【例1】如圖，把兩個(gè)含角的兩個(gè)直角三角板按如圖所示拼接在一起，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則的值為
A．B．C．D．
【例2】如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，，如果，，那么的值是 ．
【例3】如圖，，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是
A．B．C．D．
【例4】已知，如圖，為中線上一點(diǎn)，，延長、分別交、于點(diǎn)、，交于點(diǎn)．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
上述結(jié)論中，正確的有 ．
【例5】如圖，中邊，高，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為三邊上的點(diǎn)（點(diǎn)，為上的點(diǎn)，點(diǎn)為上的點(diǎn)，點(diǎn)為上的點(diǎn)），則正方形的邊長為 ．
【例6】如圖，已知在中，，高，內(nèi)接矩形的頂點(diǎn)、在邊上，、分別在、上，則內(nèi)接矩形的最大面積為 ．
【例7】如圖，中，是中點(diǎn)，是的平分線，交 于．若，，則的長為 ．
題型 2 半角模型
【例8】已知，如圖1，四邊形是正方形，、分別在邊、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．
（1）在圖1中，連接，為了證明結(jié)論“”，小明將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后解答了這個(gè)問題，請(qǐng)按小明的思路寫出證明過程；
（2）如圖2，當(dāng)?shù)膬蛇叿謩e與、的延長線交于點(diǎn)、，連接，試探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【例9】當(dāng)幾何圖形中，兩個(gè)共頂點(diǎn)的角存在角度是公共大角一半的關(guān)系，我們稱之為“半角模型”．
（1）如圖1，在正方形中，、分別是、邊上的點(diǎn)，且，探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．
（2）如圖2，如果四邊形中，，，，且，，，求的長．
（3）如圖3，在四邊形中，，與互補(bǔ)，點(diǎn)、分別在射線、上，且．當(dāng)，，時(shí)，的周長等于 ．
（4）如圖4，邊長為6的正方形中，的頂點(diǎn)、分別在、邊上，且，連接分別交、于點(diǎn)，，若，求的長．
題型 3 四邊形綜合
【例10】在四邊形中，，，，為上一點(diǎn)，，且，的延長線于．連接交對(duì)角線于．下列結(jié)論：①；②垂直平分；③；④平分．其中結(jié)論正確的是 ．（填序號(hào)）
【例11】如圖，在矩形中，，的平分線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的有 ．（把正確結(jié)論的序號(hào)都填上）
【例12】在直角梯形中，，，，為邊上一點(diǎn)，，且，連接交對(duì)角線于，連接，下列結(jié)論：
①；②；③；④
其中結(jié)論正確的是
【例13】如圖，已知正方形，延長至點(diǎn)使，連接、，與交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：
①；②；③；④；⑤．
其中正確的是 （只填序號(hào)）
【例14】如圖，平面直角坐標(biāo)系中是原點(diǎn)，的頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，點(diǎn)，把線段三等分，延長、分別交、于點(diǎn)，，連接．則下列結(jié)論：
①是的中點(diǎn)；②與相似；③四邊形的面積是；④
其中正確的結(jié)論是 （填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．
【例15】如圖，在正方形中，，是邊上一點(diǎn)，連接，將沿直線翻折，得到，延長交于，連接，對(duì)角線分別與、交于、，連接、，下列結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中，正確的有 （填序號(hào)）．
【例16】如圖，在正方形中，、是射線上一動(dòng)點(diǎn)，且，射線、分別交、延長線于、，連接；在下列結(jié)論中①；②；③；④；⑤若，則；⑥．其中一定正確的是 ．（把正確的序號(hào)寫在橫線上）
【例17】如圖，在正方形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，連接并延長，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、，交的延長線于點(diǎn)，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有 （填入正確的序號(hào)）．
【例18】如圖，在正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，，垂足分別為，，連接，，．下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤；⑥．其中結(jié)論正確的序號(hào)是 ．
2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：三角形、四邊形綜合 強(qiáng)化練習(xí)題·教師版
1．如圖，把兩個(gè)含角的兩個(gè)直角三角板按如圖所示拼接在一起，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則的值為
A．B．C．D．
【解答】解：連接，如圖，
設(shè)，
，，
，，
點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
．
，，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：．
