數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用精品隨堂練習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識(shí)點(diǎn)01三種常見(jiàn)的應(yīng)用模型
(1)零存整?。好吭露〞r(shí)收入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金，這是零存；到約定日期，可以取出全部本利和，這是整取，規(guī)定每次存入的錢(qián)不計(jì)復(fù)利(暫不考慮利息稅)．
(2)定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存：銀行有另一種儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)為定期存款自動(dòng)轉(zhuǎn)存．例如，儲(chǔ)戶(hù)某日存入一筆1年期定期存款，1年后，如果儲(chǔ)戶(hù)不取出本利和，則銀行按存款到期時(shí)的1年定期存款利率自動(dòng)辦理轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)，第2年的本金就是第1年的本利和．
(3)分期付款：分期付款是購(gòu)物的一種付款方式．即將所購(gòu)物的款數(shù)在規(guī)定的期限內(nèi)按照一定的要求，分期付清．
【即學(xué)即練1】判斷正誤(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)
(1)銀行儲(chǔ)蓄中，本金與月利率均相同，存期1年，則使用復(fù)利計(jì)算應(yīng)大于使用單利計(jì)算所得的本利和．( )
(2)某工廠(chǎng)生產(chǎn)總值連續(xù)兩年的年平均增長(zhǎng)率依次為p%，q%，則這兩年的平均增長(zhǎng)率是1+p%1+q%－1.( )
【解析】(1)√ (2)√
【即學(xué)即練2】某產(chǎn)品計(jì)劃每年成本降低q%，若三年后成本為a元，則現(xiàn)在的成本是( )
A．a(chǎn)(1＋q%)3 B．a(chǎn)(1－q%)3
C．a(chǎn)1?q%3 D．a(chǎn)1+q%3
【解析】設(shè)現(xiàn)在的成本為x元，則有x(1－q%)3＝a.∴x＝a1?q%3.故選C.
【即學(xué)即練3】李明存入5萬(wàn)元定期存款，存期1年，年利率為2.25%，那么10年后共得本息和為_(kāi)_______萬(wàn)元．(精確到0.001)
【解析】10年后的本息：a10＝5×(1＋0.022 5)10≈6.246(萬(wàn)元)．
知識(shí)點(diǎn)02常用公式
(1)復(fù)利公式：按復(fù)利計(jì)算的一種儲(chǔ)蓄，本金為P元，每期利率為r，存期為n，則本利和S＝P(1＋r)n．
(2)產(chǎn)值模型：原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為r，對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y＝N(1＋r)x．
(3)單利公式：利息按單利計(jì)算，本金為P元，每期利率為r，存期為n，則本利和為S＝P(1＋nr)．
【即學(xué)即練4】現(xiàn)存入銀行10 000元錢(qián)，年利率是3.60%，那么按照復(fù)利，第5年末的本利和是( )
A．10 000×1.0363 B．10 000×1.0364
C．10 000×1.0365 D．10 000×1.0366
【解析】由復(fù)利公式得S＝10 000×(1＋3.60%)5＝10 000×1.0365.故選C.
題型一：利用等差數(shù)列模型解題
1．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某車(chē)間全年共生產(chǎn)2250個(gè)零件，又已知1月生產(chǎn)了105個(gè)零件，每月生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)按等差數(shù)列遞增．平均每月比前一個(gè)月多生產(chǎn)多少個(gè)零件？12月生產(chǎn)多少個(gè)零件？
【答案】平均每月比前一個(gè)月多生產(chǎn)個(gè)零件，月生產(chǎn)個(gè)零件
【分析】設(shè)每個(gè)月生產(chǎn)的零件數(shù)成等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，且，，設(shè)公差為（），根據(jù)等差數(shù)列求和公式求出，再計(jì)算出即可.
【詳解】設(shè)每個(gè)月生產(chǎn)的零件數(shù)成等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，且，，
設(shè)公差為（），則，
即，解得，
所以，
即平均每月比前一個(gè)月多生產(chǎn)個(gè)零件，月生產(chǎn)個(gè)零件.
2．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考期中）哈雷彗星是唯一能用裸眼直接看見(jiàn)的短周期彗星，其繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期為76年，曾于1606年回到近日點(diǎn)，奧伯斯彗星的繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期為70年，也曾于1606年回到近日點(diǎn)，則哈雷彗星與奧伯斯彗星下次同年回到近日點(diǎn)的年份為（）
A．3916年B．4190年C．4266年D．4570年
【答案】C
【分析】哈雷彗星與奧伯斯彗星回到近日點(diǎn)的年份分別成等差數(shù)列，首項(xiàng)都是，根據(jù)間隔求出公共項(xiàng)即可得到結(jié)果.
【詳解】哈雷彗星回到近日點(diǎn)的年份為，奧伯斯彗星回到近日點(diǎn)的年份為，
則與公共項(xiàng)構(gòu)成以1606為首項(xiàng)，70與76的最小公倍數(shù)為公差的等差數(shù)列，又70與 76 的最小公倍數(shù)為2660，則哈雷彗星與奧伯斯彗星同年回到近日點(diǎn)的年份為.令，則.
故選：C.
3．（2023下·高二單元測(cè)試）用分期付款的方式購(gòu)買(mǎi)家用電器需11500元，購(gòu)買(mǎi)當(dāng)天先付1500元，以后每月交付500元，并加付利息，月利率為0.5%，若從交付1500元后的第1個(gè)月開(kāi)始算分期付款的第1個(gè)月，問(wèn)：
(1)分期付款的第10個(gè)月應(yīng)交付多少錢(qián)？
(2)全部貸款付清后，買(mǎi)家用電器實(shí)際花了多少錢(qián)？
【答案】(1)527.5元；
(2)12025元.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，構(gòu)建數(shù)列，計(jì)算前3項(xiàng)，得出規(guī)律并計(jì)算第10項(xiàng)即可.
（2）利用（1）的信息求出數(shù)列的通項(xiàng)，再求出項(xiàng)數(shù)及總和即得.
【詳解】（1）設(shè)每月付款依次構(gòu)成數(shù)列，，
則，，
，…，
顯然，，
故第10個(gè)月應(yīng)交付527.5元．
（2）由（1）可得，
則為等差數(shù)列，且，數(shù)列前20項(xiàng)的和為，
所以，
所以買(mǎi)家用電器實(shí)際花了12025元．
4．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬(wàn)噸，其中14萬(wàn)噸垃圾以填埋方式處理，6萬(wàn)噸垃圾以環(huán)保方式處理．預(yù)計(jì)每年生活垃圾的總量遞增5%，同時(shí)，通過(guò)環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬(wàn)噸．為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請(qǐng)寫(xiě)出從今年起n年內(nèi)通過(guò)填埋方式處理的垃圾總量的計(jì)算公式，并計(jì)算從今年起5年內(nèi)通過(guò)填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬(wàn)噸）．
【答案】，63.5萬(wàn)噸．
【分析】由題意可知，每年生活垃圾的總量構(gòu)成等比數(shù)列，而每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構(gòu)成等差數(shù)列．因此，可以利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】設(shè)從今年起每年生活垃圾的總量（單位：萬(wàn)噸）構(gòu)成數(shù)列，
每年以環(huán)保方式處理的垃圾量（單位：萬(wàn)噸）構(gòu)成數(shù)列，n年內(nèi)通過(guò)填埋方式處理的垃圾總量為（單位：萬(wàn)噸），
則，，
．
當(dāng)時(shí)，．
所以，從今年起5年內(nèi)，通過(guò)填埋方式處理的垃圾總量約為63.5萬(wàn)噸．
5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）公民在就業(yè)的第一年就繳納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，以后每年繳納的數(shù)目均比上一年增加，歷年所繳納的儲(chǔ)備金數(shù)目，，…是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列．與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利．如果固定年利率為，那么，在第n年末，第一年所繳納的儲(chǔ)備金就變?yōu)椋诙晁U納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?，…．以表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額，證明：，其中是一個(gè)等比數(shù)列，是一個(gè)等差數(shù)列．
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】首先根據(jù)題意寫(xiě)出與得遞推關(guān)系式，利用錯(cuò)位相減求和得方法，求出的表達(dá)式，即可證明出結(jié)論.
【詳解】
證明：根據(jù)題意可得，
，對(duì)反復(fù)使用上述關(guān)系式，得
①．
在①式等導(dǎo)兩端同乘，得
②．
②－①，得
，
即．
如果記，，
則．
其中是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．
【方法技巧與總結(jié)】
在計(jì)算利息時(shí)，每次存入的錢(qián)不計(jì)復(fù)利，即對(duì)應(yīng)等差數(shù)列模型．
題型二：利用等比數(shù)列模型解題
6．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某超市去年的銷(xiāo)售額為a萬(wàn)元，計(jì)劃在今后10年內(nèi)每年比上一年增加10%．從今年起10年內(nèi)這家超市的總銷(xiāo)售額為（）萬(wàn)元．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，后10年每年的銷(xiāo)售額成等比數(shù)列，公比為1.1，首項(xiàng)為，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.
