知識點01基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
注：①對于根式f(x)＝eq \r(n,xm)，要先轉化為f(x)＝，所以f′(x)＝.
②區(qū)分公式的結構特征，既要從縱的方面(lnx)′與(lgax)′和(ex)′與(ax)′區(qū)分，又要從橫的方面(lgax)′與(ax)′區(qū)分及(ax)′與(xα)′區(qū)分，找出差異記憶公式．
③公式(lgax)′記不準時，可以直接用(lnx)′推導：(lgax)′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lnx,lna)))′＝eq \f(1,lna)(lnx)′＝eq \f(1,lna·x).
【即學即練1】（2024高二課堂練習）求下列函數(shù)的導數(shù)．
(1)；(2)；(3)y＝x14；(4)y＝eq \f(1,x4)；(5)y＝eq \r(5,x3)；(6)y＝(eq \f(1,3))x
(7)；(8)y＝csx；
【解析】(1)∵y＝e0＝1，∴y′＝0.
(2)y′＝－2·x－3＝－eq \f(2,x3).
(3)y′＝(x14)′＝14x13.
(4)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x4)))′＝(x－4)′＝－4x－5＝－eq \f(4,x5).
(5)y′＝(eq \r(5,x3))′＝()′＝＝eq \f(3,5\r(5,x2)) .
(6)y′＝[(eq \f(1,3))x]′＝(eq \f(1,3))x·lneq \f(1,3)＝－(eq \f(1,3))xln3.
(7)y′＝(lg3x)′＝.
(8)y′＝(csx)′＝－sinx.
【即學即練2】（2023下·高二課時練習）已知，則 .
【答案】
【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，再代入計算可得.
【詳解】因為，所以，則.
故答案為：
【即學即練3】（2023上·江蘇常州·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)在區(qū)間處的瞬時變化率為 .
【答案】3
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的求導法則得出，進而根據(jù)導數(shù)的定義代入，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，
根據(jù)導數(shù)的定義可知，
函數(shù)在區(qū)間處的瞬時變化率為.
故答案為：3.
題型一：利用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)
【方法技巧與總結】
求簡單函數(shù)的導數(shù)有兩種基本方法
(1)用導數(shù)的定義求導，但運算比較繁雜；
(2)用導數(shù)公式求導，可以簡化運算過程、降低運算難度．解題時根據(jù)所給問題的特征，將題中函數(shù)的結構進行調整，再選擇合適的求導公式．
例1.【多選】（2024高二課堂練習）下列選項正確的是( )
A．y＝ln 2，則y′＝eq \f(1,2)
B．y＝eq \f(1,x2)，則y′|x＝3＝－eq \f(2,27)
C．y＝2x，則y′＝2xln 2
D．y＝lg2x，則y′＝eq \f(1,xln 2)
【解析】對于A，y′＝0，故A錯；對于B，∵y′＝－eq \f(2,x3)，∴y′|x＝3＝－eq \f(2,27)，故B正確；
顯然C，D正確．故選BCD
變式1.（2024高二課堂練習）求下列函數(shù)的導數(shù)：
(1)y＝x0(x≠0)；
(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x；
(3)y＝lg x；
(4)y＝eq \f(x2,\r(x))；
(5)y＝2cs2eq \f(x,2)－1.
【解析】(1)y′＝0.
(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))xln eq \f(1,3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))xln 3.
(3)y′＝eq \f(1,xln 10).
(4)∵y＝eq \f(x2,\r(x))＝，
∴y′＝＝eq \f(3,2)eq \r(x).
(5)∵y＝2cs2eq \f(x,2)－1＝cs x，
∴y′＝(cs x)′＝－sin x.
題型二：利用導數(shù)公式求函數(shù)在某點處的導數(shù)
例2.（2024高二課堂練習）已知函數(shù)的導數(shù)為，則等于（ ）
A．0B．1
C．2D．4
【解析】因為，所以.故選：A
變式1.（2023·全國·高二隨堂練習）求函數(shù)在處的導數(shù)．
【答案】
【分析】根據(jù)導數(shù)求導公式計算即得.
【詳解】，
.
故函數(shù)在處的導數(shù)為.
變式2.（2024高二課堂練習）已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，則a的值等于（ ）
A．4B．－4C．5D．－5
【解析】∵，，解得a＝4.故選：A.
變式3.（2023下·廣東江門·高二?？计谥校┤?，且，則 ．
【答案】/
【分析】求導代入求解即可.
