則a·e＝e·a＝|a|cs〈a，e〉.
(2)若a，b是非零向量，則a·b＝0?a⊥b.
(3)a·a＝|a|2，即|a|＝a·a．
(4)cs 〈a，b〉＝a·bab(|a||b|≠0)．
(5)|a·b|≤|a||b|，當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號成立．
4.運(yùn)算律
交換律：a·b＝b·a
結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c
注：關(guān)于向量數(shù)量積應(yīng)注意的問題
(1)若向量a與b的夾角為θ，θ＝0時(shí)，a與b同向；θ＝π時(shí)，a與b反向；θ＝π2時(shí)，a⊥b.
(2)求兩向量的夾角，應(yīng)保證兩個向量有公共起點(diǎn)，若沒有，需平移．
(3)向量的數(shù)量積結(jié)果是一個數(shù)量，符號由cs θ的符號所決定，而向量的加減法和實(shí)數(shù)與向量的積的結(jié)果仍是向量．
(4)符號“·”在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替．
【即學(xué)即練1】已知向量，滿足，，且與的夾角為，則向量等于（ ）
A．B．
C．D．1
【即學(xué)即練2】已知向量，滿足，，且與的夾角為，則（ ）
A．6B．8C．10D．12
【即學(xué)即練3】若非零向量，，滿足，且，則（ ）
A．4B．3C．2D．0
【即學(xué)即練4】在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，則eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝________，eq \(BC,\s\up7(―→))·eq \(CA,\s\up7(―→))＝________，eq \(CA,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝________.
【即學(xué)即練5】在中，，點(diǎn)D在上，，，則（ ）
A．8B．10C．12D．16.
知識點(diǎn)02 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

若兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2+y1y2，即兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和．
注：對于a·b＝|a|·|b|·cs θ和a·b＝x1x2＋y1y2，兩者無本質(zhì)區(qū)別，計(jì)算時(shí)根據(jù)已知條件選用即可．可用坐標(biāo)運(yùn)算的結(jié)果判斷csθ的正負(fù)．
【即學(xué)即練6】已知，，則=___________.
【即學(xué)即練7】設(shè)a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，則(a＋2b)·c＝( )
A．12 B．0 C．－3 D．－11
【即學(xué)即練8】已知向量a與b的夾角為60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝eq \r(10)，則a·b＝________.
【即學(xué)即練9】已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，則x＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
知識點(diǎn)03 兩個向量垂直的坐標(biāo)表示
設(shè)兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?a·b＝0?x1x2+y1y2=0．
注：這個結(jié)論與a∥b?x1y2－x2y1＝0不能混淆．可以從平行與垂直的定義理解．設(shè)非零向量a，b的起點(diǎn)均為原點(diǎn)O，a的終點(diǎn)為A，b的終點(diǎn)為B，a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)．若a∥b，且x1，x2不為0，則kOA ＝kOB，即y1x1 ＝y(tǒng)2x2，得x2y1－x1y2 ＝0.垂直則是從數(shù)量積的角度理解，若a⊥b，則cs θ ＝0(θ為向量a與b的夾角)，a·b ＝0，即x1x2＋y1y2 ＝0.
【即學(xué)即練10】已知向量，且，則_______.
【即學(xué)即練11】已知向量，，若，則t的值為（ ）
A．B．1C．2D．1或2
【即學(xué)即練12】設(shè)向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，則實(shí)數(shù)λ＝________.
知識點(diǎn)04 向量模的坐標(biāo)表示
1．向量模的坐標(biāo)表示
若a＝(x，y)，則|a|2＝x2+y2，或|a|＝x2+y2．
在平面直角坐標(biāo)系中，若OA＝a＝(x，y)，
則|OA|＝|a|，即|a|為點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離．
2．兩點(diǎn)間的距離公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝OB?OA＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝x2?x12+y2?y12．
注：如何準(zhǔn)確把握向量的模的坐標(biāo)表示與兩點(diǎn)間的距離公式
(1)向量的長度(或模)是該向量與其自身的數(shù)量積的算術(shù)平方根，由數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可推出向量長度的坐標(biāo)計(jì)算公式；
(2)|AB|即為A，B兩點(diǎn)間的距離，|AB|的計(jì)算公式與解析幾何中兩點(diǎn)間的距離公式是完全一致的；
(3)若已知向量的坐標(biāo)或表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)，可分別利用上述兩個公式求向量的模，它們在本質(zhì)上是一致的．
3．向量a的單位向量的坐標(biāo)表示
因?yàn)橄蛄縜的單位向量a0＝±aa，
若a＝(x，y)，則|a|＝x2+y2，所以a0＝±aa＝±xx2+y2,yx2+y2．
【即學(xué)即練13】已知a＝(1，eq \r(3))，b＝(－2,0)，則|a＋b|＝________.
