知識(shí)點(diǎn)01平均變化率
對(duì)一般的函數(shù)y＝f(x)來(lái)說(shuō)，當(dāng)自變量x從x1變?yōu)閤2時(shí)，函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2)，它的平均變化率為fx2?fx1x2?x1．通常我們把自變量的變化x2－x1稱作自變量x的改變量，記作Δx，函數(shù)值的變化f(x2)－f(x1)稱作函數(shù)值y的改變量，記作Δy．這樣，函數(shù)的平均變化率就可以表示為函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比，即?y?x＝fx2?fx1x2?x1．我們用它來(lái)刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢．
注：函數(shù)的平均變化率可正可負(fù)，反映函數(shù)y＝f(x)在[x1，x2]上變化的快慢，變化快慢是由平均變化率的絕對(duì)值決定的，且絕對(duì)值越大，函數(shù)值變化得越快．
【即學(xué)即練1】已知拋物線y＝3x－x2在x0＝2處的增量為Δx＝0.1，則eq \f(Δy,Δx)的值為( )
A．－0.11 B．－1.1 C．3.89 D．0.29
【即學(xué)即練2】如圖，函數(shù)y＝f(x)在A，B兩點(diǎn)間的平均變化率等于( )
A．-1B．1C．-2D．2
知識(shí)點(diǎn)02 瞬時(shí)變化率
對(duì)于一般的函數(shù)y＝f(x)，在自變量x從x0變到x1的過(guò)程中，若設(shè)Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0), 則函數(shù)的平均變化率是?y?x＝fx1?fx0x1?x0＝fx0+Δx?fx0Δx．
當(dāng)Δx趨于0時(shí)，平均變化率就趨于函數(shù)在x0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率．瞬時(shí)變化率刻畫的是函數(shù)在一點(diǎn)處變化的快慢．
注：平均速度和瞬時(shí)速度都是反映運(yùn)動(dòng)物體的位移隨時(shí)間變化而變化的情況．平均速度是運(yùn)動(dòng)物體在一個(gè)時(shí)間段里位移的改變量與這段時(shí)間的比值，而瞬時(shí)速度是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的速度，當(dāng)一個(gè)時(shí)間段趨于0時(shí)的平均速度就是瞬時(shí)速度．
【即學(xué)即練3】物體運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝3t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，若v＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(s?3＋Δt?－s?3?,Δt)＝18 m/s，則下列說(shuō)法中正確的是( )
A．18 m/s是物體從開(kāi)始到3 s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度
B．18 m/s是物體從3 s到(3＋Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的速度
C．18 m/s是物體在3 s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度
D．18 m/s是物體從3 s到(3＋Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度
【即學(xué)即練4】【多選】某物體的運(yùn)動(dòng)路程s（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)表示，則（ ）
A．物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為0m/sB．物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為1m/s
C．瞬時(shí)速度為9m/s的時(shí)刻是在時(shí)D．物體從0到1的平均速度為2m/s
題型一：求函數(shù)的平均變化率
例1.某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝1－t2，則該物體在[1,2]內(nèi)的平均速度為( )
A．2 B．3 C．－2 D．－3
變式1.函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的平均變化率是2，則t＝________.
變式2.函數(shù)，在[0，2]上的平均變化率分別記為，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．，的大小無(wú)法確定
【方法技巧與總結(jié)】
1．求函數(shù)平均變化率的三個(gè)步驟
第一步，求自變量的增量Δx＝x2－x1.
第二步，求函數(shù)值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．
第三步，求平均變化率?y?x＝fx2?f(x1)x2?x1.
2．求平均變化率的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)
求點(diǎn)x0附近的平均變化率，可用fx0+Δx?f(x0)Δx的形式．
題型二：平均變化率的實(shí)際應(yīng)用
例2.汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖所示，在時(shí)間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為，則三者的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
變式1.某公司的盈利（元）與時(shí)間（天）的函數(shù)關(guān)系是，假設(shè)（）恒成立，且，，則說(shuō)明后10天與前10天比（ ）
A．公司虧損且虧損幅度變大
B．公司的盈利增加，增加的幅度變大
C．公司虧損且虧損幅度變小
D．公司的盈利增加，增加的幅度變小
變式2.一球沿某一斜面自由滾下，測(cè)得滾下的垂直距離h(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系為h＝2t2＋2t，則：
（1）前3 s內(nèi)球的平均速度為_(kāi)_______m/s；
（2）在t∈[2，3]這段時(shí)間內(nèi)球的平均速度為_(kāi)_______m/s.
【方法技巧與總結(jié)】
平均變化率的意義
1．本題中比較兩人的速度，其實(shí)就是比較兩人走過(guò)的路程對(duì)時(shí)間的平均變化率，通過(guò)比較平均變化率的大小關(guān)系得出結(jié)論．
2．平均變化率的絕對(duì)值反映函數(shù)在給定區(qū)間上變化的快慢，平均變化率的絕對(duì)值越大，函數(shù)在區(qū)間上的變化越快；平均變化率的絕對(duì)值越小，函數(shù)在區(qū)間上的變化越慢．
題型三：運(yùn)動(dòng)物體的平均速度與瞬時(shí)速度
例3.某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，
（1）求物體在t＝1 s時(shí)的瞬時(shí)速度；（2）試求物體的初速度；（3）試問(wèn)物體在哪一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9 m/s.
變式1.某物體按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的單位：m)的規(guī)律做直線運(yùn)動(dòng)，求自運(yùn)動(dòng)開(kāi)始到4 s時(shí)物體運(yùn)動(dòng)的平均速度和4 s時(shí)的瞬時(shí)速度．
變式2.一只昆蟲的爬行路程s(單位：米)是關(guān)于時(shí)間t(單位：分)的函數(shù)：s＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3t2，0≤t

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1.1 平均變化率

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