【詳解】設(shè)今后10年每年的銷(xiāo)售額為，
因?yàn)槌腥ツ甑匿N(xiāo)售額為a萬(wàn)元，計(jì)劃在今后10年內(nèi)每年比上一年增加.
所以今年的銷(xiāo)售額為，今后第年與第年的關(guān)系為，
所以今后10年每年的銷(xiāo)售額構(gòu)成等比數(shù)列，
公比為1.1，首項(xiàng)為.
所以今年起10年內(nèi)這家超市的總銷(xiāo)售額為
故從今年起10年內(nèi)這家超市的總銷(xiāo)售額為萬(wàn)元.
故選：D
7．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）小峰年元旦在銀行存款萬(wàn)元，辦理一年定期儲(chǔ)蓄，年利率為，以后按約定自動(dòng)轉(zhuǎn)存．請(qǐng)計(jì)算小峰到年元旦得到的本利和．（精確到元）
【答案】元
【分析】建立等比數(shù)列模型計(jì)算求解即可.
【詳解】記年后得到的本利和為，根據(jù)題意知，
即數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
∴小峰年元旦在銀行存款萬(wàn)元，年元旦即年后得到的本利和為：
元.
8．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）某廠(chǎng)去年的產(chǎn)值記為.若計(jì)劃在今后五年內(nèi)每年的產(chǎn)值比上年增長(zhǎng)，則從今年起到第五年這五年內(nèi)，這個(gè)廠(chǎng)的總值約為．（保留一位小數(shù)，?。?br>【答案】
【分析】設(shè)第年的產(chǎn)值為，則，且，利用等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.
【詳解】由題意可知，第一年要比上年增長(zhǎng)，
設(shè)第年的產(chǎn)值為，則，且，
所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，從今年起到第五年這五年內(nèi)，這個(gè)廠(chǎng)的總值為.
故答案為：.
9．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）小王想用分期付款的方式購(gòu)買(mǎi)一套價(jià)值90萬(wàn)元的商品房.首付40萬(wàn)元，貸款期限為20年，銀行住房貸款的年利率為，按復(fù)利計(jì)息，如果小王按年還款，每年還款的數(shù)額相同，那么每年需要還款多少元？小王為購(gòu)買(mǎi)此房共要付房款多少元？（精確到0.01元）
【答案】每年需要還款元，小王為購(gòu)買(mǎi)此房要付款元
【分析】利用復(fù)利的定義，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式列式即可得解.
【詳解】依題意，得（萬(wàn)元），萬(wàn)元元，萬(wàn)元元
而元，
所以小王為購(gòu)買(mǎi)此房要付款元，
假設(shè)小王每年需要還款元，則小王20年后一共還款
，
所以，解得，
所以小王每年需要還款元.
10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）據(jù)報(bào)道，我國(guó)森林覆蓋率逐年提高，某林場(chǎng)去年底森林木材儲(chǔ)存量為立方米，若樹(shù)林以每年25％的增長(zhǎng)率生長(zhǎng)，計(jì)劃從今年起，每年冬天要砍伐的木材量為立方米，為了實(shí)現(xiàn)經(jīng)過(guò)20年木材儲(chǔ)存量翻兩番的目標(biāo)，問(wèn)：每年砍伐的木材量的最大值是多少？（附：）
【答案】
【分析】根據(jù)題意可得到每年年底的木材儲(chǔ)存量與上一年的木材儲(chǔ)存量之間的遞推關(guān)系式，由此構(gòu)造等比數(shù)列，求得的通項(xiàng)，由題意列出不等式，可解得答案.
【詳解】設(shè)從今年起的每年年底木材儲(chǔ)存量組成的數(shù)列為，
所以，當(dāng)時(shí)，，即，
又，
∴是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，
即，
根據(jù)題意，即，
設(shè) ，則，
則，即，代入上式整理得．
故每年砍伐的木材量的最大值是．
11．（2023上·江蘇蘇州·高二吳江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）習(xí)主席說(shuō)：“綠水青山就是金山銀山”．某地響應(yīng)號(hào)召，投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，2021年投入1000萬(wàn)元，以后每年投入將比上一年減少，當(dāng)?shù)?021年度旅游業(yè)收入約為500萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上一年增加．
(1)設(shè)年內(nèi)（2021年為第一年）總投入為萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為萬(wàn)元，寫(xiě)出，的表達(dá)式；
(2)至少到哪一年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入．
（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】(1)，
(2)至少到2025年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入
【分析】（1）根據(jù)題意可知每年投入資金和旅游業(yè)收入是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解；
（2）根據(jù)（1）中解析式列出不等式，令，化簡(jiǎn)不等式即可求解.
【詳解】（1）2021年投入為1000萬(wàn)元，第年投入為萬(wàn)元，
所以年內(nèi)的總投入為
，
2021年收入為500萬(wàn)元，第2年收入為萬(wàn)元，第年收入為萬(wàn)元
所以年內(nèi)的總收入為．
（2）設(shè)至少經(jīng)過(guò)年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入，由此，
即，化簡(jiǎn)得，
設(shè)，代入上式并整理得，
解此不等式，得或（舍去）．即，
不等式兩邊取常用對(duì)數(shù)可得，即
所以，故至少到2025年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入.
12．（2023上·上海楊浦·高二復(fù)旦附中校考階段練習(xí)）銀行按規(guī)定每經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間結(jié)算存（貸）款的利息一次，結(jié)算后將利息并入本金，這種計(jì)算利息的方法叫做復(fù)利.現(xiàn)用10000元購(gòu)買(mǎi)某個(gè)理財(cái)產(chǎn)品一年.
(1)若以月利率的復(fù)利計(jì)息，12個(gè)月能獲得多少利息（精確到1元）？
(2)若以季度復(fù)利計(jì)息，存4個(gè)季度，則當(dāng)每季度利率至少為多少時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息（精確到）？
參考數(shù)據(jù)：
【答案】(1)元
(2)當(dāng)每季度利率至少為時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的知識(shí)求得正確答案.
（2）根據(jù)已知條件列不等式，由此求得正確答案.
【詳解】（1）個(gè)月后，本息和為，
個(gè)月后，本息和為，
以此類(lèi)推，個(gè)月后，本息和為，
所以個(gè)月能獲得利息元.
（2）設(shè)按季結(jié)算的利率為，
個(gè)季度后，本息和為，
個(gè)季度后，本息和為，
以此類(lèi)推，個(gè)季度后，本息和為，
所以個(gè)季度能獲得利息，
由，
得，即，
所以.
所以當(dāng)每季度利率至少為時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息.
13．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）李先生為今年上高中的兒子辦理了“教育儲(chǔ)蓄”從8月1號(hào)開(kāi)始，每個(gè)月的1日都存人1000元，共存入3年.
(1)已知當(dāng)年“教育儲(chǔ)蓄”存款的月利率為2.7‰，則3年后李先生一次可支取本息共多少元？
(2)已知當(dāng)年同檔次的“零存整取”儲(chǔ)蓄的月利率是1.725‰，則李先生辦理“教育儲(chǔ)蓄”比“零存整取”多收益多少元？
【答案】(1)元
(2)元
【分析】（1）根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的求和公式，求得獲得的利息，進(jìn)而求得本息和；
（2）根據(jù)題意，求得3年后獲得利息，進(jìn)而得到辦理“教育儲(chǔ)蓄”比“零存整取”多收益.
【詳解】（1）解：每1000元“教育儲(chǔ)蓄”存一個(gè)月能得到的利息是元，
第1個(gè)1000元存36個(gè)月，得利息元；
第2個(gè)1000元存35個(gè)月，得利息元；
…………
第36個(gè)1000元存1個(gè)月，得利息元.
因此，3年后李先生獲得利息
元.
所以本息和為元.
（2）解：每1000元“零存整取”存一個(gè)月能得到的利息是元，
因此，若是“零存整取”，3年后李先生獲得利息
元，
因此，李先生多收益元，
即李先生辦理“教育儲(chǔ)蓄”比“零存整取”多收益元.
