知識(shí)點(diǎn)01等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
注：(1)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式分q ＝1與q≠1兩種情況，因此當(dāng)公比未知時(shí)，要對(duì)公比進(jìn)行分類討論．
(2)q≠1時(shí)，公式Sn ＝a11 ?qn1 ?q與Sn ＝a1 ?anq1 ?q是等價(jià)的，利用an ＝a1qn －1可以實(shí)現(xiàn)它們之間的相互轉(zhuǎn)化．
當(dāng)已知a1，q與n時(shí)，用Sn ＝a11 ?qn1 ?q較方便；
當(dāng)已知a1，q與an時(shí)，用Sn ＝a1 ?anq1 ?q較方便．
【即學(xué)即練1】（2024·貴州黔東南·高二期末（理））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（ ）
A．64B．42C．32D．22
【即學(xué)即練2】（2024·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公比，，則______．
【即學(xué)即練3】（2024·福建省福安市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為，已知，，則（ ）
A．B．32C．64D．
【即學(xué)即練4】（2024上·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）設(shè)為正項(xiàng)遞增等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則（ ）
A．63B．64C．127D．128
【即學(xué)即練5】（2024下·河南南陽·高二社旗縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（ ）
A．16B．8C．6D．2
知識(shí)點(diǎn)02 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1．?dāng)?shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列(或公比為－1，且n不是偶數(shù))，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構(gòu)成等比數(shù)列．
注意點(diǎn)：等比數(shù)列片段和性質(zhì)的成立是有條件的，即Sn≠0.
2．{an}為等比數(shù)列，若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，eq \f(T2n,Tn)，eq \f(T3n,T2n)，…成等比數(shù)列．
3．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)?qn＝eq \f(Sn＋m－Sn,Sm)(q為公比)．
4．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和，則：
（1）在其前2n項(xiàng)中，eq \f(S偶,S奇)＝q；
（2）在其前2n＋1項(xiàng)中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq \f(a1＋a2n＋1q,1－?－q?)＝eq \f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1).
S奇＝a1＋qS偶．
【即學(xué)即練6】（2024·山西·朔州市朔城區(qū)第一中學(xué)校高二開學(xué)考試）記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（ ）
A．12B．18C．21D．27
【即學(xué)即練7】（2024·全國·高二單元測(cè)試）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（ ）．
A．10B．20C．20或10D．20或10
【即學(xué)即練8】（2024·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的前5項(xiàng)和為3，前15項(xiàng)和為39，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為（ ）
A．B．C．12D．15
【即學(xué)即練9】（2024下·安徽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則 .
【即學(xué)即練10】（2024上·山東聊城·高三山東聊城一中?？计谀┮阎缺葦?shù)列的公比，且，則 .
題型一：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本運(yùn)算
例1：（2024秋·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)校考期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，則（ ）
A．24B．28C．30D．32
變式1：（2024秋·貴州黔東南·高二凱里一中校考期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且公比，，，則（ ）
A．1B．C．D．
變式2：（2024·云南曲靖·高二期末）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比．若，則__________．
變式3：（2024·浙江省杭州第九中學(xué)高二期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且，，則等比數(shù)列的公比為（ ）
A．B．2C．D．3
變式4：（2024秋·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，積等于64，則這個(gè)等比數(shù)列的公比是（ ）
A．2或B．2或C．或D．或
【方法技巧與總結(jié)】
(1)在等比數(shù)列{an}的五個(gè)量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三個(gè)量，通過列方程組，就能求出另外兩個(gè)量，這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用．
(2)在解決與前n項(xiàng)和有關(guān)的問題時(shí)，首先要對(duì)公比q＝1或q≠1進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．
題型二：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用
等比數(shù)列的片段和性質(zhì)的應(yīng)用
例2：（2024上·上?！じ叨？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，若，，則 ．
變式1：（2024·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，，則______.
變式2：（2024·遼寧·高二期中）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（ ）
A．24B．12C．24或－12D．－24或12
變式3：（2024·安徽·合肥市第十一中學(xué)高二期末）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．B．C．D．
變式4：（2024上·內(nèi)蒙古赤峰·高三赤峰二中?？茧A段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是.已知,，則 .
變式5：（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則＝ .
等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)
例3：（2024·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列共有項(xiàng)，它的所有項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)的和的倍，則公比______.
變式1：（2024·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，且公比，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為______．
變式2：（2024·全國·高二）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的前10項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)之和與所有偶數(shù)項(xiàng)之和的比為（ ）
A．B．2C．D．
變式3：（2024·全國·高二）已知等比數(shù)列共有32項(xiàng)，其公比，且奇數(shù)項(xiàng)之和比偶數(shù)項(xiàng)之和少60，則數(shù)列的所有項(xiàng)之和是（ ）
A．30B．60C．90D．120
變式4：（2024上·高二課時(shí)練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列共有項(xiàng)，它的所有項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)的和的倍，則公比 .