【即學(xué)即練14】設(shè)平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|等于( )
A.eq \r(5) B.eq \r(6) C.eq \r(17) D.eq \r(26)
【即學(xué)即練15】已知向量，且，，則（ ）
A．3B．C．D．
知識點(diǎn)05 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角，則cs θ＝a·bab＝x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22(|a||b|≠0)．
【即學(xué)即練16】已知向量，，則與夾角的大小為_________.
【即學(xué)即練17】已知向量，，，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【即學(xué)即練18】設(shè)向量，，則與夾角的余弦值為（ ）
A．0B．C．D．1
【即學(xué)即練19】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分別確定實(shí)數(shù)λ的取值范圍，使得：
(1)a與b的夾角為直角；
(2)a與b的夾角為鈍角；
(3)a與b的夾角為銳角．
題型一：向量數(shù)量積的計(jì)算及其幾何意義
例1．（2024高一下·江西上饒·階段練習(xí)）在等腰梯形 中，，，則下列各組向量夾角為的是（ ）
A．與B．與
C．與D．與
變式1．（2024高一下·北京順義·階段練習(xí)）若均為非零向量，則是與共線的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分又不必要條件
例2．（2024高一下·河南·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為60°，其中，，則（ ）
A．6B．5C．3D．2
變式1．（2024高一下·湖北武漢·階段練習(xí)）在中，，，為的中點(diǎn)，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．0
變式2．（2024高二上·四川成都·開學(xué)考試）在中，，M是邊的中點(diǎn)，O為的外心，則（ ）
A．8B．C．16D．17
變式3．（2024高三上·北京海淀·階段練習(xí)）在中，，，是外接圓的圓心，在線段上，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
向量數(shù)量積的求法
(1)求兩個向量的數(shù)量積，首先確定兩個向量的模及向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵．
(2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算．
題型二：求向量的模
例3．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知向量，，若，，與的夾角為，則＝（ ）
A．6B．
C．3D．
變式1．（2024高三下·安徽滁州·階段練習(xí)）已知向量滿足，則（ ）
A．3B．C．7D．
變式2．（2024高三下·四川·期末）已知向量、、滿足，，且，則（ ）
A．B．C．D．
變式3．（2024高三·陜西西安·階段練習(xí)）若向量與的夾角為，，則等于（ ）
A．2B．4C．6D．12
變式4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量，滿足，，，則實(shí)數(shù)k的值為（ ）
A．1B．3C．2D．
變式5．（2024高一下·河南焦作·期中）已知，點(diǎn)在線段上，且的最小值為，則（）的最小值為（ ）
A．B．C．2D．
【方法技巧與總結(jié)】
求向量的模的常見思路及方法
(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘記開方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．
題型三：向量的夾角與垂直問題
（一）求向量的夾角
例4．（2024高三上·山東煙臺·期末）已知，則向量與夾角的大小為（ ）
A．B．C．D．
變式1．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知非零向量 ,滿足，且 則的夾角為（ ）
A．45°B．135°
C．60°D．120°
變式2．（2024高三下·重慶·開學(xué)考試）已知向量與是非零向量，且滿足在上的投影向量為，，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
變式3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知向量，滿足，，，則（ ）
A．B．
C．D．
變式4．（2024·四川巴中·一模）已知向量，滿足，，，則（ ）
A．B．C．D．
（二）已知兩向量的夾角求相關(guān)參數(shù)的值
例5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，，與的夾角為60°．若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
變式1．（2024高一下·陜西渭南·期末）已知分別是與軸、軸方向相同的單位向量，，，且的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
變式2．（2024高一下·北京海淀·期末）已知向量，是兩個單位向量，則“為銳角”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件（ ）
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
變式3．（2024高三上·北京懷柔·階段練習(xí)）已知平面向量，滿足，與的夾角為，若與的夾角為鈍角，則一個滿足條件的的值可以為 ．
變式4．（2024高一下·山東泰安·階段練習(xí)）設(shè)兩個向量滿足．
(1)若，求的夾角；
(2)若的夾角為，向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
變式5．（2024高一下·天津·期末）已知.求：
(1)與的夾角；
(2)；
(3)若與夾角為鈍角，求的取值范圍.
（三）向量垂直的問題
例6．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知且向量與互相垂直，則k的值為（ ）
A．B．
C．D．1
變式1．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知，，，且與垂直，則 .
變式2．（2024高三上·陜西·階段練習(xí)）已知向量、滿足，，與的夾角為，若，則 .