14．（2023上·江蘇無(wú)錫·高二無(wú)錫市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某公司2022年投資4千萬(wàn)元用于新產(chǎn)品的研發(fā)與生產(chǎn)，計(jì)劃從2023年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資1千萬(wàn)元用于新產(chǎn)品的維護(hù)與生產(chǎn)，2022年新產(chǎn)品帶來(lái)的收入為0.5千萬(wàn)元，并預(yù)測(cè)在相當(dāng)長(zhǎng)的年份里新產(chǎn)品帶來(lái)的收入均在上年度收入的基礎(chǔ)上增長(zhǎng).記2022年為第1年，為第1年至此后第年的累計(jì)利潤(rùn)（注：含第年，累計(jì)利潤(rùn)累計(jì)收入累計(jì)投入，單位：千萬(wàn)元），且當(dāng)為正值時(shí)，認(rèn)為新產(chǎn)品贏(yíng)利.（參考數(shù)據(jù)，，，）
(1)試求的表達(dá)式；
(2)根據(jù)預(yù)測(cè)，該新產(chǎn)品將從哪一年開(kāi)始并持續(xù)贏(yíng)利？請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)該新產(chǎn)品將從2030年開(kāi)始并持續(xù)贏(yíng)利，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）由題意求出累計(jì)投入，可判斷出每年的收入為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解出累計(jì)收入，從而表示出；
（2）由（1）可得，根據(jù)的正負(fù)判斷出的單調(diào)性，再根據(jù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）由題意知，第1年至此后第年的累計(jì)投入為（千萬(wàn)元），
設(shè)第年的收入為，前年的累計(jì)收入為，
由題意得，，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)、以為公比的一個(gè)等比數(shù)列，
則有（千萬(wàn)元），
（千萬(wàn)元），
所以，即（千萬(wàn)元）.
所以的表達(dá)式為；
（2）因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，
又，，，
所以該新產(chǎn)品將從第9年開(kāi)始并持續(xù)贏(yíng)利.
所以該新產(chǎn)品將從2030年開(kāi)始并持續(xù)贏(yíng)利.
15．（2023上·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）教育儲(chǔ)蓄是指?jìng)€(gè)人按國(guó)家有關(guān)規(guī)定在指定銀行開(kāi)戶(hù)、存入規(guī)定數(shù)額資金、用于教育目的的專(zhuān)項(xiàng)儲(chǔ)蓄，是一種專(zhuān)門(mén)為學(xué)生支付非義務(wù)教育所需教育金的專(zhuān)項(xiàng)儲(chǔ)蓄，儲(chǔ)蓄存款享受免征利息稅的政策.若你的父母在你12歲生日當(dāng)天向你的銀行教育儲(chǔ)蓄賬戶(hù)存入2000元，并且每年在你生日當(dāng)天存入2000元，連續(xù)存6年，在你十八歲生日當(dāng)天一次性取出，假設(shè)教育儲(chǔ)蓄存款的年利率為10%.
(1)在你十八歲生日當(dāng)天時(shí)，一次性取出的金額總數(shù)為多少？（參考數(shù)據(jù)：）
(2)高考畢業(yè)，為了增加自己的教育儲(chǔ)蓄，你利用暑假到一家商場(chǎng)勤工儉學(xué)，該商場(chǎng)向你提供了三種付酬方案：
第一種，每天支付38元；
第二種，第1天付4元，從第2天起，每一天比前一天都多付4元；
第三種，第1天付0.4元，以后每一天比前一天翻一番（即增加1倍）.
你會(huì)選擇哪種方式領(lǐng)取報(bào)酬？
【答案】(1)17000元
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解，
（2）由等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式分別求解，再由作差法比較大?。?br>【詳解】（1），
∴在十八歲生日當(dāng)天時(shí)，一次性取出的金額總數(shù)為17000元.
（2）設(shè)到商場(chǎng)勤工儉學(xué)的天數(shù)為，則第一種方案領(lǐng)取的報(bào)酬為；
第二種方案每天報(bào)酬與天數(shù)成首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得：
領(lǐng)取的報(bào)酬為；
第三種方案每天報(bào)酬與天數(shù)成首項(xiàng)為0.4，公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得：
領(lǐng)取的報(bào)酬為.，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
令，
則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞減，則；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，即.
∵，則，又∵，，故當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即.
令，其中，
則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，則，則，
∴當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，則，即，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，，應(yīng)選第一種方案；
當(dāng)時(shí)，，應(yīng)選第三種方案.
【方法技巧與總結(jié)】
復(fù)利問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題，第n年的本息＝本金×(1＋利率)n.
題型三：分期付款問(wèn)題
16．（2023下·遼寧大連·高二統(tǒng)考期末）剛考入大學(xué)的小明準(zhǔn)備向銀行貸款元購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)筆記本電腦，然后上學(xué)的時(shí)通過(guò)勤工儉學(xué)來(lái)分期還款．小明與銀行約定：每個(gè)月還一次款，分10次還清所有的欠款，且每個(gè)月還款的錢(qián)數(shù)都相等，貸款的月利率為．則小明每個(gè)月所要還款的錢(qián)數(shù)為（）元．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】表示出第10個(gè)月末所欠銀行貸款數(shù)，因?yàn)榉?0次還清所有的欠款，故得到方程，求出答案．
【詳解】設(shè)小明每個(gè)月所要還款的錢(qián)數(shù)為元，根據(jù)等額本息還款法可得，
第一個(gè)月末所欠銀行貸款為：，
第二個(gè)月末所欠銀行貸款為：,，
……，
第10個(gè)月末所欠銀行貸款為：
由于分10次還清所有的欠款，故，解得，
故選：D．
17．（2017上·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考期中）小李年初向銀行貸款萬(wàn)元用于購(gòu)房，購(gòu)房貸款的年利率為，按復(fù)利計(jì)算，并從借款后次年年初開(kāi)始?xì)w還，分次等額還清，每年次，問(wèn)每年應(yīng)還（）萬(wàn)元.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)出每年應(yīng)還款的數(shù)額，分別求出10年還款的現(xiàn)金與利息和以及銀行貸款10年后的本利和，列等式后求得每年應(yīng)還款數(shù)．
【詳解】設(shè)每年應(yīng)還萬(wàn)元，則有，
得，
解得．
故選：B．
18．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）小楊年向銀行貸款萬(wàn)元用于購(gòu)房，銀行住房貸款的年利率為，并按復(fù)利計(jì)息若雙方協(xié)議自年元月起生效，每年年底還銀行相同金額的貸款，到年年底全部還清（即用年時(shí)間等額還款）．則小楊每年年底還銀行貸款的金額是多少元？（精確到元）
【答案】元
【分析】以每年年底還款后的本利欠款數(shù)構(gòu)造數(shù)列，令求解即可.
【詳解】設(shè)小楊每年年底還銀行貸款的金額為元，第年年底還款后的本利欠款數(shù)為，
則，

，

，

，
……

∵年后，到年年底全部還清，∴，
∴，
∴（元）
∴小楊每年年底還銀行貸款的金額為元.
19．（2023下·湖北·高二校聯(lián)考期中）王先生今年初向銀行申請(qǐng)個(gè)人住房貸款100萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)住房，按復(fù)利計(jì)算，并從貸款后的次月初開(kāi)始還貸，分10年還清.銀行給王先生提供了兩種還貸方式：①等額本金：在還款期內(nèi)把本金總額等分，每月償還同等數(shù)額的本金和剩余本金在該月所產(chǎn)生的利息；②等額本息：在還款期內(nèi)，每月償還同等數(shù)額的貸款（包括本金和利息）.
(1)若王先生采取等額本金的還貸方式，已知第一個(gè)還貸月應(yīng)還15000元，最后一個(gè)還貸月應(yīng)還6500元，試計(jì)算王先生該筆貸款的總利息；
(2)若王先生采取等額本息的還貸方式，貸款月利率為，.銀行規(guī)定每月還貸額不得超過(guò)家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入為23000元，試判斷王先生該筆貸款能否獲批.（不考慮其他因素）參考數(shù)據(jù)，，
【答案】(1)290000元
(2)王先生該筆貸款能夠獲批
【分析】（1）由題意，每月的還貸額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，對(duì)數(shù)列求和可得所求利息；
（2）利用等比數(shù)列求和公式，求得王先生每月還貨額，與題目所給數(shù)據(jù)比較，得結(jié)論.
【詳解】（1）由題可知，等額本金還貨方式中，每月的還貸額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，表示數(shù)列的前項(xiàng)和.
則，故.
故王先生該筆貸款的總利息為：1290000-1000000=290000元.
（2）設(shè)王先生每月還貨額為元，則有
，
即，
故.
因?yàn)?，故王先生該筆貸款能夠獲批.
20．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）王老師在手機(jī)店買(mǎi)了一部手機(jī)，價(jià)值元．雙方協(xié)商，按分期付款方式，以月利率為，每月以復(fù)利計(jì)息還款，王老師從拿到手機(jī)后第二個(gè)月開(kāi)始等額還款，分個(gè)月還清，試問(wèn)每月應(yīng)還款多少元？,
【答案】元
【分析】法一：根據(jù)已知條件設(shè)每月還款元，列出每月還款后還剩下的欠款元的通項(xiàng)公式，由計(jì)算值；
法二：將元以相同的條件存儲(chǔ)個(gè)月，計(jì)算它的本利和，設(shè)每個(gè)月還款元，分個(gè)月還清，計(jì)算到還清時(shí)其本利和，根據(jù)兩者相等列出方程求值.
