一、銳角三角函數(shù)值
正弦、余弦、正切
【注意】正弦、余弦、正切都是一個(gè)比，是兩條線段長(zhǎng)度的比，它們只與銳角的大小有關(guān)，而與三角形的大小無(wú)關(guān).
銳角三角函數(shù)：的正弦、余弦、正切都是的銳角三角函數(shù).
【重點(diǎn)】
（1）由于直角三角形的斜邊大于直角邊，且各邊的邊長(zhǎng)均為正數(shù)，所以銳角三角函數(shù)值都是正實(shí)數(shù)，且，，.
（2），和都是以銳角為自變量的函數(shù)，一旦的度數(shù)確定，它們的值就唯一確定，即銳角三角函數(shù)值隨角度的變化而變化.
（3）當(dāng)銳角用一個(gè)大寫字母或一個(gè)小寫希臘字母表示時(shí)，習(xí)慣上省略角的符號(hào)“”，如，，，，，等；當(dāng)銳角用三個(gè)大寫字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字表示時(shí)，角的符號(hào)“”不能省略，如不能寫成，不能寫成等.
銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系
（1）同一銳角的三角函數(shù)之間的關(guān)系：.
（2）互余兩角的三角函數(shù)之間的關(guān)系：任意一個(gè)銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，即或.
（3）任意銳角的正切值與它的余角的正切值互為倒數(shù)，即.
二、特殊銳角的三角函數(shù)值的計(jì)算
1.銳角三角函數(shù)的定義和直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，可得到角的三角函數(shù)值.列表如下：
【說(shuō)明】要熟記特殊角的三角函數(shù)值.已知特殊角的度數(shù)，可求出相應(yīng)的三角函數(shù)值；反之，已知一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，也可求出這個(gè)角的度數(shù).
【注意】銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律
當(dāng)角度在之間變化時(shí)，正弦值、正切值隨著角度的增大而增大，余弦值隨著角度的增大而減小.
2.角的三角函數(shù)值的記憶方法
（1）圖形記憶法：如圖所示，由三角函數(shù)的定義可得
角的三角函數(shù)值.
（2）特殊值記憶法：
①角的正弦值依次為；
②角的余弦值依次為；
③（為銳角）的值隨角的增大而增大，角的正切值依次為
（3）口訣記憶法：1,2,3；3,2,1,；3,9,27；弦比2，切比3，分子根號(hào)別忘添.
三、解直角三角形及其應(yīng)用
解直角三角形的概念及直角三角形中的邊角關(guān)系
1.解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過(guò)程，叫作解直角三角形.
【注意】在沒有特殊說(shuō)明的情況下，“解直角三角形”不包括求周長(zhǎng)和面積.
2.直角三角形中的邊角關(guān)系
如圖所示，在中，，所對(duì)的邊分別為，那么除直角外的五個(gè)元素之間有如下關(guān)系.
（1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）.
（2）兩銳角之間的關(guān)系：.
（3）邊角之間的關(guān)系：
，
，
.
【注意】
（1）在直角三角形中，除直角外的五個(gè)元素中，已知其中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），可求出其余的未知元素（知二求三）.
（2）在解直角三角形時(shí)，一般是先畫出一個(gè)直角三角形，按題意表明哪些元素使已知的，哪些元素是未知的，然后確定銳角，再確定它的對(duì)邊和鄰邊.
解直角三角形的基本類型及解法
利用解直角三角形解決實(shí)際問題
利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的一般步驟
（1）將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）；
（2）根據(jù)問題中的條件，選用合適的銳角三角函數(shù)解直角三角形；
（3）得到數(shù)學(xué)問題的答案；
（4）得到實(shí)際問題的答案.
【注意】
（1）當(dāng)實(shí)際問題中涉及的圖形可以直接轉(zhuǎn)化為直角三角形時(shí)，可利用解直角三角形的知識(shí)直接求解.
（2）數(shù)學(xué)問題的解符合實(shí)際意義才可以成為實(shí)際問題的解.
【重點(diǎn)】在實(shí)際問題中，常見的基本圖形及相應(yīng)的關(guān)系式
方法點(diǎn)撥
1.求網(wǎng)格中銳角的三角函數(shù)值的問題
如圖所示，在中，，的對(duì)邊
分別為.
的正弦：；
的余弦：；
的正切：.
求銳角的三角函數(shù)值時(shí)，通常構(gòu)造以該銳角為內(nèi)角的直角三角形，以便在直角三角形中求銳角的三角函數(shù)值.
【敲黑板】
（1）由于直角三角形的斜邊大于直角邊，且各邊的邊長(zhǎng)均為正數(shù)，所以銳角三角函數(shù)值都是正實(shí)數(shù)，且.
（2）和都是以銳角為自變量的函數(shù)，一旦的度數(shù)確定，，它們的值就唯一確定，即銳角三角函數(shù)值隨角度的變化而變化.
（3）當(dāng)銳角用一個(gè)大寫字母或一個(gè)小寫希臘字母表示時(shí)，習(xí)慣上省略角的符號(hào)“”，如等；當(dāng)銳角用三個(gè)大寫字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字表示時(shí)，角的符號(hào)“”不能省略，如不能寫成，不能寫成等.