【詳解】則，又，故，解得.
故答案為：
變式4.【多選】（2024上·云南昭通·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)，且，則的值可以為（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】AB
【分析】應用基本函數(shù)求導即可.
【詳解】，則，則.
故選：AB
變式5.（2023上·江蘇鹽城·高二鹽城市第一中學?？计谥校┮阎?，且，則 .
【答案】
【分析】對給定函數(shù)求導，再求出在3處的導數(shù)值即得.
【詳解】由，求導得，則，由，求導得，
所以.
故答案為：
【方法技巧與總結】
1．速度是路程對時間的導數(shù)，加速度是速度對時間的導數(shù)．
2．求函數(shù)在某定點(點在函數(shù)曲線上)的導數(shù)的方法步驟是：(1)先求函數(shù)的導函數(shù)；(2)把對應點的橫坐標代入導函數(shù)求相應的導數(shù)值．
題型三：利用導數(shù)公式解決與曲線的切線有關的問題
例3.（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中?？计谀┣€在點處的切線的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用導數(shù)公式及導數(shù)的幾何意義，結合直線的點斜式方程即可求解.
【詳解】
所以曲線在點處的切線的斜率為，
所以曲線在點處的切線的方程是，即.
故選：A.
變式1.（2024·全國·模擬預測）已知冪函數(shù)在上單調遞減，則曲線在處的切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用冪函數(shù)定義解方程并利用單調性可得，再由導數(shù)的幾何意義即可求得結果.
【詳解】由于為冪函數(shù)，則，解得或，
又在上單調遞減，得，即，故，
則，
可得，，則，
故曲線在處的切線方程為，即，
故選：C．
變式2.（2024高二課堂練習）與直線2x－y－4＝0平行且與曲線y＝ln x相切的直線方程是________．
【解析】∵直線2x－y－4＝0的斜率為k＝2，
又∵y′＝(ln x)′＝，∴＝2，解得x＝.
∴切點的坐標為.
故切線方程為y＋ln 2＝2.
即2x－y－1－ln 2＝0.故答案為：2x－y－1－ln 2＝0
變式3.【多選】（2024上·福建福州·高二校聯(lián)考期末）曲線在點P處的切線與直線垂直，則點P的坐標可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】由題意求出切線斜率，進而設出切點P的坐標，然后對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得答案.
【詳解】易知切線斜率為，設，而，所以，則點P的坐標為或.
故選：AB.
變式4.（2023上·全國·高二期末）曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的周長為 .
【答案】/
【分析】先利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，從而求得切線與坐標軸的交點，由此得解.
【詳解】因為，所以，則，
又，所以切線方程為，即，
則切線與坐標軸的交點為，，
則所求周長為.
故答案為：.
變式5.（2024高二課堂練習）已知直線與曲線相切，則的最大值為___________.
【解析】設切點為，由求導得，
因直線與曲線相切，則，解得，則，
而切點在直線上，即，于是得，
因此，，當且僅當時取“=”，
所以當時，取最大值1.
故答案為：1
【方法技巧與總結】
求曲線方程或切線方程時的三點注意
1．切點是曲線與切線的公共點，切點坐標既滿足曲線方程也滿足切線方程；
2．曲線在切點處的導數(shù)就是切線的斜率；
3．必須明確已知點是不是切點，如果不是，應先設出切點．
一、單選題
1．（2024上·浙江舟山·高二統(tǒng)考期末）下列求導結果正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由初等函數(shù)導數(shù)公式求導.
【詳解】，A正確；
，B錯誤；
，C錯誤；
，D錯誤.
故選：A
2．（2023下·遼寧·高二東北育才學校校聯(lián)考期末）已知，則（ ）
A．B．C．D．0
【答案】D
【分析】根據(jù)常數(shù)函數(shù)的求導公式求解即可.
【詳解】由，則
故選：D
3．（2023下·四川南充·高二四川省南充高級中學?？茧A段練習）若，則（ ）
A．B．C．1D．0
【答案】D
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式可判斷.
【詳解】由，所以函數(shù)是常函數(shù)，
.
故選：D.
4．（2023下·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的導函數(shù)（ ）
A．B．C．eD．x
【答案】A
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導公式，即可求得答案.
【詳解】由可得，
故選：A
5．（2023上·高二課前預習）下列運算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函數(shù)的求導法則逐一驗算即可.