【詳解】[解析] 法一：設(shè)每個(gè)月還款元，第1個(gè)月后欠款為元，以后第個(gè)月還款元后，
還剩下欠款元，
則，，
，
…
由題意，可知，即，
所以因?yàn)樗裕?br>故每月應(yīng)還款元．
法二：一方面，將元以相同的條件存儲(chǔ)個(gè)月，則它的本利和為
（元）.
另一方面，設(shè)每個(gè)月還款元，分個(gè)月還清，到還清時(shí)，其本利和為
元.
由，得.
以下解法同方法一，得，故每月應(yīng)還款元．
21．（2022上·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）沈陽(yáng)京東MALL于2022年國(guó)慶節(jié)盛大開(kāi)業(yè)，商場(chǎng)為了滿(mǎn)足廣大數(shù)碼狂熱愛(ài)好者的需求，開(kāi)展商品分期付款活動(dòng).現(xiàn)計(jì)劃某商品一次性付款的金額為 a 元，以分期付款的形式等額分成 n 次付清，每期期末所付款是 x 元，每期利率為 r ，則愛(ài)好者每期需要付款．
【答案】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式即得.
【詳解】由題意得，
，
.
故答案為：.
22．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）“現(xiàn)值”與“終值”是利息計(jì)算中的兩個(gè)基本概念，掌握好這兩個(gè)概念，對(duì)于順利解決有關(guān)金融中的數(shù)學(xué)問(wèn)題以及理解各種不同的算法都是十分有益的.所謂“現(xiàn)值”是指在期末的金額，把它扣除利息后，折合成現(xiàn)時(shí)的值，而“終值”是指期后的本利和.它們計(jì)算的基點(diǎn)分別是存期的起點(diǎn)和終點(diǎn).例如，在復(fù)利計(jì)息的情況下，設(shè)本金為，每期利率為，期數(shù)為，到期末的本利和為，則其中，稱(chēng)為期末的終值，稱(chēng)為期后終值的現(xiàn)值，即期后的元現(xiàn)在的價(jià)值為.
現(xiàn)有如下問(wèn)題：小明想買(mǎi)一座公寓有如下兩個(gè)方案
方案一：一次性付全款25萬(wàn)元；
方案二：分期付款，每年初付款3萬(wàn)元，第十年年初付完；
(1)已知一年期存款的年利率為，試討論兩種方案哪一種更好？
(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交納租金2萬(wàn)元，此后每年初漲租金1000元，參照第（1））問(wèn)中的存款年利率，預(yù)計(jì)第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值.（精確到百元）
參考數(shù)據(jù)：
【答案】(1)購(gòu)置設(shè)備的方案較好
(2)（萬(wàn)元）
【分析】（1）解法1（從終值來(lái)考慮），分別求出若全款購(gòu)置，則25萬(wàn)元10年后的價(jià)值和若分期付款，每年初所付金額3萬(wàn)元，10年后的總價(jià)值，兩者比較即可得出答案.
解法2（從現(xiàn)值來(lái)考慮）每年初付租金3萬(wàn)元的10年現(xiàn)值之和與購(gòu)置一次付款25萬(wàn)元相比，即可得出答案.
（2）設(shè)小明第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值為萬(wàn)元，，由錯(cuò)位相減法即可求出.
【詳解】（1）解法1（從終值來(lái)考慮）若全款購(gòu)置，則25萬(wàn)元10年后的價(jià)值
萬(wàn)元
若分期付款，每年初所付金額3萬(wàn)元，10年后的總價(jià)值為
（萬(wàn)元）.
因此，付全款較好.
解法2（從現(xiàn)值來(lái)考慮）每年初付租金3萬(wàn)元的10年現(xiàn)值之和為
（萬(wàn)元）
比購(gòu)置一次付款25萬(wàn)元多，故購(gòu)置設(shè)備的方案較好.
（2）由題意，設(shè)小明第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值為萬(wàn)元，
記，則
作差可得：
（萬(wàn)元）.
23．（2023上·山東濟(jì)南·高三山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“現(xiàn)值”與“終值”是利息計(jì)算中的兩個(gè)基本概念，終值是現(xiàn)在的一筆錢(qián)按給定的利息率計(jì)算所得到的在未來(lái)某個(gè)時(shí)間點(diǎn)的價(jià)值?，F(xiàn)值是未來(lái)的一筆錢(qián)按給定的利息率計(jì)算所得到的現(xiàn)在的價(jià)值。例如，在復(fù)利計(jì)息的情況下，設(shè)本金為A，每期利率為r，期數(shù)為n，到期末的本利和為S，則其中，S稱(chēng)為n期末的終值，A稱(chēng)為n期后終值S的現(xiàn)值，即n期后的S元現(xiàn)在的價(jià)值為．現(xiàn)有如下問(wèn)題：小明想買(mǎi)一套房子有如下兩個(gè)方案
方案一：一次性付全款50萬(wàn)元；
方案二：分期付款，每年初付款6萬(wàn)元，第十年年初付完；
(1)已知一年期存款的年利率為4%，試討論兩種方案哪一種更好？
(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交納租金2萬(wàn)元，此后每年初漲租金1000元，假設(shè)存款的年利率為4%，預(yù)計(jì)第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值．（精確到百元）．參考數(shù)據(jù)：
．
【答案】(1)方案一更好.
(2)27.88萬(wàn)元
【分析】（1）從終值來(lái)考慮，分別求出全款購(gòu)置和分期付款的總價(jià)值，兩者比較即可得出答案．
（2）給出小明第十年房租到期后所獲得全部租金的終值的表達(dá)式，運(yùn)用錯(cuò)位相減法即可得出答案．
【詳解】（1）若分期付款，十年后終值(萬(wàn)元).
若全款50萬(wàn)，十年后終值
所以方案一更好.
（2）十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值
記
則
所以
兩式相減得
所以(萬(wàn)元).
24．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）國(guó)家助學(xué)貸款由國(guó)家指定的商業(yè)銀行面向在校全日制高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)困難的學(xué)生發(fā)放，用于幫助他們支付在校期間的學(xué)習(xí)和日常生活費(fèi)．
如果一名入校新生計(jì)劃采用國(guó)家助學(xué)貸款的方式年內(nèi)每年貸款元．請(qǐng)收集有關(guān)資料，解決以下問(wèn)題：
(1)畢業(yè)前還清，求還款總額．
(2)如果該生在畢業(yè)后的第年還清貸款，對(duì)于等額本金法和等額本息法兩種還款形式，求在下列條件下各還款多少元．
①畢業(yè)后即開(kāi)始償還本息；
②寬限期結(jié)束后開(kāi)始償還本息；
③該生畢業(yè)后的第年希望提前將剩余的欠款還清．
【答案】(1)元
(2)①等額本金法：元；等額本息法：元；②兩種還法均需還元；③等額本金法：元；等額本息法：元.
【分析】（1）根據(jù)國(guó)家助學(xué)貸款計(jì)息日期可確定只需還本金，由此可得結(jié)果；
（2）根據(jù)等額本金法和等額本息法的計(jì)息原則，結(jié)合等差等比數(shù)列通項(xiàng)公式，按照規(guī)定還款條件依次計(jì)算即可.
【詳解】（1）國(guó)家助學(xué)貸款從畢業(yè)后當(dāng)年的月日開(kāi)始計(jì)算利息，
畢業(yè)前還清，沒(méi)有利息，還款總額為元.
（2）國(guó)家助學(xué)貸款的年利率為，該生在畢業(yè)后的第年還清貸款；
①若采用等額本金法：每年還款本金為元，
則第年還款利息為：元；
還款總額為：元；
若采用等額本息法：設(shè)每年還款金額為元，第年還款后還欠元，
則當(dāng)且時(shí)，，，
又，，
，又，
，解得：，
還款總額為：元；
②助學(xué)貸款還款寬限期為年，前年每年只還利息，利息為元；
第年，本金加利息為元；
等額本金法和等額本息法的還款總額均為：元；
③若采用等額本金法：由①知：第年還款利息為：元；
前年，共還利息元；
第年剩余的欠款利息為：元，
還款總額為：元；
若采用等額本息法：由①知：第年后還款還欠元，
第年將剩余的欠款還清需還：元，
還款總額為：元.