2．如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，，如果，，那么的值是 ．
【解答】解：，，
，
，
，
．
．
，
，
．
．
故答案為：．
3．如圖，，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，
，故選項(xiàng)正確，不符合題意；
，
，，
①，②，
①②得，
，
，
，
，，
，
，
，故，選項(xiàng)正確，不符合題意；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．
故選：．
4．已知，如圖，為中線上一點(diǎn)，，延長、分別交、于點(diǎn)、，交于點(diǎn)．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
上述結(jié)論中，正確的有 （3）（4） ．
【解答】解：延長到，使，連接、，
是中線，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
即，，
，，
，
；
，，
，
，而與不一定相等，故（1）錯(cuò)誤；
，，
，，
，故（2）錯(cuò)誤；
，
，
；故（3）正確；
，
，，
．故（4）正確．
故答案為：（3）（4）．
5．如圖，中邊，高，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為三邊上的點(diǎn)（點(diǎn)，為上的點(diǎn)，點(diǎn)為上的點(diǎn)，點(diǎn)為上的點(diǎn)），則正方形的邊長為 ．
【解答】解：設(shè)正方形的邊長為，設(shè)與交于點(diǎn)，如圖，
四邊形為正方形，
，，
，，
，
．
，
，
，
，
解得：．
正方形的邊長為．
故答案為：．
6．如圖，已知在中，，高，內(nèi)接矩形的頂點(diǎn)、在邊上，、分別在、上，則內(nèi)接矩形的最大面積為 80 ．
【解答】解：四邊形為矩形，
，．
，
，
設(shè)，則．
，
，
，
，
．
矩形的面積
．
，
當(dāng)時(shí)，內(nèi)接矩形的最大面積為80．
故答案為：80．
7．如圖，中，是中點(diǎn)，是的平分線，交于．若，，則的長為 13 ．
【解答】解：過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，如圖所示，
，是的平分線，
，
．
是中點(diǎn)，，
為的中位線，
．
故答案為：13．
8．已知，如圖1，四邊形是正方形，、分別在邊、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．
（1）在圖1中，連接，為了證明結(jié)論“”，小明將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后解答了這個(gè)問題，請(qǐng)按小明的思路寫出證明過程；
（2）如圖2，當(dāng)?shù)膬蛇叿謩e與、的延長線交于點(diǎn)、，連接，試探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【解答】（1）證明：
由旋轉(zhuǎn)可得，，，
四邊形為正方形，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
；
（2）解：，
證明如下：
如圖，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，交于點(diǎn)，
同（1）可證得，
，且，
．
9．已知，如圖1，四邊形是正方形，、分別在邊、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．
（1）在圖1中，連接，為了證明結(jié)論“”，小明將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后解答了這個(gè)問題，請(qǐng)按小明的思路寫出證明過程；
（2）如圖2，當(dāng)?shù)膬蛇叿謩e與、的延長線交于點(diǎn)、，連接，試探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【解答】（1）證明：
由旋轉(zhuǎn)可得，，，
四邊形為正方形，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
；
（2）解：，
證明如下：
如圖，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，交于點(diǎn)，
同（1）可證得，
，且，
．
10．在四邊形中，，，，為上一點(diǎn)，，且，的延長線于．連接交對(duì)角線于．下列結(jié)論：①；②垂直平分；③；④平分．其中結(jié)論正確的是 ①②③④ ．（填序號(hào)）
【解答】解：①，，
．
，
，
．
在和中，
，
．故①正確；
②，
．
又，
是的垂直平分線．
即垂直平分．故②正確；
③取的中點(diǎn)，連接，
，，
．
，
．
，
．
，
．
．
，
即，故③正確．
④，
，
，
，
，
，
平分；故④正確；
結(jié)論正確的是：①②③④．
故答案為：①②③④．
11．如圖，在矩形中，，的平分線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的有 ①②③ ．（把正確結(jié)論的序號(hào)都填上）
【解答】解：四邊形是矩形，
，，，
設(shè)，則，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，故①正確；
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
平分，
，故②正確；
③，
，
，
，
又，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在和中，
，
，
，故③正確；
，
，，
，
，
，故④錯(cuò)誤；
綜上所述，正確的是①②③．
故答案為：①②③．
12．在直角梯形中，，，，為邊上一點(diǎn)，，且，連接交對(duì)角線于，連接，下列結(jié)論：
①；②；③；④
其中結(jié)論正確的是 ①②④
【解答】解：①，，
，
又，
，
又，，