【詳解】對于A，因為，所以A錯誤；
對于B，因為，所以B錯誤；
對于C，因為，所以C錯誤；
對于D，因為，所以D正確．
故選：D.
6．（2023下·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）下列函數(shù)中，導函數(shù)錯誤的是（ ）
A．若，則
B．若，則（且）
C．若，則
D．若，則
【答案】B
【分析】利用基本函數(shù)的導數(shù)和求導法則，再逐一對各個選項分析判斷即可求出結果.
【詳解】選項A，因為，根據(jù)基本函數(shù)的導數(shù)知，，故選項A正確，不合題意；
選項B，，所以，故選項B錯誤，
選項C，，根據(jù)基本函數(shù)的求導法則知，，故選項C正確，不合題意；
選項D，，根據(jù)基本函數(shù)的導數(shù)知，，故選項D正確，不合題意；
故選：B.
7．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學校考模擬預測）若曲線上恰有三個不同的點到直線的距離為，則實數(shù)a的值為（ ）
A．-3B．C．1D．-3或1
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可設直線與直線平行，且與曲線的圖象相切于點，求導從而得出直線的斜率，進而求得直線的方程，然后結合題意可分析出直線與直線之間的距離為，求得的值，再分析驗證是否滿足題意即可.
【詳解】依題意，設直線與直線平行，且與曲線的圖象相切于點，
對于，定義域為，則，
所以有，直線的斜率，
又因為直線與直線平行，則有，解得：，
則，故點的坐標為，所以直線的方程為：，
若曲線上恰有三個不同的點到直線的距離為，
必有直線到直線的距離為，則有，解得：或，
當時，直線即為與曲線沒有交點，
曲線上只有個點到直線的距離為，不符合題意；
當時，直線即為與曲線有個交點，
曲線上恰有三個不同的點到直線的距離為，
一個點為點，剩余的兩個點則在直線的右下方，符合題意；
故.
故選：A.
8．（2023下·陜西渭南·高二?？计谥校┮阎?，，，…，，，則為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導函數(shù)分析可得，，進而可得結果.
【詳解】因為，，，
可得：，
即，，
所以.
故選：A.
二、多選題
9．（2023下·高二課時練習）下列結論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】ABC
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式計算可得.
【詳解】對于A：若，則，故A正確；
對于B：若，則，故B正確；
對于C：若，則，則C正確
對于D：當時，，故D錯誤；
故選：ABC
10．（2023下·浙江紹興·高二?？计谥校┫铝薪Y論中，正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】ACD
【分析】利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式對各函數(shù)求導即可判斷正誤.
【詳解】A：，對；
B：，錯；
C：，對；
D：，則，對.
故選：ACD
11．（2023下·黑龍江牡丹江·高二?？茧A段練習）下列函數(shù)中，其圖象在某點處的切線與直線平行的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義和常用函數(shù)的導數(shù)對選項一一分析即可.
【詳解】對于A，由，可得，無解，所以A不符合題意；
對于B，由，可得，有解，所以B符合題意；
對于C，由，可得，有解，所以C符合題意；
對于D，由，可得，有解，所以D符合題意.
故選：BCD.
12．（2023下·高二課時練習）已知曲線在點處的切線斜率為，則當時的點坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得，求出，即可求出點坐標.
【詳解】因為，所以，因為，
所以，所以，當，；當，；
則點坐標為或．
故選：BC
13．（2023下·江西·高二校聯(lián)考期中）過點且與曲線相切的直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】設過點的切線與曲線相切于點，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過點求出，即可得解.
【詳解】設過點的切線與曲線相切于點，
因為，則曲線在點處的切線斜率為，
所以切線方程為，
因為切線過點，所以，解得或，
故切線方程為或.
故選：BC.
三、填空題
14．（2023下·高二課時練習）已知函數(shù)是曲線的一條切線，則 .
【答案】/
【分析】設切點為，求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，再由切點在曲線與切線上，即可求出，從而得解.
【詳解】設切點為，∵，∴，∴，
∴切線方程為，又點在曲線上，
∴，∴，∴，∴.
故答案為：
15．（2023·四川雅安·?？寄M預測）若，則在點處的切線與坐標軸所圍成的面積為 ．
【答案】
【分析】利用導數(shù)的幾何意義及三角形面積公式計算即可.
【詳解】易知，
又，所以在處的切線方程為：，
則切線與坐標軸的交點分別為，圍成的三角形面積為.
故答案為：
16．（2023上·安徽馬鞍山·高三馬鞍山二中?？茧A段練習）若曲線在點處的切線與直線垂直，則 .