【方法技巧與總結(jié)】
分期付款的相關(guān)規(guī)定：(1)分期付款中，每期的利息均按復(fù)利計(jì)算，分期付款中規(guī)定每期所付款額相同；(2)各期所付款額連同到最后一次付款時(shí)所產(chǎn)生的利息之和等于商品售價(jià)及從購(gòu)買(mǎi)到最后一次付款時(shí)的利息之和(此為列方程的依據(jù))；(3)每期付款增值后的款數(shù)及售價(jià)增值后的款數(shù)均按S＝P(1＋r)n來(lái)計(jì)算，其中P代表本金(可以是每期付款額x，也可以是商品售價(jià))，n代表存期(月數(shù)或年數(shù))，r代表利率，S代表本利和．
題型四：其他模型
25．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某地區(qū)2020年底有居民住房面積為a，現(xiàn)在居民住房劃分為三類(lèi)，其中危舊住房占，新型住房占．為加快住房建設(shè)，計(jì)劃用10年的時(shí)間全部拆除危舊住房（每年拆除的數(shù)量相同），自2021年起居民住房只建設(shè)新型住房．從2021年開(kāi)始每年年底的新型住房面積都比上一年底增加，用表示第n年底（2021年為第一年）該地區(qū)的居民住房總面積．
(1)分別寫(xiě)出，，的計(jì)算公式并歸納出的計(jì)算公式（不必證明）．
(2)危舊住房全部拆除后，至少再過(guò)多少年才能使該地區(qū)居民住房總面積翻兩番？（精確到年，，，）
【答案】(1)，，詳見(jiàn)解析，
(2)年
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，，的計(jì)算公式，進(jìn)而歸納出的計(jì)算公式.
（2）由，解不等式求得需要的時(shí)間.
【詳解】（1）其他形式住房，
每年拆除危舊住房面積為，
則，
，
．
一般地，，
，
則．
（2）當(dāng)時(shí)，令，
即，兩邊取常用對(duì)數(shù)得，
即，
故取，即至少再過(guò)年才能是居民住房總面積翻兩番.
26．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某地區(qū)森林原有木材存量為a，且每年的增長(zhǎng)率為25％，因生產(chǎn)建設(shè)需要，每年年底要砍伐的木材量為b，設(shè)為n年后該地區(qū)森林木材的存量．
(1)求的表達(dá)式．
(2)為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材存量不少于，如果，那么該地區(qū)今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎？若會(huì)，需要經(jīng)過(guò)幾年？（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)
(2)8年
【分析】（1）由題意寫(xiě)出各年的木材存量，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)，即可得.
（2）由題意，結(jié)合已知及指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)解不等式，即可得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)第一年的森林的木材存量為，第n年后的森林的木材存量為，
則，，，…
．
（2）當(dāng)時(shí)，有，得，即，
∴，n為正整數(shù)，故.
答：經(jīng)過(guò)8年該地區(qū)開(kāi)始水土流失．
27．（2023上·海南省直轄縣級(jí)單位·高二?？茧A段練習(xí)）某新能源汽車(chē)購(gòu)車(chē)費(fèi)用為14.4萬(wàn)元，每年應(yīng)交付保險(xiǎn)費(fèi)、充電費(fèi)用共0.9萬(wàn)元，汽車(chē)的保養(yǎng)維修費(fèi)如下：第一年0.2萬(wàn)元，第二年0.4萬(wàn)元，第三年0.6萬(wàn)元，…，依等差數(shù)列逐年遞增.
(1)設(shè)使用n年該車(chē)的總費(fèi)用（包括購(gòu)車(chē)費(fèi)用）為，寫(xiě)出的表達(dá)式；
(2)問(wèn)這種新能源汽車(chē)使用多少年報(bào)廢最合算（即該車(chē)使用多少年的年平均費(fèi)用最少）？年平均費(fèi)用的最小值是多少？
【答案】(1)；
(2)12年，萬(wàn)元.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可得到的表達(dá)式.
（2）由（1）的結(jié)論，求出使用n年平均費(fèi)用表達(dá)式，再利用基本不等式，求解即得.
【詳解】（1）依題意，汽車(chē)每年的保養(yǎng)維修費(fèi)構(gòu)成以0.2為首項(xiàng)，0.2為公差的等差數(shù)列，
所以
，.
（2）設(shè)該車(chē)的年平均費(fèi)用為S萬(wàn)元，
，
則有僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以汽車(chē)使用12年報(bào)廢最合算，年平均費(fèi)用的最小值是萬(wàn)元.
28．（2022上·高二單元測(cè)試）某地牧場(chǎng)牧草深受病害困擾，某科研團(tuán)隊(duì)研制了治療牧草病害的新藥，為探究新藥的效果，進(jìn)行了如下的噴灑試驗(yàn)：隔離選取平方米牧草，在第一次噴藥前測(cè)得其中平方米為正常牧草，平方米為受害牧草，每三天給受害牧草噴藥一次．試驗(yàn)的結(jié)論為：每次噴藥前的受害牧草有的面積會(huì)在下一次噴藥前變?yōu)檎Ｄ敛荩看螄娝幥暗恼Ｄ敛萦械拿娣e會(huì)在下一次噴藥前被感染為受害牧草．假設(shè)試驗(yàn)過(guò)程牧草的總面積不變，記第次噴藥前正常牧草的面積為平方米．
(1)求使得成立的的最大整數(shù)值；
(2)證明：在?。?）中最大整數(shù)值的情況下，如果試驗(yàn)一直持續(xù)，正常牧草的面積不可能超過(guò)920平方米．
【答案】(1)使得成立的的最大整數(shù)值為
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由題意先求出遞推公式，從而求出，然后解不等式即可；
（2）由（1）得到遞推公式，然后通過(guò)構(gòu)造新數(shù)列法求出，證明即可.
【詳解】（1）由題意，在第一次噴藥前，正常牧草面積平方米．
每一次噴藥后，正常牧草面積與噴藥前正常牧草面積的關(guān)系為，
①.
所以．
要使得成立，即要使得成立，解得．
所以，使得成立的的最大整數(shù)值為．
（2）證明：由題設(shè)得，代入①式可得
②.
用待定系數(shù)法，設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足
③.
將③-②可得，．
則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為：
．
解得，又因?yàn)椋?br>故．
又因?yàn)椋?br>所以，
即無(wú)論取多少，正常牧草的面積不可能超過(guò)920平方米．
29．（2023下·新疆烏魯木齊·高二兵團(tuán)二中校考階段練習(xí)）已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為a（單位：m2），其中擁有部分舊住房需要拆除.當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門(mén)決定每年以當(dāng)年年初住房面積的10％建設(shè)新住房，同時(shí)也拆除面積為b（單位：m2）的舊住房.
(1)分別寫(xiě)出第一年年末和第二年年末的實(shí)際住房面積表達(dá)式，并寫(xiě)出第n年年末與第n+1年年末實(shí)際住房面積的關(guān)系式.
(2)如果第五年年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了30％，則每年拆除的舊住房面積b是多少（計(jì)算時(shí)可?。?br>【答案】(1)答案見(jiàn)解析；
(2).
【分析】（1）利用給定的運(yùn)算關(guān)系直接列式作答.
（2）利用（1）的結(jié)論結(jié)合構(gòu)造法求出數(shù)列通項(xiàng)公式，再取求解作答.
【詳解】（1）第1年年末的住房面積：；
第2年年末的住房面積：；
若記第n年年末的實(shí)際住房面積為，則第n年年末與第n+1年年末的住房面積：.
（2）由（1）中的遞推關(guān)系式，將等式兩邊同時(shí)減10b，得，
首項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，公比，
則有，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列，滿(mǎn)足上式，
于是，
可得，由，解得，
所以每年應(yīng)拆除的舊住房面積為.
30．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某工廠(chǎng)在2020年的“減員增效”中對(duì)部分人員實(shí)行分流，規(guī)定分流人員第一年可以到原單位領(lǐng)取工資的100％，從第二年起，以后每年只能在原單位按上一年工資的領(lǐng)取工資．該廠(chǎng)根據(jù)分流人員的技術(shù)特長(zhǎng)，計(jì)劃創(chuàng)辦新的經(jīng)濟(jì)實(shí)體，該經(jīng)濟(jì)實(shí)體預(yù)計(jì)第一年屬投資階段，第二年每人可獲得b元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年的基礎(chǔ)上遞增50％，如果某人分流前工資收入為每年a元，分流后進(jìn)入新經(jīng)濟(jì)實(shí)體，第n年的收入為元．
(1)求的通項(xiàng)公式．
(2)當(dāng)時(shí)，這個(gè)人哪一年的收入最少？最少為多少？
(3)當(dāng)時(shí)，是否一定可以保證這個(gè)人分流一年后的收入永遠(yuǎn)超過(guò)分流前的年收入？
【答案】(1)
(2)這個(gè)人第三年的收入最少，為元
(3)當(dāng)時(shí)，這個(gè)人分流一年后的收入永遠(yuǎn)超過(guò)分流前的年收入
【分析】（1）根據(jù)題意得到時(shí)，，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由時(shí)，，結(jié)合基本不等式，即可求解；
（3）由時(shí)，，結(jié)合基本不等式的等號(hào)成立的條件，即可得到結(jié)論.