；故①正確；
②同理，
，
，
，
，
為等邊三角形，設(shè)，則，，，
，
，
，故②正確，
③由②可知，，
，
，故③錯(cuò)誤，
④由②③可知；
，
，
，
，故④正確；
故答案為：①②④．
13．如圖，已知正方形，延長至點(diǎn)使，連接、，與交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：
①；②；③；④；⑤．
其中正確的是 ①③④⑤ （只填序號(hào)）
【解答】解：四邊形為正方形，，
，，
，
，
，，故①正確；
如圖，連接，
，，
，
，，
，故②錯(cuò)誤；
，，是的中點(diǎn)，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
如圖，作于，則，
，
，
，故④正確；
，
，
，
，
是的中點(diǎn)，
，
，故⑤正確；
，
設(shè)，，
，
，
，
，故③正確；
故答案為：①③④⑤．
14．如圖，平面直角坐標(biāo)系中是原點(diǎn)，的頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，點(diǎn)，把線段三等分，延長、分別交、于點(diǎn)，，連接．則下列結(jié)論：
①是的中點(diǎn)；②與相似；③四邊形的面積是；④
其中正確的結(jié)論是 ①③ （填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．
【解答】解：①四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
、為的三等分點(diǎn)，
，
，
，
，
是的中點(diǎn)；
所以①結(jié)論正確；
②如圖2，延長交軸于，
由知：，，
，
，
，
，
，
，
不成立，
，且與相交，
，
不成立，
同理可知為的中點(diǎn)，即，
由勾股定理得：，
，
，
，
所以②結(jié)論不正確；
③由①知：為的中點(diǎn)，
由②知：是的中點(diǎn)，
是的中位線，
，，
，
，
，
過作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
所以③結(jié)論正確；
④在中，由勾股定理得：，
，
，
所以④結(jié)論不正確；
故本題結(jié)論正確的有：①③；
故答案為：①③．
15．如圖，在正方形中，，是邊上一點(diǎn)，連接，將沿直線翻折，得到，延長交于，連接，對(duì)角線分別與、交于、，連接、，下列結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中，正確的有 ①②③ （填序號(hào)）．
【解答】解：四邊形是正方形，
，，，
將沿直線翻折，得到，
，，，，
，，
又，
，
，，
，故①正確；
，
，
，
如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，
，，，，
，，
，
又，
，
，
，
；故②正確；
，
點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，
，
，
；故③正確；
，則，
，
，
，故④錯(cuò)誤；
故答案為：①②③．
16．如圖，在正方形中，、是射線上一動(dòng)點(diǎn)，且，射線、分別交、延長線于、，連接；在下列結(jié)論中①；②；③；④；⑤若，則；⑥．其中一定正確的是 ①③④⑥ ．（把正確的序號(hào)寫在橫線上）
【解答】解：四邊形是正方形，
，，
又，
，
，故①正確；
不一定為，
不一定與相等，
即與不一定全等，故②錯(cuò)誤；
如圖1，在上截取，連接，
，，，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，故③正確；
如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，
，，
，，，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
在中，，
，故④正確；
，
設(shè)，則，
，
如圖1，在上截取，連接，
由③可得：，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，故⑤錯(cuò)誤；
如圖1，
，
，
，故⑥正確；
故答案為：①③④⑥．
17．如圖，在正方形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，連接并延長，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、，交的延長線于點(diǎn)，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有 ①②④ （填入正確的序號(hào)）．
【解答】解：四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正確；
如圖，過點(diǎn)作于，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
又，，
，
，故④正確；
，，，
，
，，，
，
，
，
，故②正確；
，，
，故③錯(cuò)誤．
綜上，正確的是①②④．
故答案為：①②④．
18．如圖，在正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，，垂足分別為，，連接，，．下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤；⑥．其中結(jié)論正確的序號(hào)是 ①②③④⑥ ．
【解答】解：四邊形是正方形，
，，
，
，
又，，
，
，，
，故①正確；
設(shè)正方形的邊長為，則，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正確；
如圖，延長交于，
點(diǎn)是中點(diǎn)，
，
，，
，
，
又，
，
，，
，
，
又，
，
，
，
，故③正確；
，
，
，
，
，，
，
，故④正確；
，
，
，
，
，
，
，
，
，故⑤錯(cuò)誤；
，，
，故⑥正確；
故答案為：①②③④⑥．

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