變式3．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知是非零向量，當(dāng)?shù)哪Ｈ∽钚≈禃r(shí)，求證：．
變式4．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知兩個單位向量的夾角為60°，，若，則t＝ ．
變式5．（2024高二上·全國·階段練習(xí)）已知向量、的夾角為．
(1)求·的值
(2)當(dāng)時(shí)，對于任意的，證明，和都垂直．
【方法技巧與總結(jié)】
1、求向量a，b的夾角θ有兩步：第一步，利用公式cs θ＝a·bab求cs θ；第二步，根據(jù)θ∈[0，π]確定θ.而求cs θ有兩種情形，一種是求出a·b，|a|，|b|的值；另一種是得到a·b，|a|，|b|之間的關(guān)系分別代入公式計(jì)算．
2、向量垂直問題的處理思路
解決與垂直相關(guān)題目的依據(jù)是a⊥b?a·b＝0，利用數(shù)量積的運(yùn)算律代入，結(jié)合與向量的模、夾角相關(guān)的知識解題．
題型四：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算
例7．（2024高一下·甘肅張掖·階段練習(xí)）已知，則等于（ ）
A．10B．C．3D．
變式1．（2024高三上·青海西寧·期末）已知向量，，則（ ）
A．B．1C．D．2
變式2．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）若向量，，，且滿足條件，則（ ）
A．6B．5
C．4D．3
變式3．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，，則 .
變式4．（2024高一下·江蘇·階段練習(xí)）已知向量，，且.
(1)求的值；
(2)求的取值范圍；
(3)記函數(shù)，若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.
變式5．（2024高三上·河南·專題練習(xí)）已知向量，函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值．
【方法技巧與總結(jié)】
向量數(shù)量積運(yùn)算的途徑及注意點(diǎn)
(1)進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)．解題時(shí)通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開，再依據(jù)已知條件計(jì)算．
(2)對于以圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目，只需把握圖形的特征，看到題目中的直角條件要敏銳地產(chǎn)生建系的想法，并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)求解．
題型五：平面向量共線、垂直的坐標(biāo)表示的應(yīng)用
例8．（2024高一上·浙江紹興·期末）已知向量，，且，則（ ）
A．B．2C．D．
變式1．（2024高三上·湖南常德·期末）已知向量，，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
變式2．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）已知向量，向量，向量，若與共線，，則（ ）
A．B．
C．D．
變式3．【多選】（2024高一下·云南紅河·開學(xué)考試）已知向量，則下列結(jié)論正確的是（ ）.
A．B．
C．D．
變式4．【多選】（2024高三上·浙江金華·期末）設(shè)平面向量，，（ ）
A．若，則B．若，則
C．，D．，使
【方法技巧與總結(jié)】
根據(jù)向量共線、垂直求參數(shù)的值的基本思路
借助兩向量平行和垂直的條件求解某參數(shù)的值，是向量坐標(biāo)運(yùn)算的重要應(yīng)用之一，具體做法就是先借助a∥b?a＝λb(λ∈R，b≠0)?x1y2－x2y1＝0或a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列關(guān)于某參數(shù)的方程(或方程組)，然后解之即可．
題型六：平面向量的模與夾角
（一）向量的模
例9．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知向量，，則 .
變式1．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知向量，，且，則（ ）
A．B．5
C．D．
變式2．（2024高三上·全國·階段練習(xí)）已知且，則 ．
變式3．（2024高一下·湖南岳陽·期末）設(shè)，向量，，且，則（ ）
A．B．C．10D．
變式4．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）設(shè)向量，且，則 ， .
變式5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在四邊形中，，則四邊形的面積為（ ）
A．B．C．2D．15
（二）向量的夾角
例10．（2024高三上·遼寧·期中）已知向量，，，則 （ ）
A．B．C．D．
變式1．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知向量，，則向量，的夾角為（ ）
A．B．
C．D．
變式2．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知菱形中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，則的余弦值為 .
變式3．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知向量，，且與夾角的余弦值為，則 .
變式4．（2024高三下·陜西安康·開學(xué)考試）已知向量，，，，則（ ）
A．B．C．D．
變式5．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知，，若與的夾角為鈍角，求的取值范圍．
（三）三角形形狀的判斷
例11．（2024高一下·山東青島·期中）在中，，若，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．一定為鈍角三角形B．一定不為直角三角形
C．一定為銳角三角形D．可為任意三角形
變式1．（2024高一下·吉林長春·階段練習(xí)）在中，下列命題正確的個數(shù)是（ ）
①；②；③若，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．
A．1B．2C．3D．4
變式2．（2024高一下·山西朔州·期末）在中，下列說法錯誤的是（ ）
A．“”是“A為直角”的充要條件
B．“”是“A為銳角”的充要條件
C．“”是“是銳角三角形”的充分不必要條件
D．“”是“是鈍角三角形”的充分不必要條件
變式3．（2024高三上·山東濟(jì)南·期末）已知非零向量，滿足，且，則為（ ）
A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形
【方法技巧與總結(jié)】
1.求向量的模的兩種基本策略
(1)字母表示下的運(yùn)算
利用|a|2＝a2，將向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題．
(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算
若a＝(x，y)，則a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2+y2.
2.根據(jù)向量的夾角求參數(shù)：由于兩個非零向量a，b的夾角θ滿足0≤θ≤π，且cs θ＝a·bab，故當(dāng)θ＝0時(shí)，a·b＝|a|·|b|；當(dāng)0

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高中數(shù)學(xué)第二章 平面向量5從力做的功到向量的數(shù)量積同步測試題
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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊電子課本

5.1 向量的數(shù)量積

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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