【詳解】（1）解：由題意得，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以
（2）解：由，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，上式的等號(hào)成立，即，解得，
所以這個(gè)人第三年的收入最少，最小值為元．
（3）解：當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，上式等號(hào)成立，
因此，等號(hào)不能取到，
當(dāng)時(shí)，這個(gè)人分流一年后的收入永遠(yuǎn)超過(guò)分流前的年收入．
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）小蕾2018年1月31日存入銀行若干萬(wàn)元，年利率為1.75%，到2019年1月31日取款時(shí)，銀行按國(guó)家規(guī)定給付利息469元，則小蕾存入銀行的本金介于（）元之間，并說(shuō)明理由．
A．1萬(wàn)~2萬(wàn)B．2萬(wàn)~3萬(wàn)C．3萬(wàn)~4萬(wàn)D．4萬(wàn)~5萬(wàn)
【答案】B
【分析】設(shè)存入本金元，再列出方程求解即可.
【詳解】設(shè)小蕾存入銀行的本金元，依題意，，解得（元），
所以小蕾存入銀行的本金介于2萬(wàn)~3萬(wàn)元之間.
故選：B
2．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）中國(guó)古代某數(shù)學(xué)名著中有這樣一個(gè)類(lèi)似問(wèn)題：“四百四十一里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)首日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人一共走了441里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第一天走的路程是（）
A．224里B．214里C．112里D．107里
【答案】A
【分析】由題意每天行程是公比為的等比數(shù)列，應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求首項(xiàng)，即得到結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)，每天行程是公比為的等比數(shù)列，
所以，可得，則第一天走的路程224里.
故選：A
3．（2022上·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）新型冠狀病毒（簡(jiǎn)稱(chēng)新冠）傳播的主要途徑包括呼吸道飛沫傳播、接觸傳播、氣溶膠傳播等．其中呼吸道飛沫傳播是指新冠感染的患者和正常人在間隔左右的距離說(shuō)話(huà)，或者是患者打噴嚏、咳嗽時(shí)噴出的飛沫，可以造成對(duì)方經(jīng)過(guò)呼吸道吸入而感染．如果某地某天新冠患者的確診數(shù)量為，且每個(gè)患者的傳染力為2（即一人可以造成兩人感染），則5天后的患者人數(shù)將會(huì)是原來(lái)的（）倍
A．10B．16C．32D．63
【答案】D
【分析】由等比數(shù)列求和公式即得.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)每天新冠患者的確診人數(shù)組成數(shù)列，
則是公比為2的等比數(shù)列，所以5天后的新冠患者人數(shù)為，
所以5天后的患者人數(shù)將會(huì)是原來(lái)的63倍.
故選：D.
4．（2022上·河南·高二校聯(lián)考期末）中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)于2022年10月16日在北京召開(kāi)，二十大報(bào)告提出：尊重自然、順應(yīng)自然、保護(hù)自然，是全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家的內(nèi)在要求．必須牢固樹(shù)立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，站在人與自然和諧共生的高度謀劃發(fā)展．某市為了改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，計(jì)劃通過(guò)五年時(shí)間治理市區(qū)湖泊污染，并將其建造成環(huán)湖風(fēng)光帶，預(yù)計(jì)第一年投入資金81萬(wàn)元，以后每年投入資金是上一年的倍；第一年的旅游收入為20萬(wàn)元，以后每年旅游收入比上一年增加10萬(wàn)元，則這五年的投入資金總額與旅游收入總額分別為（）．
A．781萬(wàn)元，60萬(wàn)元B．525萬(wàn)元，200萬(wàn)元
C．781萬(wàn)元，200萬(wàn)元D．1122萬(wàn)元，270萬(wàn)元
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和求解即可.
【詳解】由題意知這五年投入的資金構(gòu)成首項(xiàng)為81，公比為，項(xiàng)數(shù)為5的等比數(shù)列，
所以這五年投入的資金總額是（萬(wàn)元）．
由題意知這五年的旅游收入構(gòu)成首項(xiàng)為20，公差為10，項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)列，
所以這五年的旅游收入總額是（萬(wàn)元）．
故選：C．
5．（2023下·江西吉安·高三吉安三中?？茧A段練習(xí)）某公司有10名股東，其中任何六名股東所持股份之和不少于總股份的一半，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）
A．公司持股最少的5位股東所持股份之和可以等于總股份的
B．公司持股較多的5位股東所持股份均不少于總股份的
C．公司持股最大的股東所持股份不超過(guò)總股份的
D．公司持股較多的2位股東所持股份之和可以超過(guò)總股份的
【答案】D
【分析】設(shè)10名股東所持股份為，總股份為1，則由題意可推得，由此可判斷A；結(jié)合即可判斷B；推出，則可得，判斷C；由因?yàn)?，推得，結(jié)合，推出，判斷D.
【詳解】不妨設(shè)10名股東所持股份為，總股份為1，
∵，，的最小值為，
若，此時(shí)，
又因?yàn)?，此時(shí)，A正確；
由于，且，
故公司持股較多的5位股東所持股份均不少于總股份的，B正確；
因?yàn)?，所以?br>∴，C正確；
因?yàn)?，所以，又?br>所以，D錯(cuò)誤，
故選：D．
6．（2023下·湖北·高二湖北省鄂州高中校聯(lián)考期中）某人從2023年起，每年1月1日到銀行新存入2萬(wàn)元（一年定期），若年利率為2%保持不變，且每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的線(xiàn)數(shù)約為（）（單位：萬(wàn)元）
參考數(shù)據(jù)：
A．2.438B．19.9C．22.3D．24.3
【答案】C
【分析】復(fù)利計(jì)息問(wèn)題，逐年分析尋找規(guī)律，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求解.
【詳解】由題意，2023年存的2萬(wàn)元共存了10年，本息和為萬(wàn)元，
2024年存的2萬(wàn)元共存了9年，本息和為萬(wàn)元，
2032年存的2萬(wàn)元共存了1年，本息和為萬(wàn)元，
所以到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，
他可取回的錢(qián)數(shù)約為萬(wàn)元，
故選：C.
7．（2023·湖北荊門(mén)·荊門(mén)市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）血藥濃度檢測(cè)可使給藥方案?jìng)€(gè)體化，從而達(dá)到臨床用藥的安全、有效、合理.某醫(yī)學(xué)研究所研制的某種新藥進(jìn)入了臨床試驗(yàn)階段，經(jīng)檢測(cè)，當(dāng)患者A給藥3小時(shí)的時(shí)候血藥濃度達(dá)到峰值，此后每經(jīng)過(guò)2小時(shí)檢測(cè)一次，每次檢測(cè)血藥濃度降低到上一次檢測(cè)血藥濃度的，當(dāng)血藥濃度為峰值的時(shí)，給藥時(shí)間為（）
A．11小時(shí)B．13小時(shí)C．17小時(shí)D．19小時(shí)
【答案】B
【分析】利用題意，將給藥時(shí)間與檢測(cè)次數(shù)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列模型，將給藥時(shí)間與患者血藥濃度轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型，則利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.
【詳解】解：檢測(cè)第n次時(shí)，給藥時(shí)間為，則是以3為首項(xiàng)，2為公差的的等差數(shù)列，
所以，
設(shè)當(dāng)給藥時(shí)間為小時(shí)的時(shí)候，患者血藥濃度為，血藥濃度峰值為a，
則數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比為的等比數(shù)列，所以，
令，即，解得，
當(dāng)血藥濃度為峰值的時(shí)，給藥時(shí)間為，
故選：B.
8．（2023下·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）我國(guó)新型冠狀病毒感染疫情的高峰過(guò)后，關(guān)于藥物浪費(fèi)的問(wèn)題引發(fā)了廣泛的社會(huì)關(guān)注．過(guò)期藥品處置不當(dāng)，將會(huì)給環(huán)境造成危害．現(xiàn)某藥廠(chǎng)打算投入一條新的藥品生產(chǎn)線(xiàn)，已知該生產(chǎn)線(xiàn)連續(xù)生產(chǎn)n年的累計(jì)年產(chǎn)量為（單位：萬(wàn)件），但如果年產(chǎn)量超過(guò)60萬(wàn)件，將可能出現(xiàn)產(chǎn)量過(guò)剩，產(chǎn)生藥物浪費(fèi)．因此從避免藥物浪費(fèi)和環(huán)境保護(hù)的角度出發(fā)，這條生產(chǎn)線(xiàn)的最大生產(chǎn)期限應(yīng)擬定為（）
A．7年B．8年C．9年D．10年
【答案】B
【分析】計(jì)算出，解不等式，則有，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.