變式5：（2024上·重慶·高二重慶一中校考期中）已知等比數(shù)列有項(xiàng)，，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
等比數(shù)列前n項(xiàng)和其他性質(zhì)
例4：（2024上·北京·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)是等比數(shù)列，且，下列正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
①數(shù)列具有單調(diào)性； ②數(shù)列有最小值為；
③前n項(xiàng)和Sn有最小值 ④前n項(xiàng)和Sn有最大值
A．0B．1C．2D．3
變式1：（2024·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為等比數(shù)列，設(shè)和分別為的前n項(xiàng)和與前n項(xiàng)積，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則不一定是遞增數(shù)列B．若，則不一定是遞增數(shù)列
C．若為遞增數(shù)列，則可能存在D．若是遞增數(shù)列，則一定成立
變式2：（2024·全國·高二）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，并滿足條件，，則下列結(jié)論中不正確的有（ ）
A．q>1
B．
C．
D．是數(shù)列中的最大項(xiàng)
【方法技巧與總結(jié)】
1.處理等比數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)問題的常用方法
(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n為偶數(shù)且q＝－1除外)仍成等比數(shù)列這一重要性質(zhì)，能有效減少運(yùn)算．
(2)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時(shí)，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元．
2.等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，要抓住eq \f(S偶,S奇)＝q和S偶＋S奇＝S2n這一隱含特點(diǎn)；若等比數(shù)列{an}共有2n＋1項(xiàng)，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1這一隱含特點(diǎn)．要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時(shí)，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元．
．
題型三：等比數(shù)列中an與Sn的關(guān)系
例5：【多選】（2024上·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若存在，，，使得，則（ ）
A．
B．是數(shù)列的公比
C．?dāng)?shù)列可能為等比數(shù)列
D．?dāng)?shù)列不可能為常數(shù)列
變式1：（2024·全國·高二）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，.則（ ）
A．B．C．D．
變式2：（2024上·廣東東莞·高三東莞市東莞中學(xué)校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，則 .
變式3：【多選】（2024·云南·曲靖市第二中學(xué)高二期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A．
B．
C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為
變式4：（2024·湖北武漢·高二階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，在①＝－，②＝這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，并作答.
(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)＝，求數(shù)列{}的前項(xiàng)和.
變式5：（2024·廣東·佛山市南海區(qū)九江中學(xué)高二期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.
【方法技巧與總結(jié)】
由Sn求通項(xiàng)公式an的步驟
(1)令n＝1，則a1＝S1，求得a1.
(2)令n≥2，則an＝Sn－Sn－1.
(3)驗(yàn)證a1與an的關(guān)系：
①若a1適合an，則an＝Sn－Sn－1，
②若a1不適合an，則an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
題型四：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用
例6：（2024·安徽滁州·高二期中）古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織布的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天織布多？”根據(jù)上述的已知條件，可求得該女子第5天所織布的尺數(shù)為______．
變式1：（2024·遼寧·昌圖縣第一高級(jí)中學(xué)高二期末）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”則該人最后一天走的路程為（ ）
A．6里B．5里C．4里D．3里
變式2：（2024上·黑龍江雞西·高三校考期末）有一個(gè)人進(jìn)行徒步旅行，他6天共走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半. 則此人第4天和第7天共走了 里.
變式3：（2024上·安徽滁州·高二?？计谀┲燧d堉（1536~1611），是中國明代一位杰出的音樂家?數(shù)學(xué)家和天文歷算家，他的著作《律學(xué)新說》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個(gè)八度13個(gè)音，相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，且最后一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍.設(shè)前三個(gè)音的頻率總和為，前六個(gè)音的頻率總和為，則（ ）
A．B．C．D．
變式4：（2024·全國·高二課時(shí)練習(xí)）某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣，設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列．已知第五實(shí)驗(yàn)室比第二實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高42萬元，第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高168萬元，并要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室改建費(fèi)用不能超過1709.9萬元．則該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要______萬元．
變式5：（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某農(nóng)村合作社引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達(dá)到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2023年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬元，則按照計(jì)劃該公司從2023年到2032年該產(chǎn)品的銷售總額約為（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A．3937萬元B．3837萬元
C．3737萬元D．3637萬元
【方法技巧與總結(jié)】
解數(shù)列應(yīng)用題的具體方法步驟：
(1)認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意，達(dá)到如下要求：
①明確問題屬于哪類應(yīng)用問題，即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題還是含有遞推關(guān)系的數(shù)列問題？是求an，還是求Sn？特別要注意準(zhǔn)確弄清參數(shù)是多少．
②弄清題目中主要的已知事項(xiàng)．
(2)抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量，將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá)．
(3)將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，將已知與所求聯(lián)系起來，列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式．
題型五：等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題
例7：（2024·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等差數(shù)列，則的最小值為( )
A．B．C．D．
變式1：（2024·重慶·高二期末）已知等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩個(gè)數(shù)列的關(guān)系．如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列，部分項(xiàng)成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項(xiàng)抽出來單獨(dú)研究；如果兩個(gè)數(shù)列通過運(yùn)算綜合在一起，要從分析運(yùn)算入手，把兩個(gè)數(shù)列分割開，弄清兩個(gè)數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解
一、單選題
1．（2024上·安徽滁州·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列前7項(xiàng)的和為（ ）