【方法總結(jié)】
在網(wǎng)格圖中求銳角三角函數(shù)值的關(guān)鍵是構(gòu)造銳角所在的直角三角形.若直角頂點(diǎn)恰好在格點(diǎn)上，則可先運(yùn)用勾股定理求出三角形的邊長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)的概念求解；若直角頂點(diǎn)不在格點(diǎn)上，則可先利用等積法、勾股定理等方法先求出相關(guān)邊的長(zhǎng)度，然后利用銳角三角函數(shù)的概念求解.
【解法通法】等角轉(zhuǎn)換法求銳角三角函數(shù)值
當(dāng)不能直接利用定義法、參數(shù)法、構(gòu)造直角三角形求銳角三角函數(shù)值時(shí)，可利用等角轉(zhuǎn)換法，把要求的角轉(zhuǎn)化為與其相等的角.找相等角的方法有多種，可以借助平行線、等腰三角形、三角形全等（相似）和圓等知識(shí)來(lái)解決，要根據(jù)題目的條件靈活選用方法.
2.特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算問題
在解含特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算問題時(shí)，要記住，，，根據(jù)題目要求選取相應(yīng)的特殊角的三角函數(shù)值，按照運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算.
3.已知兩邊解直角三角形的方法
（1）已知斜邊和一直角邊：通常先根據(jù)勾股定理求出另一條直角邊，然后利用已知直角邊與斜邊的比得到一個(gè)銳角的正弦（或余弦）值，求出這個(gè)銳角，再利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余求出另一個(gè)銳角.
（2）已知兩直角邊：通常先根據(jù)勾股定理求出斜邊，然后利用兩條直角邊的比得到其中一個(gè)銳角的正切值，求出該銳角，再利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余求出另一個(gè)銳角.
【技巧點(diǎn)撥】
解直角三角形時(shí)，如果沒有給出圖形，一般先在草稿紙上畫出圖形，將已知條件標(biāo)注出來(lái)，再根據(jù)已知條件分析要求的元素.
4.已知一銳角和一邊解直角三角形的方法
（1）已知一銳角和一直角邊：通常先利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余求出另一個(gè)銳角，再利用已知角的正切求出另一條直角邊.當(dāng)已知直角邊是已知銳角的對(duì)邊時(shí)，利用這個(gè)角的正弦求斜邊；當(dāng)已知直角邊是已知銳角的鄰邊時(shí)，利用這個(gè)角的余弦求斜邊（求出兩條邊后，也可利用勾股定理求第三條邊）.
5.構(gòu)造直角三角形解斜三角形問題的方法
先通過(guò)作垂線（高），將斜三角形分割（或補(bǔ)）成兩個(gè)直角三角形，然后利用解直角三角形求邊或角.在作垂線時(shí)，要充分利用已知條件，一般在等腰三角形中作底邊上的高，或過(guò)特殊角的一邊上的點(diǎn)作這個(gè)角的另一邊的垂線，從而構(gòu)造含特殊角的直角三角形，利用解直角三角形的相關(guān)知識(shí)求解.
6.解坡度（坡比）問題
【易錯(cuò)警示】有關(guān)坡角、坡度問題的兩個(gè)注意點(diǎn)
（1）坡角是指坡面與水平面的夾角，而不是坡面與鉛垂線的夾角；
（2）不能把坡度比例式的分子和分母的位置顛倒.
7.解方向角問題
【解法通法】解決暗礁影響類問題的方法
求解是否觸礁的問題時(shí)，一般都會(huì)求出暗礁中心到航線的距離，將這個(gè)距離與暗礁半徑比較大小，距離小于或等于半徑有危險(xiǎn)，距離大于半徑?jīng)]有危險(xiǎn).臺(tái)風(fēng)、噪聲影響等其他類似問題也用類似方法解決.
名稱
定義
符號(hào)語(yǔ)言
圖示
正弦
在中，，的對(duì)邊與斜邊的比叫作的正弦，記作，即.
在中，，
余弦
在中，，的鄰邊與斜邊的比叫作的余弦，記作.
在中，，
正切
在中，，的對(duì)邊與鄰邊的比叫作的正切，記作.
在中，，
1
圖形
已知條件
解法
兩邊
兩直角邊
由，求
斜邊、一直角邊（如）
由，求
一邊和一銳角
一直角邊和一銳角
一銳角與鄰邊（如）
；
一銳角與對(duì)邊（如）
；
一銳角與斜邊（如）
；
圖形
關(guān)系式
圖形
關(guān)系式
名稱
定義
表示方法
關(guān)系
舉例
坡角
坡面與水平面的夾角叫作坡角
一般用字母表示
坡度等于坡角的正切值，即；坡度越大，則坡角越大，山坡就越陡
當(dāng)時(shí)，坡度，坡角為
名稱
定義
舉例
方向角
指北或指南的方向線與目標(biāo)線所成的小于的角叫作方向角.
如右圖所示，目標(biāo)方向線
的方向角分別可以表示為北偏東、南偏東、北偏西，其中南偏東習(xí)慣上又叫作東南方向，北偏西習(xí)慣上又叫作西北方向.

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