【詳解】第一年年產(chǎn)量為，以后各年年產(chǎn)量為，，
當(dāng)時(shí)也符合上式，∴．令，
得．設(shè)，對(duì)稱(chēng)軸為，
則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又因?yàn)?，?br>則最大生產(chǎn)期限應(yīng)擬定為8年，
，
故選：B．
9．（2023下·江西吉安·高二統(tǒng)考期末）贛南臍橙果大形正，橙紅鮮艷，光潔美觀(guān)，已被列為全國(guó)十一大優(yōu)勢(shì)農(nóng)產(chǎn)品之一，榮獲“中華名果”等稱(chēng)號(hào).某臍橙種植戶(hù)為成立一個(gè)果園注入了啟動(dòng)資金800萬(wàn)元，已知每年可獲利，但由于競(jìng)爭(zhēng)激烈，每年年底需要從利潤(rùn)中取出100萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)改造和廣告投入，方能保持原有的利潤(rùn)率，則至少經(jīng)過(guò)（）年，該項(xiàng)目的資金才可以達(dá)到或超過(guò)翻兩番（即為原來(lái)的4倍）的目標(biāo)？
（參考數(shù)據(jù)：，，）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【分析】首先根據(jù)條件找到關(guān)于果園資金的遞推公式，再根據(jù)遞推公式求通項(xiàng)公式，再根據(jù)，結(jié)合對(duì)數(shù)不等式，即可求解.
【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)年之后，該果園的資金為萬(wàn)元，
由題意知，，
又，，
可知，數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
，
即，
令，可得，，
，
.
故選：D.
10．（2023下·廣西欽州·高二統(tǒng)考期末）小華分期付款購(gòu)買(mǎi)了一款5000元的手機(jī)，每期付款金額相同，每期為一月，購(gòu)買(mǎi)后每月付款一次，共付6次，購(gòu)買(mǎi)手機(jī)時(shí)不需付款，從下個(gè)月這天開(kāi)始付款.已知月利率為，按復(fù)利計(jì)算，則小華每期付款金額約為（）（參考數(shù)據(jù)：，，）
A．764元B．875元C．883元D．1050元
【答案】C
【分析】設(shè)小華每期付款金額為元，第期付款后欠款為元，根據(jù)已知條件，依次寫(xiě)出，，，，，結(jié)合及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】設(shè)小華每期付款金額為元，第期付款后欠款為元，
則，
，
，
，
因?yàn)?，所以?br>即，
所以小華每期付款金額約為883元.
故選：C.
11．（2023上·河南洛陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）某牧場(chǎng)今年年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為，且在每年年底賣(mài)出100頭牛，牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)構(gòu)成數(shù)列，即，則大約為（）
（參考數(shù)據(jù)：）
A．1429B．1472C．1519D．1571
【答案】B
【分析】由題意得數(shù)列遞推公式，再用構(gòu)造法求出通項(xiàng)，代入計(jì)算即可.
【詳解】由題可知，
設(shè)，
解得.
即，
故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為1.1的等比數(shù)列.
所以，
則，
所以.
故選：B.
二、多選題
12．（2023下·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）“蘇州碼子”發(fā)源于蘇州，作為一種民間的數(shù)字符號(hào)流行一時(shí)，被廣泛應(yīng)用于各種商業(yè)場(chǎng)合.“蘇州碼子”0~9的寫(xiě)法依次為○?丨?刂?川?ㄨ??〦?〧?〨?攵.某鐵路的里程碑所刻數(shù)代表距離始發(fā)車(chē)站的里程，如某處里程碑上刻著的“○”代表距離始發(fā)車(chē)站的里程為0公里，刻著“〦○”代表距離始發(fā)車(chē)站的里程為60公里，已知每隔3公里擺放一個(gè)里程碑，若在A(yíng)點(diǎn)處里程碑上刻著“川攵”，在B點(diǎn)處里程碑上刻著“〨ㄨ”，則（）
A．從始發(fā)車(chē)站到A點(diǎn)的所有里程碑個(gè)數(shù)為14
B．從A點(diǎn)到B點(diǎn)的所有里程碑個(gè)數(shù)為16
C．從A點(diǎn)到B點(diǎn)的所有里程碑上所刻數(shù)之和為987
D．從A點(diǎn)到B點(diǎn)的所有里程碑上所刻數(shù)之和為984
【答案】ABD
【分析】由題意可知A點(diǎn)處里程碑刻著數(shù)字，B點(diǎn)處里程碑刻著數(shù)字84，里程碑上的數(shù)字成等差數(shù)列，公差為3，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，即可判斷正誤.
【詳解】由題意知，A點(diǎn)處里程碑刻著數(shù)字，B點(diǎn)處里程碑刻著數(shù)字84，里程碑上的數(shù)字成等差數(shù)列，公差為3，
則從始發(fā)車(chē)站到A點(diǎn)的所有里程碑個(gè)數(shù)為，A選項(xiàng)正確；
從A點(diǎn)到點(diǎn)的所有里程碑個(gè)數(shù)為，B選項(xiàng)正確；
從A點(diǎn)到點(diǎn)的所有里程碑上的數(shù)字之和為，D選項(xiàng)正確，則C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：ABD.
13．（2023下·廣西欽州·高二校考階段練習(xí)）剛考入大學(xué)的小明準(zhǔn)備向銀行貸款元購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)筆記本電腦，然后上學(xué)的時(shí)候通過(guò)勤工儉學(xué)來(lái)分期還款.小明與銀行約定：每個(gè)月還一次款，分次還清所有的欠款，且每個(gè)月還款的錢(qián)數(shù)都相等，貸款的月利率為，設(shè)小明每個(gè)月所要還款的錢(qián)數(shù)為元，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．小明選擇的還款方式為“等額本金還款法”B．小明選擇的還款方式為“等額本息還款法
C．小明第一個(gè)月還款的現(xiàn)值為元D．
【答案】BCD
【分析】AB根據(jù)還款特點(diǎn)，得到還款方式；C選項(xiàng)，設(shè)出第一個(gè)月還款的現(xiàn)值為，列出方程，求出答案；D選項(xiàng)，表達(dá)出第12個(gè)月末所欠銀行貸款數(shù)，因?yàn)榉执芜€清所有的欠款，故得到方程，求出答案.
【詳解】AB選項(xiàng)，由于每個(gè)月還款的錢(qián)數(shù)都相等，故小明選擇的還款方式為“等額本息還款法，A錯(cuò)誤，B正確；
C選項(xiàng)，設(shè)小明第一個(gè)月還款的現(xiàn)值為，則，解得，故C正確；
D選項(xiàng)，根據(jù)等額本息還款法可得，第一個(gè)月末所欠銀行貸款為，
第二個(gè)月末所欠銀行貸款為，
第三個(gè)月末所欠銀行貸款為，
……
第12個(gè)月末所欠銀行貸款為
，
由于分次還清所有的欠款，故，
解得，D正確.
故選：BCD
14．（2022下·福建福州·高二統(tǒng)考期中）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒(méi)有外力介入，同時(shí)所有人都沒(méi)有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù)．初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，第一輪被傳染的個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染，…．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天，初始感染者為1人，則（）
A．第三輪被傳染人數(shù)為16人B．前三輪被傳染人數(shù)累計(jì)為80人
C．每一輪被傳染的人數(shù)組成一個(gè)等比數(shù)列D．被傳染人數(shù)累計(jì)達(dá)到1000人大約需要35天
【答案】CD
【分析】根據(jù)已知條件，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，即可求解．
【詳解】由題意，設(shè)第輪感染的人數(shù)為，則數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，故C正確；
所以，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
前三輪被傳染人數(shù)累計(jì)為，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，故D正確.
故選：CD
15．（2023下·河北秦皇島·高二統(tǒng)考期末）我國(guó)在預(yù)測(cè)人口變化趨勢(shì)上有直接推算法、灰色預(yù)測(cè)模型、VAR模型、隊(duì)列要素法等多種方法，直接推算法使用的公式是，其中為預(yù)測(cè)期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，為預(yù)測(cè)期內(nèi)人口增長(zhǎng)率，為預(yù)測(cè)期間隔年數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（）
A．若在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢(shì)
B．若在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈上升趨勢(shì)
C．若在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)擺動(dòng)變化
D．若在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)不變
【答案】ABD
【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】由，得當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，?duì)任意的，，
所以，，則，
此時(shí)，在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢(shì)，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，?duì)任意的，，
所以，，則，
故在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈上升趨勢(shì)，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈上升趨勢(shì)，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
故在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)不變，D對(duì).
故選：ABD.