A．256B．255C．128D．127
2．（2023下·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球……．記第層球的個(gè)數(shù)為，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·安徽合肥·高二合肥一中?？计谀┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和滿足，（），則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024上·北京海淀·高二清華附中?？计谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列
6．（2024上·江蘇南京·高二南京市第九中學(xué)校考期末）已知數(shù)列滿足，則的值是（ ）
A．25B．50C．75D．100
7．（2024上·陜西西安·高二陜西師大附中?？计谀┯洖榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和．若，則（ ）
A．B．C．D．
8．（2024上·北京通州·高二統(tǒng)考期末）已知首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則“”是“單調(diào)遞增”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
9．（2024上·黑龍江綏化·高二校考期末）若數(shù)列滿足，且，，則（ ）
A．B．C．D．
10．（2023上·廣東深圳·高二?？计谀┰O(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)之積為，且滿足，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．是數(shù)列中的最大值D．
11．（2024上·浙江舟山·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列及其前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．B．
C．D．
12．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中?？计谀┤魯?shù)列滿足：當(dāng)時(shí)，（），則數(shù)列的前28項(xiàng)和為（ ）
A．2048B．2046C．4608D．4606
13．（2024上·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，，令．若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
14．（2023上·安徽合肥·高二合肥一中校考期末）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿足，數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．設(shè)，，則的最小值為12．
C．若對(duì)任意的恒成立，則
D．設(shè)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則
15．（2024上·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，，為的前項(xiàng)和，則（ ）
A．為等比數(shù)列
B．的通項(xiàng)公式為
C．為遞減數(shù)列
D．當(dāng)或時(shí)，取得最大值
16．（2023上·海南·高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且（），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．D．
17．（2024上·湖南長沙·高二雅禮中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列命題正確的是（ ）
A．若為等差數(shù)列，則，，仍為等差數(shù)列
B．若為等比數(shù)列，則，，仍為等比數(shù)列
C．若為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列
D．若為正項(xiàng)等比數(shù)列，則為等差數(shù)列
18．（2024上·浙江舟山·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若且，則是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列
B．若是遞減數(shù)列，則
C．任意為等比數(shù)列
D．若，則存在為等比數(shù)列
19．（2024上·山東泰安·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足（為正整數(shù)），，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則所有可能取值的集合為
C．若，則
D．若為正整數(shù)，則的前項(xiàng)和為
三、填空題
20．（2024上·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則 ．
21．（2024上·江蘇常州·高二常州高級(jí)中學(xué)?？计谀┑缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，則等比數(shù)列的公比為 .
22．（2024上·湖南長沙·高二長郡中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足：，其前項(xiàng)和為，若，則 .
23．（2024上·廣東潮州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則實(shí)數(shù) ．
24．（2023上·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習(xí)）設(shè)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和， 成等差數(shù)列，且則n= .
25．（2024上·貴州六盤水·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，則 ．
26．（2024上·海南·高二校聯(lián)考期末）在數(shù)列中，.若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)
四、解答題
27．（2024上·河南周口·高二西華縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）正項(xiàng)數(shù)列滿足，．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
28．（2024上·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)在和之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
29．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知一個(gè)行列的數(shù)陣，它的每一行都是等差數(shù)列，且第一行的首項(xiàng)和公差均為1，每一列都是公比為2的等比數(shù)列．記．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
30．（2024上·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）甲、乙兩家企業(yè)同時(shí)投入生產(chǎn)，第年的利潤都為萬元（），由于生產(chǎn)管理方式不同，甲企業(yè)前年的總利潤為萬元，乙企業(yè)第年的利潤比前一年的利潤多萬元，設(shè)甲、乙兩家企業(yè)第年的利潤分別為萬元，萬元.
(1)求，；
(2)當(dāng)其中某一家企業(yè)的年利潤不足另一家企業(yè)同年的年利潤的時(shí)，該家企業(yè)將被另一家企業(yè)兼并收購. 判斷哪一家企業(yè)有可能被兼并收購，如果有這種情況，出現(xiàn)在第幾年.
31．（2024·全國·武鋼三中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，且數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，.
(1)求，的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，將中的項(xiàng)按原有順序依次插入到數(shù)列中，使與之間插入2項(xiàng)，形成新數(shù)列，求此新數(shù)列前面20項(xiàng)的和.
32．（2023上·福建莆田·高二莆田一中校考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.探索并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系．
2．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能解決相應(yīng)的問題．
3．體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)的函數(shù)關(guān)系．
1.了解等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2．掌握與前n項(xiàng)和公式有關(guān)的計(jì)算．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3．能利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式解決生活中的實(shí)際問題．(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
已知量
首項(xiàng)a1，項(xiàng)數(shù)n與公比q
首項(xiàng)a1，末項(xiàng)an與公比q
公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1?1－qn?,1－q)，q≠1))
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)，q≠1))

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3.2 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

版本： 北師大版 (2019)

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