【答案】/
【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線的斜率，利用兩直線垂直時，直線的斜率之積為可求得實數(shù)的值.
【詳解】對函數(shù)求導得，則，
因為直線的斜率為，
且曲線在點處的切線與直線垂直，
則，可得，解得.
故答案為：.
17．（2023上·北京·高二北京一七一中?？茧A段練習）拋物線上的一動點到直線:距離的最小值為
【答案】
【分析】對求導可求與直線平行且與拋物線相切的直線方程，再利用兩平行線間的距離公式可得所求的最小距離．
【詳解】因為，所以，
令，得，
所以與直線平行且與拋物線相切的切點，
切線方程為，即，
由兩平行線間的距離公式可得所求的最小距離.
故答案為：.

18．（2024上·上海閔行·高二閔行中學校聯(lián)考期末）已知，是的導函數(shù).則當時，函數(shù)的值域是 .
【答案】
【分析】根據(jù)求導公式及兩角和正弦公式化簡后，根據(jù)自變量范圍求正弦函數(shù)值域即可.
【詳解】因為，所以，
，
當時，，
所以，，
故答案為：
四、解答題
19．（2023下·高二課時練習）求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8).
【答案】(1)0
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求導即可.
【詳解】（1），
.
（2）.
（3）.
（4），
.
（5），
.
（6）.
（7）.
（8）.
20．（2023上·高二課時練習）求下列函數(shù)的導數(shù)：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根據(jù)初等函數(shù)的求導公式分別計算即可求解.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）.
21．（2023·全國·高二課堂例題）求下列函數(shù)的導數(shù)：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求解；
（2）利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求解.
【詳解】（1）.
（2）.
22．（2023上·高二課時練習）設實數(shù)且，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】利用換底公式可得，再利用導數(shù)表公式即可求出結果.
【詳解】證明：先用換底公式，有，
再由對數(shù)函數(shù)的求導公式，
得到,
即，得出證明.
23．（2023·全國·高二隨堂練習）求函數(shù)在下列各點處的導數(shù)，并說明它們的幾何意義：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)，幾何意義見解析
(2)，幾何意義見解析
(3)，幾何意義見解析
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，求得，結合導數(shù)的幾何意義，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，可得，
根據(jù)導數(shù)的幾何意義知，曲線在處的切線的斜率為.
（2）解：由，可得
根據(jù)導數(shù)的幾何意義知，曲線在處的切線的斜率為.
（3）解：由，可得
根據(jù)導數(shù)的幾何意義知，曲線在處的切線的斜率為.
24．（2023·全國·高二隨堂練習）求曲線的一條與直線平行的切線的方程．
【答案】
【分析】設出切點，求導，得到方程，求出切點，寫出切線方程.
【詳解】，令切點為，故，
令，解得，
故切點為，所以切線方程為，
整理得.
故切線方程為.
25．（2023·新疆喀什·?？寄M預測）已知函數(shù).
(1)求該函數(shù)在處的切線方程；
(2)求該函數(shù)過原點的切線方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入得到切點坐標，再求導代入得出斜率，寫出切線方程即可；
（2）設切點，切線方程為，根據(jù)導數(shù)含義得， ，代入切點橫坐標得到其縱坐標為1，再代回函數(shù)解析式得到切點坐標，最后寫出切方程即可.
【詳解】（1）當時，，所以此時切點為，
由可得，
所以切線的斜率為，
則利用點斜式方程可得到，即，
（2）顯然切線斜率不存在時，不合題意，
故設切線方程為，切點，斜率，
，又因為切點在上，
，當時，，
，切線方程為，即.
課程標準
學習目標
1.能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的導數(shù)．
2．能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，求簡單函數(shù)的導數(shù)．
3．會使用導數(shù)公式表．
1.了解用定義求函數(shù)的導數(shù)．(數(shù)學運算)
2．掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，并會利用公式求簡單函數(shù)的導數(shù)．(數(shù)學運算)
3．能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式解決與曲線的切線有關的問題．(數(shù)學運算)
原函數(shù)
導函數(shù)
1
（常數(shù)的導數(shù)為0）
2
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝n·xn－1
（熟記）
3
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
4
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
5
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
6
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
7
f(x)＝lgax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
8
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)

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高中數(shù)學北師大版 (2019)選擇性必修 第二冊電子課本

3 導數(shù)的計算

版本： 北師大版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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