三、填空題
16．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）為了響應(yīng)政府推進(jìn)菜籃子工程建設(shè)的號(hào)召，某經(jīng)銷(xiāo)商投資60萬(wàn)元建了一個(gè)蔬菜生產(chǎn)基地．第一年支出各種費(fèi)用8萬(wàn)元，以后每年支出的費(fèi)用比上一年多2萬(wàn)元，每年銷(xiāo)售蔬菜的收入為26萬(wàn)元．設(shè)表示前n年的純利潤(rùn)（前n年的總收入前n年的總費(fèi)用支出投資額），則（用n表示）；從第年開(kāi)始盈利．
【答案】 5
【分析】根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式寫(xiě)出的表達(dá)式即可，再令即可得解.
【詳解】由題意可得第年的支出費(fèi)用為萬(wàn)元，
則前n年的總支出費(fèi)用為，
所以，
令，解得，
又，所以從第年開(kāi)始盈利．
故答案為：；.
17．（2023上·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）某牧場(chǎng)今年年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為10%，且在每年年底賣(mài)出100頭牛．設(shè)牧場(chǎng)從今年起，第年年初的存欄數(shù)為，則．（，，）
【答案】1472
【分析】根據(jù)條件建立等量關(guān)系，構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)即可.
【詳解】由題意可得，所以，
即，
故.
故答案為：1472.
18．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）某公司第1年年初向銀行貸款1000萬(wàn)元投資項(xiàng)目，貸款按復(fù)利計(jì)算，年利率為10%，約定一次性還款.貸款一年后每年年初該項(xiàng)目產(chǎn)生利潤(rùn)300萬(wàn)元，利潤(rùn)隨即存入銀行，存款利息按復(fù)利計(jì)算，年利率也為10%，則到第年年初該項(xiàng)目總收益為萬(wàn)元，到第年的年初，可以一次性還清貸款.
【答案】
【分析】根據(jù)題意列出第年年初時(shí)借貸總額和總收益，即可求解.
【詳解】由題知，到第年年初，
借貸總額為，
總收益為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故第年年初該項(xiàng)目總收益為，
到第年的年初，可以一次性還清貸款.
故答案為：；
19．（2022上·高二單元測(cè)試）某工廠(chǎng)2022年1月的生產(chǎn)總值為萬(wàn)元，計(jì)劃從2022年2月起，每月生產(chǎn)總值比上一個(gè)月增長(zhǎng)，則到2023年8月底該廠(chǎng)的生產(chǎn)總值為萬(wàn)元.
【答案】
【分析】利用等比數(shù)列的求和公式可得答案.
【詳解】由已知可得2022年1月到2023年8月底每月的生產(chǎn)總值是以為首項(xiàng)，
公比為的等比數(shù)列，
則到2023年8月底該廠(chǎng)的生產(chǎn)總值為萬(wàn)元.
故答案為：.
20．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某企業(yè)2021年年初有資金500萬(wàn)元，資金年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到20%.每年年底扣除下一年必需的消費(fèi)資金后，剩余資金全部投入再生產(chǎn)，為了實(shí)現(xiàn)5年后投入再生產(chǎn)的資金達(dá)到800萬(wàn)元的目標(biāo)，每年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金至多為萬(wàn)元．（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：1.24≈2.07，1.25≈2.49）
【答案】59
【分析】利用等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)每年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金為x萬(wàn)元，設(shè)年后投入的再生產(chǎn)資金為，
則1年后投入再生產(chǎn)的資金為：，
2年后投入再生產(chǎn)的資金，…
5年后投入再生產(chǎn)的資金
，
∵
∴，取整數(shù)為59.
故答案為：59
四、解答題
21．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）某產(chǎn)品經(jīng)過(guò)4次革新后，成本由原來(lái)的105元下降到60元．如果這種產(chǎn)品每次革新后成本下降的百分率相同，那么每次革新后成本下降的百分率是多少？（精確到）
【答案】
【分析】設(shè)出未知數(shù)，由題目條件得到方程，求出答案
【詳解】設(shè)每次革新后成本下降的百分率為，
故，解得（負(fù)值舍去），
故每次革新后成本下降的百分率是.
22．（2023下·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？计谥校┠彻旧a(chǎn)一種產(chǎn)品，第一年投入資金1000萬(wàn)元，出售產(chǎn)品后收入40萬(wàn)元，預(yù)計(jì)以后每年的投入資金是上一年的一半，出售產(chǎn)品所得收入比上一年多80萬(wàn)元．同時(shí)，當(dāng)預(yù)計(jì)投入資金低于20萬(wàn)元時(shí)，就按20萬(wàn)元投入，且當(dāng)年出售產(chǎn)品的收入與上一年相同．
(1)設(shè)第年的投入資金和收入金額分別為萬(wàn)元，萬(wàn)元，請(qǐng)求出、的通項(xiàng)公式；
(2)預(yù)計(jì)從第幾年起該公司開(kāi)始并持續(xù)盈利？請(qǐng)說(shuō)明理由（盈利是指總收入大于總投入）．
【答案】(1)，
(2)該公司從第8年開(kāi)始盈利，理由見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可.
（2）根據(jù)題意得到當(dāng)時(shí)，總利潤(rùn)，時(shí)，，再分類(lèi)討論即可得到答案.
【詳解】（1）由題知：，
當(dāng)，，解得，
所以.
.
（2）當(dāng)時(shí)，
總利潤(rùn).
因?yàn)椋?br>為增函數(shù)，
且，，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br>，
所以時(shí)，，即前6年未盈利.
當(dāng)時(shí)，，
令，解得，所以該公司從第8年開(kāi)始盈利.
23．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某人向銀行貸款10萬(wàn)元用于買(mǎi)房．
(1)如果他向A銀行貸款，年利率為，且這筆借款分10次等額歸還（不計(jì)復(fù)利），每年一次，并從借后次年年初開(kāi)始?xì)w還，問(wèn)：每年應(yīng)還多少元？（精確到1元）
(2)如果他向B銀行貸款，年利率為，要按復(fù)利計(jì)算（即本年的利息計(jì)入次年的本金生息），仍分10次等額歸還，每年一次，每年應(yīng)還多少元？（精確到1元）
【答案】(1)12245元
(2)12330元
【分析】（1）根據(jù)不復(fù)利的條件，設(shè)每年還款元，列出等式，即可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)復(fù)利的條件，設(shè)每年還款元，列出等式，即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)每年還款元，依題意得
，
解得（元），
當(dāng)年利率為，按單利計(jì)算，每年應(yīng)歸還12445元．
（2）設(shè)每年還款元，依題意得
，
解得（元），
當(dāng)年利率為，按復(fù)利計(jì)算時(shí)，每年還款12330元．
24．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）（1）在自然界，死亡生物體中的有持續(xù)穩(wěn)定的衰變現(xiàn)象．已知的半衰期為5730年，設(shè)的衰變率為q，試建立一個(gè)用確定生物體死亡時(shí)間的模型．
（2）考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)一個(gè)古人猿的顱骨，測(cè)得該顱骨僅殘留原含量的，那么古人猿的顱骨已存在了大約多少年？
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）38069年.
【分析】（1）先計(jì)算出，設(shè)年后測(cè)得生物體內(nèi)含量為，則；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，代入求解，得到答案.
【詳解】（1）設(shè)生物體內(nèi)含量最初為，則5730年后的含量為，
則，解得，
設(shè)年后測(cè)得生物體內(nèi)含量為，則，
（2）由題意得，即
兩邊取對(duì)數(shù)得，故，
故古人猿顱骨已存在了大約38069年.
25．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某家庭為準(zhǔn)備孩子上大學(xué)的學(xué)費(fèi)，每年1月1日在銀行中存入2000元，連續(xù)5年，有以下兩種存款的方式：
（1）如果按五年期零存整取計(jì)，即每存入a元按a（1＋n×6．5％）計(jì)算本利（n為年數(shù)）；
（2）如果按每年轉(zhuǎn)存計(jì)，即每存入a元，按計(jì)算本利（n為年數(shù)）．
問(wèn)：用哪種存款的方式存款在第六年的1月2日到期的全部本利較高？
【答案】第一種存款方式到期的全部本利較高
【分析】這兩種存款的方式區(qū)別在于不計(jì)復(fù)利與計(jì)復(fù)利，但由于利率不同，最后的本利也不同．復(fù)利是一種計(jì)算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再計(jì)算下一期的利息．設(shè)本金為P，每期利率為r，本利和為y，存期為n，則復(fù)利函數(shù)式為．單利是指本金到期后的利息不再加入本金計(jì)算．設(shè)本金為P元，每期利率為r，經(jīng)過(guò)n期，按單利計(jì)算的本利和公式為．
【詳解】第（1）種方式：不計(jì)復(fù)利，則5年的零存整取本利是
（元）；
第（2）種方式：計(jì)復(fù)利，則5年的零存整取本利是
（元）．
所以第一種存款方式到期的全部本利較高．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
能運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用
體會(huì)“零存整取”“定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存”及“分期付款”等日常生活中的實(shí)際問(wèn)題．(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)

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